Skaičių sistemų pagrindas. Skaičių konvertavimas į skirtingas skaičių sistemas su sprendimu Kaip sužinoti skaičių sistemos pagrindą

Galite įvesti sveikuosius skaičius, pvz., 34 , arba trupmeninius skaičius, pvz., 637,333 . Kalbant apie trupmeninius skaičius, nurodomas vertimo tikslumas po kablelio.

Su šiuo skaičiuotuvu taip pat naudojami šie dalykai:

Skaičių vaizdavimo būdai

Skaičių konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą algoritmas

1 pavyzdys.



Vertimas iš 2 į 8 į 16 skaičių sistema.
Šios sistemos yra dviejų kartotiniai, todėl vertimas atliekamas naudojant atitikmenų lentelę (žr. toliau).

Norint paversti skaičių iš dvejetainės skaičių sistemos į aštuntąjį (šešioliktainį) skaičių, reikia dvejetainį skaičių padalyti į grupes iš trijų (šešioliktainių) skaitmenų iš kablelio į dešinę ir į kairę, kraštutines grupes papildant nuliais. jei būtina. Kiekviena grupė pakeičiama atitinkamu aštuntainiu arba šešioliktainiu skaitmeniu.

2 pavyzdys. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
čia 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Konvertuodami į šešioliktainį skaičių, turite padalyti skaičių į dalis, po keturis skaitmenis, vadovaudamiesi tomis pačiomis taisyklėmis.
3 pavyzdys. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
čia 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Skaičių iš 2, 8 ir 16 konvertavimas į dešimtainę sistemą atliekamas skaičių suskaidant į atskirus ir padauginus iš sistemos bazės (iš kurios verčiamas skaičius), pakeltos iki laipsnio, atitinkančio jo eilės skaičių. išverstame numeryje. Šiuo atveju skaičiai numeruojami kablelio kairėje (pirmasis skaičius yra 0) didėjant, o dešinioji pusė mažėja (t. y. su neigiamu ženklu). Gauti rezultatai sumuojami.

4 pavyzdys.
Konvertavimo iš dvejetainės į dešimtainę skaičių sistemos pavyzdys.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Konvertavimo iš aštuntainės į dešimtainę skaičių sistemos pavyzdys. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Šešioliktainės į dešimtainę skaičių sistemos konvertavimo pavyzdys. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10

Dar kartą pakartojame skaičių vertimo iš vienos skaičių sistemos į kitą PSS algoritmą

1. Iš dešimtainių skaičių sistemos:
   • skaičių padalinkite iš verčiamos skaičių sistemos pagrindo;
   • padalijus sveikąją skaičiaus dalį rasti likutį;
   • surašykite visus dalybos likučius atvirkštine tvarka;
2. Iš dvejetainės sistemos
   • Norėdami konvertuoti į dešimtainę skaičių sistemą, turite rasti 2 bazės sandaugų sumą pagal atitinkamą iškrovos laipsnį;
   • Norėdami konvertuoti skaičių į aštuntąją, turite suskaidyti skaičių į triadas.
     Pavyzdžiui, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Norėdami konvertuoti skaičių iš dvejetainio į šešioliktainį, turite skaičių padalyti į 4 skaitmenų grupes.
     Pavyzdžiui, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Lentelė konvertuoti į aštuntainių skaičių sistemą

2 pavyzdys. Konvertuokite skaičių 100,12 iš dešimtainio į aštuntainį ir atvirkščiai. Paaiškinkite neatitikimų priežastis.
Sprendimas.
1 etapas. .

Likusi padalijimo dalis rašoma atvirkštine tvarka. Gauname skaičių 8-oje skaičių sistemoje: 144
100 = 144 8

Norėdami išversti trupmeninę skaičiaus dalį, trupmeninę dalį paeiliui dauginame iš 8 bazės. Dėl to kiekvieną kartą užrašome sveikąją sandaugos dalį.
0,12*8 = 0,96 (visa dalis 0 )
0,96*8 = 7,68 (visa dalis 7 )
0,68*8 = 5,44 (visa dalis 5 )
0,44*8 = 3,52 (visa dalis 3 )
Gauname numerį 8-oje skaičių sistemoje: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2 etapas. Skaičių konvertavimas iš dešimtainio į aštuntainį.
Atvirkštinis konvertavimas iš aštuntainio į dešimtainį.

Norint išversti sveikąją dalį, reikia skaičiaus skaitmenį padauginti iš atitinkamo skaitmens laipsnio.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Norėdami išversti trupmeninę dalį, skaičiaus skaitmenį reikia padalyti iš atitinkamo skaitmens laipsnio
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Skirtumas 0,0001 (100,12 - 100,1199) atsiranda dėl apvalinimo klaidos konvertuojant į aštuntąją. Šią paklaidą galima sumažinti, jei imsime didesnį skaičių skaitmenų (pavyzdžiui, ne 4, o 8).

Informatikos kurse, nepaisant mokyklos ar universiteto, ypatinga vieta skiriama tokiai sąvokai kaip skaičių sistemos. Paprastai tam skiriamos kelios pamokos ar praktiniai pratimai. Pagrindinis tikslas – ne tik išmokti pagrindines temos sąvokas, ištirti skaičių sistemų tipus, bet ir susipažinti su dvejetaine, aštuntaine ir šešioliktaine aritmetika.

Ką tai reiškia?

Pradėkime nuo pagrindinės sąvokos apibrėžimo. Kaip pažymima vadovėlyje „Kompiuterija“, skaičių sistema yra skaičių įrašas, kuriame naudojama speciali abėcėlė arba tam tikras skaičių rinkinys.

Pagal tai, ar skaitmens reikšmė kinta nuo jo padėties skaičiuje, išskiriamos dvi: pozicinės ir nepozicinės skaičių sistemos.

Padėties sistemose skaitmens reikšmė kinta priklausomai nuo jo padėties skaičiuje. Taigi, jei imsime skaičių 234, tai jame esantis skaičius 4 reiškia vienetus, o jei svarstysime skaičių 243, tai čia jis jau reikš dešimtis, o ne vienetus.

Nepozicinėse sistemose skaitmens reikšmė yra statinė, nepriklausomai nuo jo padėties skaičiuje. Dauguma puikus pavyzdys- lazdelių sistema, kur kiekvienas vienetas žymimas brūkšneliu. Kad ir kur priskirtumėte lazdelę, skaičiaus reikšmė pasikeis tik vienu.

Nepozicinės sistemos

Nepozicinių skaičių sistemos apima:

1. Viena sistema, kuri laikoma viena pirmųjų. Vietoj skaičių buvo naudojamos lazdos. Kuo daugiau jų buvo, tuo didesnė buvo skaičiaus reikšmė. Taip užrašytų skaičių pavyzdį galite sutikti filmuose, kuriuose kalbame apie jūroje pasiklydusius žmones, kalinius, kurie kiekvieną dieną žymi akmenyje ar medyje esančiais įpjovomis.
2. romėniškas, kuriame vietoj skaičių buvo vartojamos lotyniškos raidės. Naudodamiesi jais galite parašyti bet kokį skaičių. Tuo pačiu metu jo vertė buvo nustatyta naudojant skaičių sudarančių skaitmenų sumą ir skirtumą. Jei skaitmens kairėje buvo mažesnis skaičius, tada kairysis skaitmuo buvo atimamas iš dešiniojo, o jei skaitmuo dešinėje buvo mažesnis arba lygus skaitmeniui kairėje, tada jų reikšmės buvo sumuojamos. aukštyn. Pavyzdžiui, skaičius 11 buvo parašytas kaip XI, o 9 - IX.
3. Raidės, kuriose skaičiai buvo žymimi naudojant tam tikros kalbos abėcėlę. Viena iš jų – slavų sistema, kurioje nemažai raidžių turėjo ne tik fonetinę, bet ir skaitinę reikšmę.
4. kuriame įrašymui buvo naudojami tik du pavadinimai – pleištai ir strėlės.
5. Egipte taip pat buvo naudojami specialūs simboliai skaičiams žymėti. Rašant skaičių kiekvienas simbolis galėjo būti naudojamas ne daugiau kaip devynis kartus.

Pozicinės sistemos

Informatikos srityje daug dėmesio skiriama padėties skaičių sistemoms. Tai apima:

• dvejetainis;
• aštuntasis;
• dešimtainis;
• šešioliktainis;
• seksagesimalis, naudojamas skaičiuojant laiką (pavyzdžiui, per minutę - 60 sekundžių, per valandą - 60 minučių).

Kiekvienas iš jų turi savo rašymo abėcėlę, vertimo taisykles ir aritmetinius veiksmus.

Dešimtainė sistema

Ši sistema mums yra labiausiai pažįstama. Skaičiams rašyti naudojami skaičiai nuo 0 iki 9. Jie taip pat vadinami arabiškais. Priklausomai nuo skaitmens padėties skaičiuje, jis gali reikšti skirtingus skaitmenis – vienetus, dešimtis, šimtus, tūkstančius ar milijonus. Jį naudojame visur, žinome pagrindines taisykles, pagal kurias atliekami aritmetiniai veiksmai su skaičiais.

Dvejetainė sistema

Viena iš pagrindinių kompiuterių mokslo skaičių sistemų yra dvejetainė. Jo paprastumas leidžia kompiuteriui atlikti sudėtingus skaičiavimus kelis kartus greičiau nei dešimtainėje sistemoje.

Skaičiams rašyti naudojami tik du skaitmenys – 0 ir 1. Tuo pačiu metu, priklausomai nuo 0 arba 1 padėties skaičiuje, jo reikšmė keisis.

Iš pradžių jie viską gavo kompiuterių pagalba reikalinga informacija. Tuo pačiu metu vienas reiškė signalo, perduodamo naudojant įtampą, buvimą, o nulis reiškė jo nebuvimą.

Aštuontainė sistema

Kita gerai žinoma kompiuterinė skaičių sistema, kurioje naudojami skaičiai nuo 0 iki 7. Ji buvo naudojama daugiausia tose žinių srityse, kurios yra susijusios su skaitmeniniais įrenginiais. Tačiau pastaruoju metu jis buvo naudojamas daug rečiau, nes jį pakeitė šešioliktainė skaičių sistema.

Dvejetainis dešimtainis

Didelių skaičių atvaizdavimas dvejetainėje sistemoje žmogui yra gana sudėtingas procesas. Supaprastinimui jis buvo sukurtas.Dažniausiai naudojamas elektroniniuose laikrodžiuose, skaičiuotuvuose. Šioje sistemoje ne visas skaičius paverčiamas iš dešimtainės sistemos į dvejetainę, bet kiekvienas skaitmuo paverčiamas į atitinkamą nulių ir vienetų rinkinį dvejetainėje sistemoje. Tas pats pasakytina apie konvertavimą iš dvejetainio į dešimtainį. Kiekvienas skaitmuo, pavaizduotas kaip keturių skaitmenų nulių ir vienetų rinkinys, dešimtainėje skaičių sistemoje paverčiamas skaitmeniu. Iš principo nėra nieko sudėtingo.

Norint dirbti su skaičiais šiuo atveju, naudinga skaičių sistemų lentelė, kurioje bus nurodyta skaičių ir jų dvejetainio kodo atitikimas.

Šešioliktainė sistema

Pastaruoju metu šešioliktainė skaičių sistema tampa vis populiaresnė programavimo ir informatikos srityse. Jame naudojami ne tik skaičiai nuo 0 iki 9, bet ir daugybė lotyniškų raidžių – A, B, C, D, E, F.

Tuo pačiu metu kiekviena iš raidžių turi savo reikšmę, taigi A=10, B=11, C=12 ir pan. Kiekvienas skaičius pateikiamas kaip keturių simbolių rinkinys: 001F.

Skaičių konvertavimas: iš dešimtainio į dvejetainį

Vertimas skaičių sistemose vyksta pagal tam tikras taisykles. Dažniausiai konvertuojama iš dvejetainės į dešimtainę ir atvirkščiai.

Norint paversti skaičių iš dešimtainio į dvejetainį, būtina jį nuosekliai padalyti iš skaičių sistemos pagrindo, tai yra iš skaičiaus du. Tokiu atveju turi būti fiksuota likusi kiekvieno skyriaus dalis. Tai tęsis tol, kol likusi padalijimo dalis bus mažesnė arba lygi vienetui. Skaičiavimus geriausia atlikti stulpelyje. Tada gautos padalijimo liekanos įrašomos į eilutę atvirkštine tvarka.

Pavyzdžiui, paverskime skaičių 9 į dvejetainį:

Padalijame 9, nes skaičius dalijasi ne tolygiai, tada imame skaičių 8, likusi dalis bus 9 - 1 = 1.

Padalijus 8 iš 2, gauname 4. Padalijame dar kartą, kadangi skaičius dalinamas iš dviejų - liekana gauname 4 - 4 = 0.

Tą pačią operaciją atliekame su 2. Likusioji dalis yra 0.

Dėl padalijimo gauname 1.

Nepriklausomai nuo galutinės skaičių sistemos, skaičių perkėlimas iš dešimtainės į bet kurią kitą vyks pagal principą, kad skaičius dalijamas iš padėties sistemos pagrindo.

Skaičių konvertavimas: iš dvejetainio į dešimtainį

Gana lengva konvertuoti skaičius į dešimtainį iš dvejetainių. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti skaičių didinimo iki laipsnio taisykles. Šiuo atveju iki dviejų.

Vertimo algoritmas yra toks: kiekvienas dvejetainio skaičiaus kodo skaitmuo turi būti padaugintas iš dviejų, o pirmieji du bus laipsniai m-1, antrasis - m-2 ir tt, kur m yra skaičius skaitmenų kode. Tada pridėkite pridėjimo rezultatus, gaudami sveikąjį skaičių.

Moksleiviams šis algoritmas gali būti paaiškintas paprasčiau:

Pirmiausia paimame ir užrašome kiekvieną skaitmenį, padaugintą iš dviejų, tada nuo galo dedame dviejų laipsnį, pradedant nuo nulio. Tada sudėkite gautą skaičių.

Pavyzdžiui, išanalizuokime su jumis anksčiau gautą skaičių 1001, konvertuodami jį į dešimtainę sistemą ir tuo pačiu patikrinkime mūsų skaičiavimų teisingumą.

Tai atrodys taip:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Studijuojant šią temą patogu naudoti lentelę su dviejų galių. Tai žymiai sumažins skaičiavimams reikalingą laiką.

Kitos vertimo parinktys

Kai kuriais atvejais vertimas gali būti atliekamas iš dvejetainio ir aštuntainio, dvejetainio ir šešioliktainio. Tokiu atveju galite naudoti specialias lenteles arba paleisti skaičiuotuvo programą savo kompiuteryje, rodinio skirtuke pasirinkę parinktį „Programuotojas“.

Aritmetiniai veiksmai

Nepriklausomai nuo to, kokia forma pavaizduotas skaičius, galima atlikti mums žinomus skaičiavimus. Tai gali būti dalyba ir daugyba, atimtis ir sudėjimas jūsų pasirinktoje skaičių sistemoje. Žinoma, kiekvienas iš jų turi savo taisykles.

Taigi dvejetainei sistemai kiekvienai operacijai buvo sukurtos atskiros lentelės. Tos pačios lentelės naudojamos ir kitose padėties sistemose.

Nebūtina jų įsiminti – tiesiog atsispausdinkite ir turėkite po ranka. Taip pat galite naudoti skaičiuotuvą savo kompiuteryje.

Viena iš svarbiausių kompiuterių mokslo temų yra skaičių sistema. Šios temos žinojimas, skaičių vertimo iš vienos sistemos į kitą algoritmų supratimas yra garantija, kad sugebėsite suprasti sudėtingesnes temas, tokias kaip algoritmizavimas ir programavimas, ir galėsite savarankiškai parašyti pirmąją programą.

Prieš pradėdami spręsti problemas, turime suprasti keletą paprastų dalykų.

Apsvarstykite dešimtainį skaičių 875. Paskutinis skaičiaus skaitmuo (5) yra skaičiaus 875 padalijimo iš 10 liekana. Paskutiniai du skaitmenys sudaro skaičių 75 – tai yra skaičiaus 875 dalybos iš 100 liekana. . Panašūs teiginiai galioja bet kuriai skaičių sistemai:

Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra likusi dalis, padalyta tą skaičių iš skaičių sistemos pagrindo.

Paskutiniai du skaičiaus skaitmenys yra likusi dalis padalijus skaičių iš kvadratinių skaičių sistemos pagrindo.

Pavyzdžiui, . 23 padalijame iš 3 sistemos pagrindo, likusioje dalyje gauname 7 ir 2 (2 yra paskutinis skaičiaus skaitmuo trinarėje sistemoje). Padalinkite 23 iš 9 (bazė kvadratu), gausime 18 ir 5 likusią dalį (5 = ).

Grįžkime prie įprastos dešimtainės sistemos. Skaičius = 100 000. 10 iki k laipsnio yra vienas, o k yra nuliai.

Panašus teiginys galioja bet kuriai skaičių sistemai:

Skaičių sistemos bazė iki k laipsnio šioje skaičių sistemoje rašoma kaip vienetas, o k nuliai.

Pavyzdžiui, .

1. Ieškokite skaičių sistemos pagrindo

1 pavyzdys

Skaičių sistemoje su tam tikra baze dešimtainis skaičius 27 rašomas kaip 30. Nurodykite šią bazę.

Sprendimas:

Pažymėkite reikiamą bazę x. Tada .t.y. x=9.

2 pavyzdys

Skaičių sistemoje su tam tikra baze dešimtainis skaičius 13 rašomas kaip 111. Nurodykite šią bazę.

Sprendimas:

Pažymėkite reikiamą bazę x. Tada

Išsprendžiame kvadratinę lygtį, gauname šaknis 3 ir -4. Kadangi skaičių sistemos pagrindas negali būti neigiamas, atsakymas yra 3.

Atsakymas: 3

3 pavyzdys

Didėjimo tvarka, atskiriant kableliais, nurodykite visus skaičių sistemų pagrindus, kuriuose skaičiaus 29 įvedimas baigiasi skaičiumi 5.

Sprendimas:

Jei kurioje nors sistemoje skaičius 29 baigiasi 5, tai skaičius, sumažintas 5 (29-5 = 24), baigiasi 0. Jau sakėme, kad skaičius baigiasi 0, kai dalijasi be likučio iš sistemos pagrindo . Tie. turime rasti visus tokius skaičius, kurie yra skaičiaus 24 dalikliai. Šie skaičiai yra: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Atkreipkite dėmesį, kad skaičių sistemose su baze 2, 3, 4 skaičiaus nėra 5 (o formulavimo uždavinyje skaičius 29 baigiasi 5), taigi yra sistemos su bazėmis: 6, 8, 12,

Atsakymas: 6, 8, 12, 24

4 pavyzdys

Didėjimo tvarka, atskiriant kableliais, nurodykite visus skaičių sistemų pagrindus, kuriuose skaičiaus 71 įvedimas baigiasi skaičiumi 13.

Sprendimas:

Jei kurioje nors sistemoje skaičius baigiasi 13, tai šios sistemos pagrindas yra mažiausiai 4 (kitaip nėra skaičiaus 3).

Skaičius, sumažintas 3 (71-3=68), baigiasi 10. Tai yra, 68 visiškai dalijasi iš reikalingos sistemos bazės, o jos koeficientas, padalytas iš sistemos bazės, suteikia 0 liekaną.

Išrašykime visus skaičiaus 68 sveikuosius daliklius: 2, 4, 17, 34, 68.

2 netinka, nes bazė yra ne mažesnė kaip 4. Patikrinkite likusius daliklius:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (poilsis 1) - tinka

68:17 = 4; 4:17 = 0 (4 poilsis) – netinka

68:34 = 2; 2:17 = 0 (poilsis 2) – netinka

68:68 = 1; 1:68 = 0 (poilsis 1) – tinka

Atsakymas: 4, 68

2. Ieškokite skaičių pagal sąlygas

5 pavyzdys

Nurodykite, atskirdami kableliu, didėjimo tvarka visus dešimtainius skaičius, neviršijančius 25, kurių žymėjimas bazinėje keturių skaičių sistemoje baigiasi 11?

Sprendimas:

Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip skaičius 25 atrodo skaičių sistemoje su 4 baze.

Tie. turime rasti visus skaičius, ne didesnius nei , kurių žymėjimas baigiasi 11. Pagal nuoseklaus skaičiavimo taisyklę sistemoje su 4 baze,
gauname skaičius ir . Mes verčiame juos į dešimtainę skaičių sistemą:

Atsakymas: 5, 21

3. Lygčių sprendimas

6 pavyzdys

Išspręskite lygtį:

Užrašykite atsakymą trinare sistema (atsakyme skaičių sistemos pagrindo rašyti nebūtina).

Sprendimas:

Paverskime visus skaičius į dešimtainę skaičių sistemą:

Kvadratinė lygtis turi šaknis -8 ir 6. (nes sistemos pagrindas negali būti neigiamas). .

Atsakymas: 20

4. Vienetų (nulių) skaičiavimas raiškos reikšmės dvejetainiame žymėjime

Norėdami išspręsti tokio tipo problemas, turime prisiminti, kaip veikia sudėjimas ir atėmimas „stulpelyje“:

Sudėjus, vienas po kito užrašytų skaitmenų bitinė suma pradedama nuo mažiausiai reikšmingų skaitmenų. Jei gauta dviejų skaitmenų suma yra didesnė arba lygi skaičių sistemos pagrindui, šios sumos dalijimo iš sistemos bazės likutis rašomas po suminiais skaičiais, o sveikoji dalis, padalijus šią sumą iš bazės. sistemos vertė pridedama prie šių skaitmenų sumos.

Atimant, vienas po kito užrašytų skaitmenų bitai atimami, pradedant nuo mažiausiai reikšmingų skaitmenų. Jei pirmasis skaitmuo yra mažesnis nei antrasis, mes „pasiskoliname“ vieną iš gretimo (didesnio) skaitmens. Dabartiniame skaitmenyje užimtas vienetas yra lygus skaičių sistemos pagrindui. Dešimtainėje – 10, dvejetainėje – 2, trejetainėje – 3 ir pan.

7 pavyzdys

Kiek vienetų yra išraiškos reikšmės dvejetainiame žymėjime: ?

Sprendimas:

Pavaizduokime visus išraiškos skaičius kaip dviejų laipsnius:

Dvejetainiame žymėjime du iki laipsnio n atrodo kaip 1, po kurio seka n nulių. Tada susumavus ir , gauname skaičių, kurį sudaro 2 vienetai:

Dabar iš gauto skaičiaus atimkite 10000. Pagal atimties taisykles skolinamės nuo kito skaitmens.

Dabar prie gauto skaičiaus pridėkite 1:

Matome, kad rezultate yra 2013+1+1=2015 vnt.

1 pratimas. Koks skaičius dešimtainėje skaičių sistemoje atitinka skaičių 24 16?

Sprendimas.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Atsakymas. 24 16 = 36 10

2 užduotis. Yra žinoma, kad X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Koks yra skaičius X dešimtainėje žymoje?

Sprendimas.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Raskite skaičių: X = 6 + 4 + 5 = 15

Atsakymas. X = 15 10

3 užduotis. Apskaičiuokite sumos 10 2 + 45 8 + 10 16 reikšmę dešimtainiu būdu.

Sprendimas.

Išverskime kiekvieną terminą į dešimtainę skaičių sistemą:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Suma yra: 2 + 37 + 16 = 55

Konvertuoti į dvejetainę skaičių sistemą

1 pratimas. Kas yra skaičius 37 dvejetainėje skaičių sistemoje?

Sprendimas.

Galite konvertuoti padalydami iš 2 ir sujungdami likusias dalis atvirkštine tvarka.

Kitas būdas yra išplėsti skaičių į dviejų laipsnių sumą, pradedant nuo didžiausio, kurio apskaičiuotas rezultatas yra mažesnis už nurodytą skaičių. Konvertuojant trūkstamus skaičiaus laipsnius reikia pakeisti nuliais:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Atsakymas. 37 10 = 100101 2 .

2 užduotis. Kiek reikšmingųjų nulių yra dvejetainiame dešimtainio skaičiaus 73 atvaizde?

Sprendimas.

Skaičius 73 išskaidome į dviejų laipsnių sumą, pradedant nuo didžiausio ir trūkstamus laipsnius padauginti iš nulių, o esamus – iš vieneto:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Atsakymas. Dvejetainiame dešimtainio skaičiaus 73 žymėjime yra keturi reikšmingi nuliai.

3 užduotis. Apskaičiuokite x ir y sumą, kai x = D2 16 , y = 37 8 . Pateikite rezultatą dvejetainėje skaičių sistemoje.

Sprendimas.

Prisiminkite, kad kiekvienas šešioliktainio skaičiaus skaitmuo susideda iš keturių dvejetainių skaitmenų, o kiekvienas aštuntainio skaičiaus skaitmuo – iš trijų:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Sudėkime skaičius:

11010010 11111 -------- 11110001

Atsakymas. Skaičių D2 16 ir y = 37 8 suma, pavaizduota dvejetainėje sistemoje, yra 11110001.

4 užduotis. Duota: a= D7 16 , b= 331 8 . Kuris iš skaičių c, parašytas dvejetainiu būdu, atitinka sąlygą a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Sprendimas.

Išverskime skaičius į dvejetainę skaičių sistemą:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Pirmieji keturi visų skaičių skaitmenys yra vienodi (1101). Todėl palyginimas supaprastinamas iki mažiausiai reikšmingų keturių skaitmenų palyginimo.

Pirmas skaičius sąraše yra skaičius b, todėl netinka.

Antrasis skaičius yra didesnis nei b. Trečiasis skaičius yra a.

Tinka tik ketvirtas numeris: 0111< 1000 < 1001.

Atsakymas. Ketvirtasis variantas (11011000) atitinka sąlygą a< c < b .

Užduotys, skirtos reikšmių nustatymo įvairiose skaičių sistemose ir jų bazėse

1 pratimas. Simboliai @, $, &, % yra užkoduoti dviženkliais iš eilės dvejetainiais skaičiais. Pirmasis simbolis atitinka skaičių 00. Naudojant šiuos simbolius, buvo užkoduota tokia seka: $% [apsaugotas el. paštas]$. Iššifruokite šią seką ir konvertuokite rezultatą į šešioliktainį skaičių.

Sprendimas.

1. Palyginkime dvejetainius skaičius su jų užkoduotais simboliais:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Išverskime dvejetainį skaičių į šešioliktainę skaičių sistemą:
0111 1010 0001 = 7A1

Atsakymas. 7A1 16 .

2 užduotis. Sode auga 100 x vaismedžių, iš kurių 33 x obelys, 22 x kriaušės, 16 x slyvos, 17 x vyšnios. Kas yra skaičių sistemos (x) pagrindas.

Sprendimas.

1. Atkreipkite dėmesį, kad visi terminai yra dviženkliai skaičiai. Bet kurioje skaičių sistemoje jie gali būti pavaizduoti taip:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kur a ir b yra atitinkamų skaičiaus skaitmenų skaitmenys.
Triženklis skaičius atrodytų taip:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Problemos sąlyga yra tokia:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Pakeiskite skaičius formulėse:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Išspręskite kvadratinę lygtį:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D kvadratinė šaknis yra 11.
Kvadratinės lygties šaknys:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 arba x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Neigiamas skaičius negali būti skaičių sistemos pagrindas. Taigi x gali būti lygus tik 9.

Atsakymas. Norimas skaičių sistemos pagrindas yra 9.

3 užduotis. Skaičių sistemoje su tam tikra baze dešimtainis skaičius 12 rašomas kaip 110. Raskite šią bazę.

Sprendimas.

Pirmiausia parašykite skaičių 110 naudodami skaičių rašymo pozicinėse skaičių sistemose formulę, kad surastume reikšmę dešimtainėje skaičių sistemoje, o tada grubia jėga suraskite bazę.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Turime gauti 12. Bandome 2: 2 2 + 2 = 6. Bandome 3: 3 2 + 3 = 12.

Taigi skaičių sistemos pagrindas yra 3.

Atsakymas. Norimas skaičių sistemos pagrindas yra 3.

4 užduotis. Kokioje skaičių sistemoje dešimtainis skaičius 173 būtų vaizduojamas kaip 445?

Sprendimas.
Nežinomą bazę pažymime X. Rašome tokią lygtį:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Atsižvelgdami į tai, kad bet kuris teigiamas skaičius iki nulio laipsnio yra lygus 1, perrašome lygtį (bazės 10 nenurodysime).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Žinoma, tokią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą, tačiau yra ir paprastesnis sprendimas. Iš dešinės ir kairės dalių atimkite 4. Gauname
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 arba 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Iš čia gauname 2 * X + 1 \u003d 13 (neigiamą šaknį atmetame). Arba X = 6.
Atsakymas: 173 10 = 445 6

Užduotys ieškant kelių skaičių sistemų pagrindų

Yra užduočių grupė, kurioje reikalaujama išvardinti (didėjimo arba mažėjimo tvarka) visus skaičių sistemų pagrindus, kuriuose tam tikro skaičiaus atvaizdavimas baigiasi tam tikru skaitmeniu. Ši užduotis išspręsta gana paprastai. Pirmiausia turite atimti nurodytą skaitmenį iš pradinio skaičiaus. Gautas skaičius bus pirmasis skaičių sistemos pagrindas. O visos kitos bazės gali būti tik šio skaičiaus dalikliai. (Šis teiginys įrodytas remiantis skaičių perskaičiavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą taisykle – žr. 4 punktą). Tiesiog prisimink tai skaičių sistemos bazė negali būti mažesnė už nurodytą skaitmenį!

Pavyzdys
Didėjimo tvarka, atskiriant kableliais, nurodykite visus skaičių sistemų pagrindus, kuriuose skaičiaus 24 įvedimas baigiasi 3.

Sprendimas
24 - 3 \u003d 21 yra pirmoji bazė (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 dalijasi iš 3 ir 7. Skaičius 3 netinka, nes Bazinėje 3 skaičių sistemoje 3 nėra.
Atsakymas: 7, 21