Základ číselných soustav. Převod čísel do různých číselných soustav s řešením Jak zjistit základ číselné soustavy

Můžete zadat buď celá čísla, například 34 , nebo zlomková čísla, například 637,333 . U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.

S touto kalkulačkou se také používají následující:

Způsoby reprezentace čísel

Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Příklad #1.



Překlad z číselné soustavy 2 až 8 až 16.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).

K převodu čísla z binární číselné soustavy na osmičkové (hexadecimální) číslo je nutné rozdělit dvojkové číslo na skupiny po třech (u hexadecimální soustavy čtyř) číslic od čárky doprava a doleva, přičemž krajní skupiny doplníme nulami. Pokud je potřeba. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.

Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části, každá po čtyřech číslicích, podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13

Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na samostatná a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na mocninu odpovídající jeho pořadovému číslu. v přeloženém čísle. V tomto případě se čísla číslují nalevo od čárky (první číslo má číslo 0) s rostoucím a pravá strana klesající (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.

Příklad #4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z šestnáctkové do desítkové číselné soustavy. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS

1. Ze soustavy desítkových čísel:
   • vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
   • najděte zbytek po dělení celé části čísla;
   • zapište všechny zbytky z dělení v obráceném pořadí;
2. Z dvojkové soustavy
   • Chcete-li převést na desítkovou číselnou soustavu, musíte najít součet součinů základu 2 podle odpovídajícího stupně vybití;
   • Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
     Například 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
     Například 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy

Příklad č. 2. Převeďte číslo 100,12 z desítkové soustavy na osmičkovou a naopak. Vysvětlete důvody nesrovnalostí.
Rozhodnutí.
Fáze 1. .

Zbytek dělení se zapisuje v obráceném pořadí. Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 144
100 = 144 8

Abychom přeložili zlomkovou část čísla, postupně vynásobíme zlomkovou část základem 8. Výsledkem je, že pokaždé zapíšeme celočíselnou část součinu.
0,12*8 = 0,96 (celá část 0 )
0,96*8 = 7,68 (celá část 7 )
0,68*8 = 5,44 (celá část 5 )
0,44*8 = 3,52 (celá část 3 )
Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Fáze 2 Převod čísla z desítkové soustavy na osmičkovou.
Opačný převod z osmičkové na desítkové.

Pro překlad celé části je nutné vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Pro překlad zlomkové části je nutné vydělit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Rozdíl 0,0001 (100,12 - 100,1199) je způsoben chybou zaokrouhlení při převodu do osmičky. Tuto chybu lze snížit, pokud vezmeme větší počet číslic (například ne 4, ale 8).

V průběhu informatiky, bez ohledu na školu nebo univerzitu, je zvláštní místo věnováno takovému pojmu, jako jsou číselné soustavy. Zpravidla je na to určeno několik lekcí nebo praktických cvičení. Hlavním cílem je nejen osvojení základních pojmů tématu, studium typů číselných soustav, ale také seznámení se s binární, osmičkovou a šestnáctkovou aritmetikou.

Co to znamená?

Začněme definicí hlavního pojmu. Jak poznamenává učebnice "Informatika", číselná soustava je záznam čísel, který používá speciální abecedu nebo specifickou sadu čísel.

Podle toho, zda se hodnota číslice od její pozice v čísle mění, se rozlišují dvě: poziční a nepoziční číselné soustavy.

V pozičních systémech se hodnota číslice mění s její pozicí v čísle. Pokud tedy vezmeme číslo 234, pak číslo 4 v něm znamená jednotky, ale pokud vezmeme v úvahu číslo 243, pak zde již bude znamenat desítky, ne jednotky.

V nepozičních systémech je hodnota číslice statická, bez ohledu na její pozici v čísle. Většina ukázkovým příkladem- stick systém, kde je každá jednotka označena pomlčkou. Bez ohledu na to, kam hůlku přiřadíte, hodnota čísla se změní pouze o jednu.

Nepolohové systémy

Nepoziční číselné soustavy zahrnují:

1. Jediný systém, který je považován za jeden z prvních. Místo čísel používal hůlky. Čím více jich bylo, tím větší byla hodnota čísla. S příkladem takto psaných čísel se můžete setkat ve filmech, kde mluvíme o lidech ztracených na moři, vězních, kteří si každý den značí pomocí zářezů na kameni nebo stromě.
2. Roman, ve kterém se místo číslic používala latinská písmena. Pomocí nich můžete napsat libovolné číslo. Zároveň byla jeho hodnota určena pomocí součtu a rozdílu číslic, které číslo tvořily. Pokud bylo nalevo od číslice menší číslo, pak se levá číslice odečetla od pravé, a pokud číslice vpravo byla menší nebo rovna číslici vlevo, jejich hodnoty se sečetly. nahoru. Například číslo 11 bylo psáno jako XI a 9 - IX.
3. Písmena, ve kterých byla čísla označena pomocí abecedy určitého jazyka. Jedním z nich je slovanský systém, v němž řada písmen měla nejen fonetickou, ale i číselnou hodnotu.
4. ve kterém se pro záznam používala pouze dvě označení – klíny a šípy.
5. Také v Egyptě se k označení čísel používaly speciální symboly. Při psaní čísla nebylo možné každý znak použít více než devětkrát.

Polohové systémy

Velká pozornost je v informatice věnována pozičním číselným soustavám. Patří mezi ně následující:

• binární;
• osmičkový;
• desetinný;
• hexadecimální;
• sexagesimální, používá se při počítání času (například za minutu - 60 sekund, za hodinu - 60 minut).

Každý z nich má svou vlastní abecedu pro psaní, pravidla překladu a aritmetické operace.

Desetinná soustava

Tento systém je nám nejznámější. K zápisu čísel používá čísla od 0 do 9. Říká se jim také arabština. V závislosti na pozici číslice v čísle může označovat různé číslice - jednotky, desítky, stovky, tisíce nebo miliony. Používáme to všude, známe základní pravidla, podle kterých se s čísly provádějí aritmetické operace.

Binární systém

Jedním z hlavních číselných systémů v informatice je binární. Jeho jednoduchost umožňuje počítači provádět těžkopádné výpočty několikrát rychleji než v desítkové soustavě.

Pro zápis čísel se používají pouze dvě číslice - 0 a 1. Zároveň se v závislosti na pozici 0 nebo 1 v čísle bude měnit jeho hodnota.

Zpočátku to bylo s pomocí počítačů, které dostávali všechny nezbytné informace. Jednička přitom znamenala přítomnost signálu přenášeného pomocí napětí a nula jeho nepřítomnost.

Osmičková soustava

Další známá počítačová číselná soustava, která používá čísla od 0 do 7. Používala se především v těch oblastech znalostí, které jsou spojeny s digitálními zařízeními. V poslední době se však používá mnohem méně často, protože byl nahrazen hexadecimálním číselným systémem.

Binární desítkové

Reprezentace velkých čísel ve dvojkové soustavě pro člověka je poměrně komplikovaný proces. Pro zjednodušení byl vyvinut Obvykle se používá v elektronických hodinkách, kalkulačkách. V tomto systému se nepřevádí celé číslo z desítkové soustavy do dvojkové soustavy, ale každá číslice se převádí na odpovídající sadu nul a jedniček ve dvojkové soustavě. Totéž platí pro převod z binárního na desítkové. Každá číslice, reprezentovaná jako čtyřmístná sada nul a jedniček, je v desítkové soustavě přeložena na číslici. V zásadě není nic složitého.

Pro práci s čísly je v tomto případě užitečná tabulka číselných soustav, která bude označovat shodu mezi čísly a jejich binárním kódem.

Hexadecimální soustava

V poslední době je hexadecimální číselný systém stále populárnější v programování a informatice. Používá nejen čísla od 0 do 9, ale také řadu latinských písmen - A, B, C, D, E, F.

Přitom každé z písmen má svůj význam, takže A=10, B=11, C=12 a tak dále. Každé číslo je reprezentováno jako sada čtyř znaků: 001F.

Převod čísel: z desítkové na binární

Překlad v číselných soustavách probíhá podle určitých pravidel. Nejběžnější převod je z binárního na desítkové a naopak.

Abychom převedli číslo z desítkové do dvojkové soustavy, je nutné je důsledně dělit základem číselné soustavy, tedy číslem dvě. V tomto případě musí být opraven zbytek každé divize. Toto bude pokračovat, dokud nebude zbytek dělení menší nebo roven jedné. Nejlepší je provádět výpočty ve sloupci. Poté se výsledné zbytky dělení zapíší do řetězce v opačném pořadí.

Převeďme například číslo 9 na binární:

Dělíme 9, protože číslo není dělitelné rovnoměrně, pak vezmeme číslo 8, zbytek bude 9 - 1 = 1.

Po vydělení 8 dvěma dostaneme 4. Vydělíme znovu, protože číslo je děleno dvěma - dostaneme 4 - 4 = 0 ve zbytku.

Provedeme stejnou operaci s 2. Zbytek je 0.

V důsledku dělení dostaneme 1.

Bez ohledu na konečnou číselnou soustavu dojde k převodu čísel z desítkové soustavy do jakékoli jiné podle principu dělení čísla základem poziční soustavy.

Převod čísel: z binárního na desítkové

Je docela snadné převést čísla na desítková z binární. K tomu stačí znát pravidla pro mocenskou moc. V tomto případě na mocninu dvou.

Algoritmus překladu je následující: každá číslice z binárního číselného kódu musí být vynásobena dvěma a první dvě budou umocněny m-1, druhá - m-2 atd., kde m je číslo číslic v kódu. Poté přidejte výsledky sčítání a získáte celé číslo.

Pro školáky lze tento algoritmus vysvětlit jednodušeji:

Nejprve vezmeme a zapíšeme každou číslici vynásobenou dvěma, potom odložíme mocninu dvou od konce, počínaje nulou. Výsledné číslo pak sečtěte.

Pojďme s vámi například analyzovat dříve získané číslo 1001, převést jej do desítkové soustavy a zároveň zkontrolovat správnost našich výpočtů.

Bude to vypadat takto:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Při studiu tohoto tématu je vhodné použít tabulku s mocninami dvou. Tím se výrazně zkrátí doba potřebná pro výpočty.

Další možnosti překladu

V některých případech lze překlad provést mezi binárním a osmičkovým, binárním a hexadecimálním. V tomto případě můžete použít speciální tabulky nebo spustit aplikaci kalkulačky v počítači výběrem možnosti „Programátor“ na kartě zobrazení.

Aritmetické operace

Bez ohledu na formu, ve které je číslo zastoupeno, je možné s ním provádět výpočty, které jsou nám známé. Může to být dělení a násobení, odčítání a sčítání ve vámi zvolené číselné soustavě. Každý z nich má samozřejmě svá pravidla.

Takže pro binární systém vyvinuli vlastní tabulky pro každou z operací. Stejné stoly se používají i v jiných polohových systémech.

Není nutné se je učit nazpaměť – stačí vytisknout a mít po ruce. Můžete také použít kalkulačku na vašem PC.

Jedním z nejdůležitějších témat v informatice je číselná soustava. Znalost tohoto tématu, porozumění algoritmům pro převod čísel z jednoho systému do druhého je zárukou, že budete schopni porozumět složitějším tématům, jako je algoritmizace a programování, a budete schopni sami napsat svůj první program.

Než začneme řešit problémy, musíme pochopit několik jednoduchých bodů.

Uvažujme desetinné číslo 875. Poslední číslice čísla (5) je zbytek po dělení čísla 875 10. Poslední dvě číslice tvoří číslo 75 - to je zbytek po dělení čísla 875 100 . Podobná tvrzení platí pro jakoukoli číselnou soustavu:

Poslední číslice čísla je zbytek po dělení tohoto čísla základem číselné soustavy.

Poslední dvě číslice čísla jsou zbytkem dělení čísla základem čtvercové číselné soustavy.

Například, . 23 vydělíme základem soustavy 3, ve zbytku dostaneme 7 a 2 (2 je poslední číslice čísla v ternární soustavě). Vydělte 23 9 (základ na druhou), dostaneme 18 a 5 ve zbytku (5 = ).

Vraťme se k obvyklé desítkové soustavě. Číslo = 100 000. 10 na mocninu k je jedna a k nul.

Podobné tvrzení platí pro jakoukoli číselnou soustavu:

Základ číselné soustavy k mocnině k se v této číselné soustavě zapisuje jako jednotka ak nulám.

Například, .

1. Vyhledejte základ číselné soustavy

Příklad 1

V číselné soustavě s nějakým základem se desetinné číslo 27 zapisuje jako 30. Určete tento základ.

Rozhodnutí:

Označte požadovaný základ x. Pak .t.j. x=9.

Příklad 2

V číselné soustavě s nějakým základem se desetinné číslo 13 zapisuje jako 111. Určete tento základ.

Rozhodnutí:

Označte požadovaný základ x. Pak

Vyřešíme kvadratickou rovnici, dostaneme kořeny 3 a -4. Protože základ číselné soustavy nemůže být záporný, odpověď je 3.

Odpověď: 3

Příklad 3

Uveďte, oddělené čárkami, ve vzestupném pořadí, všechny základy číselných soustav, ve kterých vstup čísla 29 končí na 5.

Rozhodnutí:

Pokud v některé soustavě číslo 29 končí 5, pak číslo zmenšené o 5 (29-5 = 24) končí 0. Již jsme řekli, že číslo končí nulou, když je beze zbytku dělitelné základem soustavy. . Tito. musíme najít všechna taková čísla, která jsou děliteli čísla 24. Tato čísla jsou: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Všimněte si, že v číselných soustavách se základem 2, 3, 4 není žádné číslo 5 (a ve formulační úloze číslo 29 končí 5), takže existují systémy se základy: 6, 8, 12,

Odpověď: 6, 8, 12, 24

Příklad 4

Uveďte, oddělené čárkami, ve vzestupném pořadí, všechny základy číselných soustav, ve kterých vstup čísla 71 končí na 13.

Rozhodnutí:

Pokud v některém systému číslo končí na 13, pak je základ tohoto systému alespoň 4 (jinak neexistuje číslo 3).

Číslo zmenšené o 3 (71-3=68) končí na 10. To znamená, 68 je zcela dělitelné požadovanou bází soustavy a její podíl, když ji vydělíme bází soustavy, dává zbytek 0.

Vypišme všechny celočíselné dělitele čísla 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 není vhodné, protože základ není menší než 4. Zkontrolujte zbytek dělitelů:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (zbytek 1) - vhodné

68:17 = 4; 4:17 = 0 (zbytek 4) - nevhodné

68:34 = 2; 2:17 = 0 (zbytek 2) - nevhodné

68:68 = 1; 1:68 = 0 (zbytek 1) - vhodné

Odpověď: 4, 68

2. Hledejte čísla podle podmínek

Příklad 5

Uveďte, oddělená čárkou, vzestupně všechna desetinná čísla nepřesahující 25, jejichž zápis v základní čtyřčíselné soustavě končí na 11?

Rozhodnutí:

Nejprve zjistíme, jak vypadá číslo 25 v číselné soustavě se základem 4.

Tito. potřebujeme najít všechna čísla ne větší než , jejichž zápis končí 11. Podle pravidla sekvenčního počítání v systému se základem 4,
dostaneme čísla a . Převedeme je do desítkové číselné soustavy:

Odpověď: 5, 21

3. Řešení rovnic

Příklad 6

Řešte rovnici:

Odpověď zapište v ternární soustavě (základ číselné soustavy v odpovědi není nutné psát).

Rozhodnutí:

Převedeme všechna čísla do desítkové číselné soustavy:

Kvadratická rovnice má kořeny -8 a 6. (protože báze soustavy nemůže být záporná). .

Odpověď: 20

4. Počítání počtu jedniček (nul) v binárním zápisu hodnoty výrazu

K vyřešení tohoto typu problému si musíme pamatovat, jak funguje sčítání a odčítání „ve sloupci“:

Při sčítání dochází k bitovému součtu číslic zapsaných pod sebou, počínaje nejméně významnými číslicemi. Je-li výsledný součet dvou číslic větší nebo roven základu číselné soustavy, zbytek dělení této částky základem soustavy se zapíše pod sečtená čísla a celočíselná část dělení této částky základem systému se přičte k součtu následujících číslic.

Při odečítání dochází k odčítání číslic zapsaných pod sebou bit po bitu, počínaje nejméně významnými číslicemi. Pokud je první číslice menší než druhá, „půjčíme si“ jednu ze sousední (větší) číslice. Jednotka obsazená aktuální číslicí se rovná základu číselné soustavy. V desítkové soustavě je to 10, v dvojkové soustavě 2, v trojkové soustavě 3 a tak dále.

Příklad 7

Kolik jednotek obsahuje binární zápis hodnoty výrazu: ?

Rozhodnutí:

Představme všechna čísla výrazu jako mocniny dvou:

V binárním zápisu dvě mocniny n vypadají jako 1 následovaná n nulami. Poté sečtením a dostaneme číslo obsahující 2 jednotky:

Nyní od výsledného čísla odečtěte 10000. Podle pravidel odčítání si půjčujeme od další číslice.

Nyní přidejte 1 k výslednému číslu:

Vidíme, že výsledek má 2013+1+1=2015 jednotek.

Cvičení 1. Jaké číslo v desítkové soustavě odpovídá číslu 24 16?

Rozhodnutí.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Odpovědět. 24 16 = 36 10

Úkol 2. Je známo, že X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Jaké je číslo X v desítkovém zápisu?

Rozhodnutí.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Najděte číslo: X = 6 + 4 + 5 = 15

Odpovědět. X = 15 10

Úkol 3. Vypočítejte hodnotu součtu 10 2 + 45 8 + 10 16 v desítkovém zápisu.

Rozhodnutí.

Přeložme každý termín do desítkové číselné soustavy:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Součet je: 2 + 37 + 16 = 55

Převést na binární číselnou soustavu

Cvičení 1. Jaké je číslo 37 v binární číselné soustavě?

Rozhodnutí.

Můžete převést dělením 2 a kombinováním zbytků v opačném pořadí.

Dalším způsobem je rozšíření čísla na součet mocnin dvou, počínaje nejvyšší, jejíž vypočítaný výsledek je menší než dané číslo. Při převodu by měly být chybějící mocniny čísla nahrazeny nulami:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Odpovědět. 37 10 = 100101 2 .

Úkol 2. Kolik platných nul je v binárním vyjádření desetinného čísla 73?

Rozhodnutí.

Číslo 73 rozložíme na součet mocnin dvou, počínaje nejvyšší a vynásobíme chybějící mocniny nulami a ty stávající jednou:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Odpovědět. Pro desetinné číslo 73 jsou v binárním zápisu čtyři platné nuly.

Úkol 3. Vypočítejte součet x a y pro x = D2 16, y = 37 8 . Prezentujte výsledek v binární číselné soustavě.

Rozhodnutí.

Připomeňme, že každá číslice hexadecimálního čísla je tvořena čtyřmi binárními číslicemi, každá číslice osmičkového čísla třemi:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Přidejme čísla:

11010010 11111 -------- 11110001

Odpovědět. Součet čísel D2 16 a y = 37 8 reprezentovaných ve dvojkové soustavě je 11110001.

Úkol 4. Vzhledem k tomu: A= D7 16, b= 3318. Které z čísel C, zapsaný v binárním zápisu, podmínku splňuje A< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Rozhodnutí.

Převedeme čísla do binární číselné soustavy:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

První čtyři číslice pro všechna čísla jsou stejné (1101). Proto je srovnání zjednodušeno na porovnání nejméně významných čtyř číslic.

První číslo v seznamu je číslo b, proto se nehodí.

Druhé číslo je větší než b. Třetí číslo je A.

Sedí pouze čtvrté číslo: 0111< 1000 < 1001.

Odpovědět.Čtvrtá možnost (11011000) podmínku splňuje A< c < b .

Úkoly pro určování hodnot v různých číselných soustavách a jejich základech

Cvičení 1. Znaky @, $, &, % jsou zakódovány ve dvoumístných po sobě jdoucích binárních číslech. První znak odpovídá číslu 00. Pomocí těchto znaků byla zakódována následující sekvence: $% [e-mail chráněný]$. Dekódujte tuto sekvenci a převeďte výsledek na hexadecimální.

Rozhodnutí.

1. Porovnejme binární čísla se znaky, které kódují:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Přeložme binární číslo do hexadecimální číselné soustavy:
0111 1010 0001 = 7A1

Odpovědět. 7A1 16.

Úkol 2. Na zahradě je 100 x ovocných stromů, z toho 33 x jabloní, 22 x hrušní, 16 x švestek, 17 x třešní. Jaký je základ číselné soustavy (x).

Rozhodnutí.

1. Všimněte si, že všechny termíny jsou dvouciferná čísla. V libovolném číselném systému mohou být reprezentovány takto:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kde a a b jsou číslice odpovídajících číslic čísla.
Pro třímístné číslo by to bylo takto:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Stav problému je následující:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Dosaďte ve vzorcích čísla:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Vyřešte kvadratickou rovnici:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Druhá odmocnina z D je 11.
Kořeny kvadratické rovnice:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 nebo x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Záporné číslo nemůže být základem číselné soustavy. Takže x se může rovnat pouze 9.

Odpovědět. Požadovaný základ číselné soustavy je 9.

Úkol 3. V číselné soustavě s nějakým základem se desetinné číslo 12 zapisuje jako 110. Najděte tento základ.

Rozhodnutí.

Nejprve zapišme číslo 110 přes vzorec pro zápis čísel v pozičních číselných soustavách, abychom našli hodnotu v desítkové číselné soustavě, a poté hrubou silou najdeme základ.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Potřebujeme získat 12. Zkusíme 2: 2 2 + 2 = 6. Zkusíme 3: 3 2 + 3 = 12.

Takže základ číselné soustavy je 3.

Odpovědět. Požadovaný základ číselné soustavy je 3.

Úkol 4. V jaké číselné soustavě by bylo desetinné číslo 173 reprezentováno jako 445?

Rozhodnutí.
Neznámou bázi označíme X. Zapíšeme následující rovnici:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Vzhledem k tomu, že jakékoli kladné číslo na nulovou mocninu je rovno 1, rovnici přepíšeme (základ 10 nebude uveden).
173 = 4*X2 + 4*X + 5
Takovou kvadratickou rovnici lze samozřejmě vyřešit pomocí diskriminantu, ale existuje jednodušší řešení. Odečtěte od pravé a levé části po 4. Dostaneme
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 nebo 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Odtud dostaneme 2 * X + 1 \u003d 13 (zahodíme záporný kořen). Nebo X = 6.
Odpověď: 173 10 = 445 6

Úkoly pro nalezení několika základen číselných soustav

Existuje skupina úloh, ve kterých je potřeba vypsat (ve vzestupném nebo sestupném pořadí) všechny základy číselných soustav, ve kterých znázornění daného čísla končí danou číslicí. Tento úkol je vyřešen poměrně jednoduše. Nejprve je třeba odečíst danou číslici od původního čísla. Výsledné číslo bude prvním základem číselné soustavy. A všechny ostatní základy mohou být pouze děliteli tohoto čísla. (Toto tvrzení se prokazuje na základě pravidla pro přenos čísel z jedné číselné soustavy do druhé - viz bod 4). Jen si to pamatuj základ číselné soustavy nemůže být menší než daná číslice!

Příklad
Uveďte, oddělené čárkami, ve vzestupném pořadí, všechny základy číselných soustav, ve kterých vstup čísla 24 končí na 3.

Rozhodnutí
24 - 3 \u003d 21 je první základna (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 je dělitelné 3 a 7. Číslo 3 není vhodné, protože V základní 3 číselné soustavě není žádná 3.
Odpověď: 7, 21