Rozklad trojčlenu na činitele s jedním kořenem. Jak rozložit čtvercový trojčlen: vzorec. Metody faktoringu

Třída: 9

Typ lekce: lekce upevňování a systematizace znalostí.

Typ lekce: Ověřování, hodnocení a korekce znalostí a metod jednání.

cíle:

Zařízení: didaktický materiál pro ústní práci, samostatná práce, testové úkoly pro ověření znalostí, kartičky s domácími úkoly, učebnice algebry Yu.N. Makaryčev.

Plán lekce.

Během vyučování

I. Etapa aktualizace znalostí. Motivace výchovného problému.

Organizace času.

Dnes v lekci zobecníme a systematizujeme znalosti na téma: „Faktorizace čtvercového trinomu“. Při provádění různých cvičení byste si měli všimnout bodů, kterým se musíte věnovat Speciální pozornost při řešení rovnic a praktických úloh. To je velmi důležité při přípravě na zkoušku.
Zapište si téma lekce: „Faktorizace čtvercového trojčlenu. Řešení příkladů.

II. Hlavní náplň lekce Utváření a upevňování představ studentů o vzorci pro rozklad čtvercového trinomu na faktory.

ústní práce.

- K úspěšnému rozkladu čtvercového trinomu je potřeba si zapamatovat jak vzorce pro hledání diskriminantu, tak vzorce pro hledání kořenů kvadratické rovnice, vzorec pro rozklad čtvercového trinomu a uvést je do praxe.

1. Podívejte se na karty „Pokračovat nebo dokončit výpis“.

2. Podívejte se na tabuli.

1. Který z navržených polynomů není čtvercový?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Definujte čtvercový trojčlen. Definujte odmocninu čtvercového trojčlenu.

2. Který ze vzorců není vzorcem pro výpočet kořenů kvadratické rovnice?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Najděte koeficienty a, b, c čtvercového trinomu - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Který ze vzorců je vzorcem pro výpočet kořenů kvadratické rovnice

x2 + px + q= 0 podle Vietovy věty?

1) X 1 + x 2 =p,
X jeden · X 2 = q.

2) X 1 + x 2 = –p ,
X jeden · X 2 = q.

3)X 1 + x 2 = –p ,
X jeden · X 2 = – q .

5. Rozbalte čtvercový trojčlen X 2 – 11x + 18 pro násobiče.

Odpovědět: ( X – 2)(X – 9)

6. Rozbalte čtvercový trojčlen v 2 – 9y + 20 pro násobiče

Odpovědět: ( X – 4)(X – 5)

III. Formování dovedností a schopností. Konsolidace studovaného materiálu.

1. Faktorizujte čtvercový trojčlen:
a) 3 X 2 – 8X + 2;
b) 6 X 2 – 5X + 1;
ve 3 X 2 + 5X – 2;
d) -5 X 2 + 6X – 1.

2. Faktoring nám pomáhá při redukci zlomků.

3. Bez použití kořenového vzorce najděte kořeny čtvercového trojčlenu:
A) X 2 + 3X + 2 = 0;
b) X 2 – 9X + 20 = 0.

4. Vytvořte čtvercový trojčlen, jehož kořeny jsou čísla:
A) X 1 = 4; X 2 = 2;
b) X 1 = 3; X 2 = -6;

Samostatná práce.

Samostatně dokončete úkol podle možností a následuje ověření. Na první dva úkoly je třeba odpovědět „Ano“ nebo „Ne“. Zavolá se jeden student z každé možnosti (pracují na klopách tabule). Po provedení samostatné práce na desce se provede společná kontrola řešení. Studenti hodnotí svou práci.

1. možnost:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Číslo 2 je kořenem rovnice x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Rozložte čtvercový trinom na faktory 6 X 2 – 5X + 1;

2. možnost:

1.D>0. Rovnice má 2 kořeny.

2. Číslo 3 je kořenem kvadratické rovnice x 2 - x - 12 = 0.

3. Rozložte čtvercovou trojčlenku na faktory 2 X 2 – 5x + 3

IV. Kontrola asimilace znalostí. Odraz.

– Lekce ukázala, že znáte základní teoretickou látku tohoto tématu. Shrnuli jsme poznatky

Čtvercový trojčlen se nazývá polynom tvaru ax2+bx +C, kde X- variabilní, A,b,C jsou nějaká čísla a a ≠ 0.

Součinitel A volala seniorský koeficient, C – volný členčtvercový trojčlen.

Příklady čtvercových trojčlenů:

2 x 2 + 5x + 4(tady A = 2, b = 5, C = 4)

x 2 - 7x + 5(tady A = 1, b = -7, C = 5)

9x 2 + 9x - 9(tady A = 9, b = 9, C = -9)

Součinitel b nebo koeficient C nebo oba koeficienty mohou být rovny nule současně. Například:

5 x 2 + 3X(tadya = 5b = 3c = 0, takže hodnota c není v rovnici).

6x 2-8 (tadya=6, b=0, c=-8)

2x2(tadya=2, b=0, c=0)

Zavolá se hodnota proměnné, při které polynom zaniká polynomiální kořen.

Najít kořeny čtvercového trojčlenuax2+ bx + C, musíme to přirovnat k nule -
tedy řešit kvadratickou rovniciax2+ bx + c= 0 (viz část "Kvadrická rovnice").

Faktorizace čtvercového trinomu

Příklad:

Rozložíme trojčlen 2 na faktor X 2 + 7x - 4.

Vidíme koeficient A = 2.

Nyní najdeme kořeny trojčlenu. Abychom to udělali, srovnáme ji s nulou a vyřešíme rovnici

2X 2 + 7x - 4 = 0.

Jak se taková rovnice řeší - viz část „Vzorce kořenů kvadratické rovnice. Diskriminační". Zde rovnou pojmenujeme výsledek výpočtů. Náš trinom má dva kořeny:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Dosadíme hodnoty kořenů do našeho vzorce, přičemž ze závorek vyjmeme hodnotu koeficientu A a dostaneme:

2x 2 + 7x - 4 = 2 (x - 1/2) (x + 4).

Získaný výsledek lze zapsat odlišně vynásobením koeficientu 2 binomem X – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problém je vyřešen: trojčlen se rozloží na faktory.

Takový rozklad lze získat pro jakýkoli čtvercový trojčlen s odmocninami.

POZORNOST!

Pokud je diskriminant čtvercového trinomu nulový, pak má tento trinom jeden kořen, ale při rozkladu trinomu se tento kořen bere jako hodnota dvou odmocnin - tedy jako stejná hodnota X 1 aX 2 .

Například trojčlen má jeden kořen rovný 3. Potom x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

V této lekci se naučíme, jak rozložit čtvercové trinomy na lineární faktory. K tomu je třeba připomenout Vietovu větu a její inverzní. Tato dovednost nám pomůže rychle a pohodlně rozložit čtvercové trinomy na lineární činitele a také zjednoduší redukci zlomků skládajících se z výrazů.

Takže zpět ke kvadratické rovnici, kde .

To, co máme na levé straně, se nazývá čtvercový trinom.

Věta je pravdivá: Pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak je identita pravdivá

Kde je vedoucí koeficient, jsou kořeny rovnice.

Máme tedy kvadratickou rovnici - čtvercový trinom, kde kořeny kvadratické rovnice se také nazývají kořeny kvadratického trinomu. Pokud tedy máme kořeny čtvercového trinomu, pak se tento trinom rozloží na lineární faktory.

Důkaz:

Důkaz této skutečnosti se provádí pomocí Vietova teorému, o kterém jsme uvažovali v předchozích lekcích.

Připomeňme si, co nám říká Vietin teorém:

Jestliže jsou kořeny čtvercového trinomu pro které , pak .

Tento teorém implikuje následující tvrzení, že .

Vidíme, že podle Vieta teorému, tedy dosazením těchto hodnot do výše uvedeného vzorce, dostaneme následující výraz

Q.E.D.

Připomeňme, že jsme dokázali větu, že pokud jsou kořeny čtvercového trinomu, pak rozklad platí.

Nyní si připomeňme příklad kvadratické rovnice, ke které jsme pomocí Vietovy věty vybrali kořeny. Z této skutečnosti můžeme díky dokázané větě získat následující rovnost:

Nyní zkontrolujeme správnost této skutečnosti pouhým rozbalením závorek:

Vidíme, že jsme faktorovali správně a každý trinom, pokud má kořeny, může být faktorizován podle této věty na lineární faktory podle vzorce

Pojďme si však ověřit, zda je pro libovolnou rovnici taková faktorizace možná:

Vezměme si například rovnici. Nejprve zkontrolujme znaménko diskriminantu

A pamatujeme si, že abychom splnili větu, kterou jsme se naučili, musí být D větší než 0, proto je v tomto případě faktorizace podle studované věty nemožná.

Proto formulujeme novou větu: pokud čtvercová trojčlenka nemá kořeny, pak ji nelze rozložit na lineární faktory.

Zvažovali jsme tedy Vietův teorém, možnost rozkladu čtvercového trinomu na lineární faktory, a nyní vyřešíme několik problémů.

Úkol 1

V této skupině budeme vlastně řešit problém inverzně k tomu nastolenému. Měli jsme rovnici a našli jsme její kořeny, rozkládající se na faktory. Zde to uděláme naopak. Řekněme, že máme kořeny kvadratické rovnice

Inverzní problém je tento: napište kvadratickou rovnici tak, aby byly její kořeny.

Existují 2 způsoby, jak tento problém vyřešit.

Protože jsou kořeny rovnice, tedy je kvadratická rovnice, jejíž kořeny jsou dány čísly. Nyní otevřeme závorky a zkontrolujeme:

Toto byl první způsob, jak jsme vytvořili kvadratickou rovnici s danými kořeny, která nemá žádné jiné kořeny, protože jakákoli kvadratická rovnice má nejvýše dva kořeny.

Tato metoda zahrnuje použití inverzní Vieta teorému.

Pokud jsou kořeny rovnice, pak splňují podmínku, že .

Pro redukovanou kvadratickou rovnici , , tedy v tomto případě a .

Tím jsme vytvořili kvadratickou rovnici, která má dané kořeny.

Úkol č. 2

Musíte snížit zlomek.

Máme trinom v čitateli a trinom ve jmenovateli a trinomy mohou, ale nemusí být rozloženy na faktor. Pokud jsou čitatel i jmenovatel faktorizován, pak mezi nimi mohou být stejné faktory, které lze snížit.

Nejprve je nutné rozložit čitatel.

Nejprve musíte zkontrolovat, zda lze tuto rovnici faktorizovat, najít diskriminant . Protože , pak znaménko závisí na součinu (musí být menší než 0), v tomto příkladu, tj. daná rovnice má kořeny.

K vyřešení použijeme Vietův teorém:

V tomto případě, protože máme co do činění s kořeny, bude docela obtížné kořeny jednoduše zvednout. Ale vidíme, že koeficienty jsou vyrovnané, tj. pokud předpokládáme, že , a dosadíme tuto hodnotu do rovnice, pak dostaneme následující systém: tj. 5-5=0. Zvolili jsme tedy jeden z kořenů této kvadratické rovnice.

Druhý kořen budeme hledat dosazením již známého do soustavy rovnic, např. , tzn. .

Našli jsme tedy oba kořeny kvadratické rovnice a můžeme jejich hodnoty dosadit do původní rovnice, abychom ji vynásobili:

Připomeňme si původní problém, potřebovali jsme snížit zlomek.

Zkusme problém vyřešit dosazením místo čitatele .

Je potřeba nezapomenout, že v tomto případě nemůže být jmenovatel roven 0, tedy,.

Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak jsme původní zlomek zredukovali do tvaru .

Úloha č. 3 (úloha s parametrem)

Při jakých hodnotách parametru je součet kořenů kvadratické rovnice

Pokud kořeny této rovnice existují, pak , otázka je kdy .

Faktorizace čtvercových trojčlenů je jedním ze školních úkolů, se kterým se dříve nebo později setká každý. Jak to udělat? Jaký je vzorec pro rozklad čtvercového trojčlenu? Pojďme si to projít krok za krokem na příkladech.

Obecný vzorec

Faktorizace čtvercových trinomů se provádí řešením kvadratické rovnice. Jedná se o jednoduchou úlohu, kterou lze vyřešit několika metodami - nalezením diskriminantu, pomocí Vieta teorému, existuje i grafický způsob řešení. První dvě metody se studují na střední škole.

Obecný vzorec vypadá takto:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritmus provádění úlohy

K rozkladu čtvercových trojčlenů potřebujete znát Witovu větu, mít po ruce program na řešení, umět najít řešení graficky nebo hledat kořeny rovnice druhého stupně přes diskriminační vzorec. Pokud je zadán čtvercový trojčlen a musí být faktorizován, algoritmus akcí je následující:

1) Srovnejte původní výraz s nulou, abyste dostali rovnici.

2) Uveďte podobné výrazy (pokud je to nutné).

3) Najděte kořeny jakoukoli známou metodou. Grafická metoda je nejvhodnější, pokud je předem známo, že kořeny jsou celá čísla a malá čísla. Je třeba si uvědomit, že počet kořenů se rovná maximálnímu stupni rovnice, to znamená, že kvadratická rovnice má dva kořeny.

4) Náhradní hodnota X do výrazu (1).

5) Zapište rozklad čtvercových trinomů.

Příklady

Cvičení vám umožní konečně pochopit, jak se tento úkol provádí. Příklady ilustrují rozklad čtvercového trinomu:

musíte rozšířit výraz:

Použijme náš algoritmus:

1) x 2-17x+32=0

2) podobné termíny jsou redukovány

3) podle vzorce Vieta je těžké najít kořeny pro tento příklad, proto je lepší použít výraz pro diskriminant:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Dosaďte kořeny, které jsme našli v hlavním vzorci pro rozklad:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Pak bude odpověď:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Pojďme zkontrolovat, zda řešení nalezená diskriminantem odpovídají vzorcům Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pro tyto kořeny je aplikována Vietova věta, byly nalezeny správně, což znamená, že faktorizace, kterou jsme získali, je také správná.

Podobně rozšiřujeme 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

V předchozím případě byla řešením neceločíselná, ale reálná čísla, která snadno najdete s kalkulačkou před sebou. Nyní zvažte složitější příklad, ve kterém jsou kořeny komplexní: faktorizujte x 2 + 4x + 9. Podle vzorce Vieta nelze najít kořeny a diskriminant je záporný. Kořeny budou na komplexní rovině.

D = -20

Na základě toho získáme kořeny, které nás zajímají -4 + 2i * 5 1/2 a -4-2i * 5 1/2 protože (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Požadovanou expanzi získáme dosazením kořenů do obecného vzorce.

Další příklad: potřebujete faktorizovat výraz 23x 2 -14x + 7.

Máme rovnici 23x 2 -14x+7 =0

D = -448

Kořeny jsou tedy 14+21,166i a 14-21,166i. Odpověď bude:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Uveďme příklad, který lze vyřešit bez pomoci diskriminantu.

Nechť je třeba rozložit kvadratickou rovnici x 2 -32x + 255. Samozřejmě to lze vyřešit i diskriminantem, ale v tomto případě je rychlejší najít kořeny.

x 1 = 15

x2=17

Prostředek x 2-32x + 255 = (x-15) (x-17).

Čtvercový trinom je polynom ve tvaru ax^2 + bx + c, kde x je proměnná, a, b a c jsou nějaká čísla, navíc a ≠ 0.

Chcete-li faktorizovat trinom, musíte znát kořeny tohoto trinomu. (dále příklad na trojčlenu 5x^2 + 3x- 2)

Poznámka: hodnota čtvercového trinomu 5x^2 + 3x - 2 závisí na hodnotě x. Například: Pokud x = 0, pak 5x^2 + 3x - 2 = -2

Pokud x = 2, pak 5x^2 + 3x - 2 = 24

Pokud x = -1, pak 5x^2 + 3x - 2 = 0

Když x \u003d -1, čtvercová trojčlenka 5x ^ 2 + 3x - 2 zmizí, v tomto případě se nazývá číslo -1 odmocnina čtvercového trojčlenu.

Jak získat kořen rovnice

Pojďme si vysvětlit, jak jsme dostali kořen této rovnice. Nejprve musíte jasně znát větu a vzorec, podle kterého budeme pracovat:

"Pokud x1 a x2 jsou kořeny čtvercového trinomu ax^2 + bx + c, pak ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Tento vzorec pro hledání kořenů polynomu je nejprimitivnější vzorec, jehož řešením se nikdy nespletete.

Výraz 5x^2 + 3x - 2.

1. Rovná se nule: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Najdeme kořeny kvadratické rovnice, za to dosadíme hodnoty do vzorce (a je koeficient pro X ^ 2, b je koeficient pro X, volný člen, tj. postava bez X):

Najdeme první odmocninu se znaménkem plus před odmocninou:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Druhá odmocnina se znaménkem mínus před odmocninou:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Našli jsme tedy kořeny čtvercového trinomu. Abyste se ujistili, že jsou správné, můžete zkontrolovat: nejprve dosadíme první kořen v rovnici a poté druhý:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Pokud po dosazení všech kořenů rovnice zmizí, je rovnice vyřešena správně.

3. Nyní použijme vzorec z věty: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), nezapomeňte, že X1 a X2 jsou kořeny kvadratické rovnice. Takže: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x – 0,4)(x + 1)

4. Abyste se ujistili, že je rozklad správný, můžete závorky jednoduše vynásobit:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Což potvrzuje správnost rozhodnutí.

Druhá možnost hledání kořenů čtvercového trojčlenu

Další možností, jak najít kořeny čtvercového trinomu, je inverzní věta Viettovy věty. Zde jsou kořeny kvadratické rovnice nalezeny pomocí vzorců: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Je však důležité pochopit, že tuto větu lze použít pouze v případě, že koeficient a \u003d 1, to znamená číslo před x ^ 2 \u003d 1.

Například: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Řešení: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Nyní je důležité se zamyslet nad tím, jaká čísla v součinu dávají jednotku? Přirozeně toto 1 * 1 a -1 * (-1) . Z těchto čísel vybereme ta, která odpovídají výrazu x1 + x2 = 2, samozřejmě - to je 1 + 1. Našli jsme tedy kořeny rovnice: x1 = 1, x2 = 1. To lze snadno ověřit, zda dosadíte x ^ 2 do výrazu - 2x + 1 = 0.