Trinalio išskaidymas į veiksnius, turinčius vieną šaknį. Kaip koeficientuoti kvadratinį trinarį: formulė. Faktoringo metodai

Klasė: 9

Pamokos tipas:žinių įtvirtinimo ir sisteminimo pamoka.

Pamokos tipas:Žinių ir veiksmų metodų patikrinimas, įvertinimas ir koregavimas.

Tikslai:

Įranga: didaktinė medžiaga darbui žodžiu, savarankiškas darbas, žinių patikrinimo testinės užduotys, kortelės su namų darbais, algebros vadovėlis Yu.N. Makaryčiovas.

Pamokos planas.

Per užsiėmimus

I. Žinių atnaujinimo etapas. Ugdymo problemos motyvacija.

Laiko organizavimas.

Šiandien pamokoje apibendrinsime ir sisteminsime žinias tema: „Kvadratinio trinalio faktorizavimas“. Atlikdami įvairius pratimus, turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriems turite skirti Ypatingas dėmesys sprendžiant lygtis ir praktinius uždavinius. Tai labai svarbu ruošiantis egzaminui.
Užrašykite pamokos temą: „Kvadratinio trinalio faktorizavimas. Sprendimo pavyzdžiai.

II. Pagrindinis pamokos turinys Studentų idėjų apie kvadratinio trinalio faktorinavimo į veiksnius formulės formavimas ir įtvirtinimas.

žodinis darbas.

– Norint sėkmingai koeficientuoti kvadratinį trinarį, reikia atsiminti ir diskriminanto, ir kvadratinės lygties šaknų formules, kvadratinio trinalio faktorinavimo formulę ir jas pritaikyti praktiškai.

1. Peržiūrėkite korteles „Tęsti arba užbaigti pareiškimą“.

2. Pažiūrėkite į lentą.

1. Kuris iš siūlomų daugianario nėra kvadratas?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Apibrėžkite kvadratinį trinarį. Apibrėžkite kvadratinio trinalio šaknį.

2. Kuri iš formulių nėra kvadratinės lygties šaknų skaičiavimo formulė?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Raskite kvadratinio trinalio - 2 koeficientus a, b, c X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Kuri iš formulių yra kvadratinės lygties šaknų skaičiavimo formulė

x2 + px + q= 0 pagal Vietos teoremą?

1) x 1 + x 2 =p,
x vienas · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
x vienas · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
x vienas · x 2 = – q .

5. Išplėskite kvadratinį trinarį X 2 – 11x + 18 daugintuvams.

Atsakymas:( X – 2)(X – 9)

6. Išplėskite kvadratinį trinarį adresu 2 – 9y + 20 daugiklius

Atsakymas:( X – 4)(X – 5)

III. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

1. Padalinkite kvadratinį trinarį koeficientą:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Faktoringas mums padeda mažinant trupmenas.

3. Nenaudodami šaknies formulės suraskite kvadratinio trinalio šaknis:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Sudarykite kvadratinį trinarį, kurio šaknys yra skaičiai:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Savarankiškas darbas.

Nepriklausomai atlikite užduotį pagal parinktis, tada patikrinkite. Į pirmąsias dvi užduotis reikia atsakyti „Taip“ arba „Ne“. Iš kiekvieno varianto iškviečiamas po vieną mokinį (jie dirba lentos atlapuose). Atlikus savarankišką darbą lentoje, atliekamas bendras sprendimo patikrinimas. Mokiniai vertina savo darbus.

1 variantas:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Skaičius 2 yra lygties x 2 + 3x - 10 = 0 šaknis.

3. Padalinkite kvadratinį trinarį į 6 koeficientus x 2 – 5x + 1;

2 variantas:

1.D>0. Lygtis turi 2 šaknis.

2. Skaičius 3 yra kvadratinės lygties x 2 - x - 12 = 0 šaknis.

3. Kvadratinį trinarį išskaidykite į 2 koeficientus X 2 – 5x + 3

IV. Žinių įsisavinimo tikrinimas. Atspindys.

– Pamoka parodė, kad žinai pagrindinę teorinę šios temos medžiagą. Mes apibendriname žinias

Kvadratinis trinaris vadinamas formos daugianario ax2+bx +c, kur x- kintamasis, a,b,c yra keletas skaičių, o a ≠ 0.

Koeficientas a paskambino senjorų koeficientas, c – nemokamas narys kvadratinis trinaris.

Kvadratinių trinarių pavyzdžiai:

2 x 2 + 5x + 4(čia a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(čia a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(čia a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficientas b arba koeficientas c arba abu koeficientai vienu metu gali būti lygūs nuliui. Pavyzdžiui:

5 x 2 + 3x(čiaa = 5b = 3c = 0, taigi c reikšmės lygtyje nėra).

6x 2-8 (čiaa=6, b=0, c=-8)

2x2(čiaa=2, b=0, c=0)

Iškviečiama kintamojo, kuriam esant polinomas išnyksta, reikšmė daugianario šaknis.

Norėdami rasti kvadratinio trinalio šaknisax2+ bx + c, turime prilyginti nuliui -
y., išspręskite kvadratinę lygtįax2+ bx + c= 0 (žr. skyrių „Kvadratinė lygtis“).

Kvadratinio trinalio faktorizavimas

Pavyzdys:

Mes koeficientuojame trinarį 2 x 2 + 7x - 4.

Matome koeficientą a = 2.

Dabar suraskime trinario šaknis. Norėdami tai padaryti, prilyginame jį nuliui ir išsprendžiame lygtį

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Kaip sprendžiama tokia lygtis - žiūrėkite skyrių „Kvadratinės lygties šaknų formulės. Diskriminuojantis“. Čia iš karto įvardijame skaičiavimų rezultatą. Mūsų trinalis turi dvi šaknis:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Į savo formulę pakeiskime šaknų reikšmes, iš skliaustų išimdami koeficiento reikšmę a, ir mes gauname:

2x 2 + 7x - 4 = 2 (x - 1/2) (x + 4).

Gautą rezultatą galima užrašyti kitaip, koeficientą 2 padauginus iš dvinalio x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problema išspręsta: trinaris išskaidomas į veiksnius.

Tokį išskaidymą galima gauti bet kuriam kvadratiniam trinaliui su šaknimis.

DĖMESIO!

Jei kvadratinio trinalio diskriminantas lygus nuliui, tai šis trinaris turi vieną šaknį, tačiau skaidant trinalį ši šaknis imama kaip dviejų šaknų reikšmė – tai yra ta pati reikšmė x 1 irx 2 .

Pavyzdžiui, trinaris turi vieną šaknį, lygią 3. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

Šioje pamokoje sužinosime, kaip kvadratinius trinalius išskaidyti į tiesinius veiksnius. Tam reikia prisiminti Vietos teoremą ir jos atvirkštinę reikšmę. Šis įgūdis padės mums greitai ir patogiai išskaidyti kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius, taip pat supaprastins trupmenų, susidedančių iš išraiškų, mažinimą.

Taigi grįžkime prie kvadratinės lygties , kur .

Tai, ką turime kairėje pusėje, vadinama kvadratiniu trinamiu.

Teorema teisinga: Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada tapatybė yra teisinga

Kur yra pagrindinis koeficientas, yra lygties šaknys.

Taigi, turime kvadratinę lygtį – kvadratinį trinalį, kur kvadratinės lygties šaknys dar vadinamos kvadratinio trinalio šaknimis. Todėl, jei turime kvadratinio trinalio šaknis, tai šis trinaris išskaidomas į tiesinius veiksnius.

Įrodymas:

Šio fakto įrodymas atliekamas naudojant Vieta teoremą, kurią nagrinėjome ankstesnėse pamokose.

Prisiminkime, ką mums sako Vietos teorema:

Jei yra kvadratinio trinario šaknys, kurioms Tada .

Ši teorema reiškia tokį tvirtinimą, kad .

Matome, kad pagal Vieta teoremą, ty pakeitę šias reikšmes į aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką

Q.E.D.

Prisiminkite, kad įrodėme teoremą, kad jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada išskaidymas galioja.

Dabar prisiminkime kvadratinės lygties, kurios šaknis pasirinkome naudodami Vietos teoremą, pavyzdį. Iš šio fakto įrodytos teoremos dėka galime gauti tokią lygybę:

Dabar patikrinkime šio fakto teisingumą tiesiog išplėsdami skliaustus:

Matome, kad faktorinavome teisingai, ir bet kuris trinaris, jei turi šaknis, pagal šią teoremą gali būti padalytas į tiesinius koeficientus pagal formulę

Tačiau patikrinkime, ar bet kuriai lygčiai galimas toks faktorizavimas:

Paimkime, pavyzdžiui, lygtį. Pirmiausia patikrinkime diskriminanto ženklą

Ir mes prisimename, kad norint įvykdyti mūsų išmoktą teoremą, D turi būti didesnis nei 0, todėl šiuo atveju faktorizacija pagal tiriamą teoremą yra neįmanoma.

Todėl suformuluojame naują teoremą: jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tai jo negalima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Taigi, mes apsvarstėme Vietos teoremą, galimybę išskaidyti kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius, ir dabar išspręsime keletą problemų.

1 užduotis

Šioje grupėje mes iš tikrųjų išspręsime problemą atvirkščiai nei iškelta. Turėjome lygtį ir radome jos šaknis, išskaidančias į veiksnius. Čia mes darysime priešingai. Tarkime, kad turime kvadratinės lygties šaknis

Atvirkštinė problema yra tokia: parašykite kvadratinę lygtį taip, kad būtų jos šaknys.

Yra 2 būdai, kaip išspręsti šią problemą.

Kadangi yra lygties šaknys, tada yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys yra pateiktos skaičiais. Dabar atidarykime skliaustus ir patikrinkime:

Tai buvo pirmasis būdas, kuriuo sukūrėme kvadratinę lygtį su nurodytomis šaknimis, kurios neturi jokių kitų šaknų, nes bet kuri kvadratinė lygtis turi daugiausia dvi šaknis.

Šis metodas apima atvirkštinės Vietos teoremos naudojimą.

Jei yra lygties šaknys, tada jie tenkina sąlygą, kad .

Dėl sumažintos kvadratinės lygties , , t. y. šiuo atveju ir .

Taigi, mes sukūrėme kvadratinę lygtį, kuri turi nurodytas šaknis.

2 užduotis

Jums reikia sumažinti frakciją.

Mes turime trinarį skaitiklyje ir trinarį vardiklyje, o trinalius gali būti arba neskaičiuoti. Jei ir skaitiklis, ir vardiklis yra koeficientai, tada tarp jų gali būti lygių koeficientų, kuriuos galima sumažinti.

Visų pirma, skaitiklį būtina koeficientuoti.

Pirmiausia turite patikrinti, ar šią lygtį galima koeficientuoti, rasti diskriminantą . Kadangi , tada ženklas priklauso nuo sandaugos (turi būti mažesnis nei 0), šiame pavyzdyje t.y., duotoji lygtis turi šaknis.

Norėdami išspręsti, naudojame Vieta teoremą:

Šiuo atveju, kadangi mes susiduriame su šaknimis, bus gana sunku tiesiog pasiimti šaknis. Bet matome, kad koeficientai yra subalansuoti, t.y., jei darysime prielaidą, kad , ir pakeisime šią reikšmę į lygtį, tada gaunama tokia sistema: t.y. 5-5=0. Taigi, mes pasirinkome vieną iš šios kvadratinės lygties šaknų.

Antrosios šaknies ieškosime lygčių sistemoje pakeisdami tai, kas jau žinoma, pavyzdžiui, , t.y. .

Taigi, mes radome abi kvadratinės lygties šaknis ir galime pakeisti jų reikšmes į pradinę lygtį, kad ją koeficientu:

Prisiminkite pradinę problemą, mums reikėjo sumažinti trupmeną.

Pabandykime išspręsti problemą pakeisdami vietoj skaitiklio .

Reikia nepamiršti, kad šiuo atveju vardiklis negali būti lygus 0, t.y.

Jei šios sąlygos yra įvykdytos, pradinę trupmeną sumažinome iki formos .

3 užduotis (užduotis su parametru)

Kokiomis parametro reikšmėmis yra kvadratinės lygties šaknų suma

Jei šios lygties šaknys egzistuoja, tada , klausimas kada.

Kvadratinių trinarių faktorinavimas yra viena iš mokyklinių užduočių, su kuria anksčiau ar vėliau susiduria visi. Kaip tai padaryti? Kokia yra kvadratinio trinario faktoriaus formulė? Panagrinėkime tai žingsnis po žingsnio su pavyzdžiais.

Bendroji formulė

Kvadratinių trinadžių faktorizavimas atliekamas sprendžiant kvadratinę lygtį. Tai paprastas uždavinys, kurį galima išspręsti keliais būdais – surandant diskriminantą, naudojant Vietos teoremą, yra ir grafinis būdas jį išspręsti. Pirmieji du metodai mokomi vidurinėje mokykloje.

Bendra formulė atrodo taip:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Užduoties vykdymo algoritmas

Norint faktorinizuoti kvadratinius trinalius, reikia žinoti Wito teoremą, turėti po ranka sprendimo programą, mokėti grafiškai rasti sprendimą arba per diskriminantinę formulę ieškoti antrojo laipsnio lygties šaknų. Jei duotas kvadratinis trinaris ir jis turi būti koeficientas, veiksmų algoritmas yra toks:

1) Prilyginkite pradinę išraišką nuliui, kad gautumėte lygtį.

2) Pateikite panašius terminus (jei reikia).

3) Raskite šaknis bet kuriuo žinomu metodu. Grafinį metodą geriausia naudoti, jei iš anksto žinoma, kad šaknys yra sveikieji ir maži skaičiai. Reikia atsiminti, kad šaknų skaičius yra lygus didžiausiam lygties laipsniui, tai yra, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

4) Pakaitinė vertė Xį išraišką (1).

5) Užrašykite kvadratinių trinadžių faktorių sudarymą.

Pavyzdžiai

Praktika leidžia pagaliau suprasti, kaip ši užduotis atliekama. Pavyzdžiai iliustruoja kvadratinio trinario faktorius:

reikia išplėsti išraišką:

Naudokime savo algoritmą:

1) x 2 -17x+32=0

2) panašios sąlygos sumažinamos

3) pagal Vietos formulę sunku rasti šio pavyzdžio šaknis, todėl diskriminantui geriau naudoti išraišką:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Pakeiskite šaknis, kurias radome pagrindinėje skaidymo formulėje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada atsakymas bus toks:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Patikrinkime, ar diskriminanto rasti sprendiniai atitinka Vietos formules:

14,845 . 2,155=32

Šioms šaknims taikoma Vietos teorema, jos buvo rastos teisingai, vadinasi, teisinga ir mūsų gauta faktorizacija.

Panašiai išplečiame 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Ankstesniu atveju sprendiniai buvo ne sveikieji, o realūs skaičiai, kuriuos nesunku rasti priešais esančia skaičiuokle. Dabar apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį, kuriame šaknys yra sudėtingos: koeficientas x 2 + 4x + 9. Pagal Vietos formulę šaknų rasti nepavyksta, o diskriminantas yra neigiamas. Šaknys bus sudėtingoje plokštumoje.

D=-20

Remdamiesi tuo, gauname mus dominančias šaknis -4 + 2i * 5 1/2 ir -4-2i * 5 1/2, nes (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mes gauname norimą išplėtimą, pakeisdami šaknis į bendrą formulę.

Kitas pavyzdys: reikia suskaidyti išraišką 23x 2 -14x + 7.

Mes turime lygtį 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Taigi šaknys yra 14+21,166i ir 14-21,166i. Atsakymas bus toks:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Pateiksime pavyzdį, kurį galima išspręsti be diskriminanto pagalbos.

Tegul reikia išskaidyti kvadratinę lygtį x 2 -32x + 255. Akivaizdu, kad tai gali būti išspręsta ir diskriminantu, bet tokiu atveju greičiau rasti šaknis.

x 1 = 15

x2=17

Reiškia x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Kvadratinis trinaris yra ax^2 + bx + c formos daugianario, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, be to, a ≠ 0.

Norėdami padalyti trinarį, turite žinoti šio trinalio šaknis. (toliau pateikiamas trinario 5x^2 + 3x-2 pavyzdys)

Pastaba: kvadratinio trinalio 5x^2 + 3x - 2 reikšmė priklauso nuo x reikšmės. Pavyzdžiui: jei x = 0, tada 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jei x = 2, tada 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jei x = -1, tada 5x^2 + 3x - 2 = 0

Kai x \u003d -1, kvadratinis trinaris 5x ^ 2 + 3x - 2 išnyksta, šiuo atveju vadinamas skaičius -1 kvadratinio trinalio šaknis.

Kaip gauti lygties šaknį

Paaiškinkime, kaip gavome šios lygties šaknį. Pirmiausia turite aiškiai žinoti teoremą ir formulę, pagal kurią dirbsime:

"Jei x1 ir x2 yra kvadratinio trinalio ax^2 + bx + c šaknys, tada ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ši formulė daugianario šaknims rasti yra pati primityviausia formulė, kurią spręsdami niekada nesusipainiosite.

Išraiška 5x^2 + 3x - 2.

1. Prilyginkite nuliui: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Randame kvadratinės lygties šaknis, tam pakeičiame reikšmes į formulę (a yra X ^ 2 koeficientas, b yra X koeficientas, laisvas narys, ty a figūra be X):

Pirmąją šaknį su pliuso ženklu randame prieš kvadratinę šaknį:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9-(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Antroji šaknis su minuso ženklu prieš kvadratinę šaknį:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Taigi radome kvadratinio trinalio šaknis. Norėdami įsitikinti, kad jie teisingi, galite patikrinti: pirmiausia pakeičiame pirmąją lygties šaknį, tada antrąją:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jei pakeitus visas šaknis lygtis išnyksta, tada lygtis išspręsta teisingai.

3. Dabar panaudokime formulę iš teoremos: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), atminkite, kad X1 ir X2 yra kvadratinės lygties šaknys. Taigi: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x–2 = 5 (x - 0,4) (x + 1)

4. Norėdami įsitikinti, kad skaidymas yra teisingas, galite tiesiog padauginti skliaustus:

5 (x - 0,4) (x + 1) = 5 (x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5 (x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Tai patvirtina teisingumą sprendimo.

Antrasis kvadratinio trinalio šaknų radimo variantas

Kitas kvadratinio trinalio šaknų radimo variantas yra atvirkštinė Viette teoremos teorema. Čia kvadratinės lygties šaknys randamos pagal formules: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Tačiau svarbu suprasti, kad ši teorema gali būti naudojama tik tuo atveju, jei koeficientas a \u003d 1, tai yra skaičius priešais x ^ 2 \u003d 1.

Pavyzdžiui: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Sprendimas: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Dabar svarbu pagalvoti, kokie gaminio skaičiai suteikia vienetą? Natūralu, kad tai 1 * 1 ir -1 * (-1) . Iš šių skaičių išrenkame tuos, kurie atitinka išraišką x1 + x2 = 2, žinoma – tai 1 + 1. Taigi radome lygties šaknis: x1 = 1, x2 = 1. Tai nesunku patikrinti, jei jūs pakeičiate x ^ 2 išraiškoje - 2x + 1 = 0.