Dekompozicija trinoma na faktore s jednim korijenom. Kako razložiti kvadratni trinom na faktore: formula. Metode faktoringa

razred: 9

Vrsta lekcije: sat učvršćivanja i sistematizacije znanja.

Vrsta lekcije: Provjera, procjena i korekcija znanja i metoda djelovanja.

Ciljevi:

Oprema: didaktički materijal za usmeni rad, samostalni rad, testni zadaci za provjeru znanja, kartice s domaćom zadaćom, udžbenik algebre Yu.N. Makarychev.

Plan učenja.

Tijekom nastave

I. Faza ažuriranja znanja. Motivacija obrazovnog problema.

Organiziranje vremena.

Danas ćemo na satu generalizirati i sistematizirati znanje na temu: “Faktorizacija kvadratnog trinoma”. Izvodeći različite vježbe, trebali biste sami zabilježiti točke kojima se trebate posvetiti Posebna pažnja pri rješavanju jednadžbi i praktičnih zadataka. To je vrlo važno kada se pripremate za ispit.
Zapišite temu lekcije: „Razlaganje kvadratnog trinoma na faktore. Primjeri rješavanja.

II. Glavni sadržaj lekcije Formiranje i učvršćivanje ideja učenika o formuli za faktoriranje kvadratnog trinoma u faktore.

usmeni rad.

– Da biste uspješno faktorizirali kvadratni trinom, morate zapamtiti i formule za pronalaženje diskriminanta i formule za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe, formulu za faktoriranje kvadratnog trinoma i primijeniti ih u praksi.

1. Pogledajte kartice "Nastavite ili dovršite izjavu".

2. Pogledajte ploču.

1. Koji od predloženih polinoma nije kvadrat?

1) x 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2x 2 +x– 3 = 0;
3) x 4 – 2x 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2x 2 + 2 = 0;

Definirajte kvadratni trinom. Definirajte korijen kvadratnog trinoma.

2. Koja od formula nije formula za izračun korijena kvadratne jednadžbe?

1) x 1,2 = ;
2) x 1,2 = – b+ ;
3) x 1,2 = .

3. Nađite koeficijente a, b, c kvadratnog trinoma - 2 x 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Koja je od formula formula za izračun korijena kvadratne jednadžbe

x2 + px + q= 0 prema Vietinom teoremu?

1) x 1 + x 2 =p,
x jedan · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
x jedan · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
x jedan · x 2 = – q .

5. Proširite kvadratni trinom x 2 – 11x + 18 za množitelje.

Odgovor: ( x – 2)(x – 9)

6. Proširite kvadratni trinom na 2 – 9y + 20 za množitelje

Odgovor: ( x – 4)(x – 5)

III. Formiranje vještina i sposobnosti. Učvršćivanje proučenog gradiva.

1. Faktorizirajte kvadratni trinom:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
u 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Faktoring nam pomaže kod smanjenja razlomaka.

3. Bez korištenja formule korijena, pronađite korijene kvadratnog trinoma:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Napravite kvadratni trinom čiji su korijeni brojevi:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Samostalan rad.

Samostalno dovršite zadatak prema opcijama, nakon čega slijedi provjera. Na prva dva zadatka potrebno je odgovoriti "da" ili "ne". Poziva se po jedan učenik iz svake opcije (rade na reverima ploče). Nakon samostalnog rada na ploči, provodi se zajednička provjera rješenja. Učenici ocjenjuju svoj rad.

1. opcija:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Broj 2 je korijen jednadžbe x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Faktorizirajte kvadratni trinom u faktore 6 x 2 – 5x + 1;

2. opcija:

1.D>0. Jednadžba ima 2 korijena.

2. Broj 3 je korijen kvadratne jednadžbe x 2 - x - 12 = 0.

3. Rastavite kvadratni trinom na faktore 2 x 2 – 5x + 3

IV. Provjera asimilacije znanja. Odraz.

– Sat je pokazao da poznajete osnovno teorijsko gradivo ove teme. Saželi smo znanje

Kvadratni trinom naziva se polinom oblika ax2+bx +c, gdje x- varijabilna, a,b,c su neki brojevi, a a ≠ 0.

Koeficijent a pozvao viši koeficijent, c – slobodan član kvadratni trinom.

Primjeri kvadratnih trinoma:

2 x 2 + 5x + 4(ovdje a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(ovdje a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(ovdje a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficijent b odnosno koeficijent c ili oba koeficijenta mogu biti jednaka nuli u isto vrijeme. Na primjer:

5 x 2 + 3x(ovdjea = 5b = 3c = 0, pa vrijednost c nije u jednadžbi).

6x 2 - 8 (ovdjea=6, b=0, c=-8)

2x2(ovdjea=2, b=0, c=0)

Poziva se vrijednost varijable pri kojoj polinom nestaje polinomski korijen.

Pronaći korijene kvadratnog trinomaax2+ bx + c, moramo ga izjednačiti s nulom -
tj. riješiti kvadratnu jednadžbuax2+ bx + c= 0 (vidi odjeljak "Kvadrična jednadžba").

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Primjer:

Faktoriziramo trinom 2 x 2 + 7x - 4.

Vidimo koeficijent a = 2.

Sada pronađimo korijene trinoma. Da bismo to učinili, izjednačimo ga s nulom i riješimo jednadžbu

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Kako se takva jednadžba rješava - vidi odjeljak “Formule korijena kvadratne jednadžbe. Diskriminirajući". Ovdje odmah imenujemo rezultat izračuna. Naš trinom ima dva korijena:

x 1 = 1/2, x 2 \u003d -4.

Zamijenimo vrijednosti korijena u našu formulu, vadeći iz zagrada vrijednost koeficijenta a, i dobivamo:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Dobiveni rezultat može se drugačije napisati množenjem koeficijenta 2 binomom x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problem je riješen: trinom se rastavlja na faktore.

Takva se dekompozicija može dobiti za bilo koji kvadratni trinom s korijenima.

PAŽNJA!

Ako je diskriminant kvadratnog trinoma jednak nuli, tada ovaj trinom ima jedan korijen, ali kada se trinom razlaže, ovaj korijen se uzima kao vrijednost dva korijena – odnosno kao ista vrijednost x 1 ix 2 .

Na primjer, trinom ima jedan korijen jednak 3. Tada je x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

U ovoj lekciji naučit ćemo kako rastaviti kvadratne trinome na linearne faktore. Za to je potrebno podsjetiti na Vietin teorem i njegov inverz. Ova vještina će nam pomoći da brzo i prikladno razložimo kvadratne trinome u linearne faktore, a također će pojednostaviti redukciju razlomaka koji se sastoje od izraza.

Dakle, natrag na kvadratnu jednadžbu, gdje je .

Ono što imamo na lijevoj strani zove se kvadratni trinom.

Teorem je istinit: Ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je identitet istinit

Gdje je vodeći koeficijent, korijeni su jednadžbe.

Dakle, imamo kvadratnu jednadžbu - kvadratni trinom, pri čemu se korijeni kvadratne jednadžbe nazivaju i korijeni kvadratnog trinoma. Prema tome, ako imamo korijene kvadratnog trinoma, onda se ovaj trinom razlaže na linearne faktore.

Dokaz:

Dokaz ove činjenice provodi se pomoću Vietinog teorema, koji smo razmatrali u prethodnim lekcijama.

Prisjetimo se što nam govori Vietin teorem:

Ako su korijeni kvadratnog trinoma za koje , Tada .

Ovaj teorem implicira sljedeću tvrdnju da .

Vidimo da, prema Vietinom teoremu, tj. zamjenom ovih vrijednosti u gornju formulu, dobivamo sljedeći izraz

Q.E.D.

Podsjetimo da smo dokazali teorem da ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je dekompozicija valjana.

Prisjetimo se sada primjera kvadratne jednadžbe, kojoj smo odabrali korijene koristeći Vietin teorem. Iz ove činjenice možemo dobiti sljedeću jednakost zahvaljujući dokazanom teoremu:

Sada provjerimo točnost ove činjenice jednostavnim proširenjem zagrada:

Vidimo da smo ispravno faktorizirali, a svaki trinom, ako ima korijene, može se faktorizirati prema ovom teoremu u linearne faktore prema formuli

Međutim, provjerimo je li za bilo koju jednadžbu takva faktorizacija moguća:

Uzmimo za primjer jednadžbu. Najprije provjerimo znak diskriminanta

I sjećamo se da kako bismo ispunili teorem koji smo naučili, D mora biti veći od 0, stoga je u ovom slučaju faktoriranje prema proučavanom teoremu nemoguće.

Stoga formuliramo novi teorem: ako kvadratni trinom nema korijena, onda se ne može rastaviti na linearne faktore.

Dakle, razmotrili smo Vietin teorem, mogućnost dekompozicije kvadratnog trinoma na linearne faktore, a sada ćemo riješiti nekoliko problema.

Zadatak #1

U ovoj grupi ćemo zapravo riješiti problem obrnuto od postavljenog. Imali smo jednadžbu i pronašli smo njezine korijene, razlažući se na faktore. Ovdje ćemo učiniti suprotno. Recimo da imamo korijene kvadratne jednadžbe

Inverzni problem je sljedeći: napišite kvadratnu jednadžbu tako da su njezini korijeni.

Postoje 2 načina za rješavanje ovog problema.

Budući da su korijeni jednadžbe, onda je kvadratna jednadžba čiji su korijeni zadani brojevi. Sada otvorimo zagrade i provjerimo:

Ovo je bio prvi način na koji smo stvorili kvadratnu jednadžbu s zadanim korijenima koja nema druge korijene, budući da svaka kvadratna jednadžba ima najviše dva korijena.

Ova metoda uključuje korištenje inverznog Vietinog teorema.

Ako su korijeni jednadžbe, onda oni zadovoljavaju uvjet da .

Za reduciranu kvadratnu jednadžbu , , tj. u ovom slučaju , i .

Dakle, stvorili smo kvadratnu jednadžbu koja ima zadane korijene.

Zadatak #2

Trebate smanjiti udio.

Imamo trinom u brojniku i trinom u nazivniku, a trinomi se mogu ili ne moraju faktorizirati. Ako su i brojnik i nazivnik razloženi na faktore, tada među njima mogu postojati jednaki faktori koji se mogu smanjiti.

Prije svega, potrebno je faktorizirati brojnik.

Prvo, trebate provjeriti može li se ova jednadžba rastaviti na faktore, pronaći diskriminant. Budući da , tada predznak ovisi o proizvodu (mora biti manji od 0), u ovom primjeru, tj. dana jednadžba ima korijene.

Za rješavanje koristimo Vietin teorem:

U ovom slučaju, budući da imamo posla s korijenjem, bit će prilično teško jednostavno pokupiti korijenje. Ali vidimo da su koeficijenti uravnoteženi, tj. ako pretpostavimo da je , i zamijenimo ovu vrijednost u jednadžbu, tada se dobiva sljedeći sustav: tj. 5-5=0. Stoga smo odabrali jedan od korijena ove kvadratne jednadžbe.

Drugi korijen ćemo tražiti zamjenom onoga što je već poznato u sustav jednadžbi, na primjer, , t.j. .

Dakle, pronašli smo oba korijena kvadratne jednadžbe i možemo zamijeniti njihove vrijednosti u izvornu jednadžbu kako bismo je faktorirali:

Prisjetimo se izvornog problema, trebali smo smanjiti razlomak.

Pokušajmo riješiti problem zamjenom umjesto brojnika.

Ne treba zaboraviti da u ovom slučaju nazivnik ne može biti jednak 0, tj.

Ako su ovi uvjeti ispunjeni, onda smo izvorni razlomak sveli na oblik .

Zadatak #3 (zadatak s parametrom)

Pri kojim vrijednostima parametra je zbroj korijena kvadratne jednadžbe

Ako korijeni ove jednadžbe postoje, onda , pitanje je kada .

Faktorizacija kvadratnih trinoma jedan je od školskih zadataka s kojima se svi prije ili kasnije susreću. Kako to učiniti? Koja je formula za faktoriranje kvadratnog trinoma? Idemo kroz to korak po korak s primjerima.

Opća formula

Faktorizacija kvadratnih trinoma provodi se rješavanjem kvadratne jednadžbe. Riječ je o jednostavnom zadatku koji se može riješiti na nekoliko metoda – pronalaženjem diskriminanta, korištenjem Vietinog teorema, postoji i grafički način rješavanja. Prve dvije metode proučavaju se u srednjoj školi.

Opća formula izgleda ovako:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritam izvršavanja zadatka

Da biste razložili kvadratne trinome na faktore, morate poznavati Witov teorem, imati pri ruci program za rješavanje, znati grafički pronaći rješenje ili tražiti korijene jednadžbe drugog stupnja kroz diskriminantnu formulu. Ako je zadan kvadratni trinom i mora se rastaviti na faktore, algoritam radnji je sljedeći:

1) Izjednačite izvorni izraz s nulom kako biste dobili jednadžbu.

2) Navedite slične pojmove (ako je potrebno).

3) Pronađite korijene bilo kojom poznatom metodom. Grafičku metodu najbolje je koristiti ako je unaprijed poznato da su korijeni cijeli i mali brojevi. Mora se imati na umu da je broj korijena jednak maksimalnom stupnju jednadžbe, odnosno da kvadratna jednadžba ima dva korijena.

4) Zamjenska vrijednost x u izraz (1).

5) Zapišite faktorizaciju kvadratnih trinoma.

Primjeri

Vježba vam omogućuje da konačno shvatite kako se ovaj zadatak izvodi. Primjeri ilustriraju faktorizaciju kvadratnog trinoma:

morate proširiti izraz:

Koristimo naš algoritam:

1) x 2 -17x+32=0

2) slični pojmovi se smanjuju

3) prema Vietinoj formuli, teško je pronaći korijene za ovaj primjer, stoga je bolje koristiti izraz za diskriminanta:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zamijenite korijene koje smo pronašli u glavnoj formuli za razlaganje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada će odgovor biti:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Provjerimo odgovaraju li rješenja pronađena diskriminantom Vietinim formulama:

14,845 . 2,155=32

Za ove korijene primjenjuje se Vietin teorem, oni su točno pronađeni, što znači da je faktorizacija koju smo dobili također točna.

Slično, širimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

U prethodnom slučaju rješenja su bila necijeli, već realni brojevi, koje je lako pronaći s kalkulatorom ispred sebe. Sada razmotrite složeniji primjer u kojem su korijeni složeni: faktorizirajte x 2 + 4x + 9. Prema Vietinoj formuli, korijeni se ne mogu pronaći, a diskriminant je negativan. Korijeni će biti na složenoj ravnini.

D=-20

Na temelju toga dobivamo korijene koji nas zanimaju -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 jer (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Dobivamo željenu ekspanziju zamjenom korijena u opću formulu.

Drugi primjer: trebate faktorizirati izraz 23x 2 -14x + 7.

Imamo jednadžbu 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Dakle, korijeni su 14+21,166i i 14-21,166i. Odgovor će biti:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Navedimo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminanta.

Neka je potrebno rastaviti kvadratnu jednadžbu x 2 -32x + 255. Očito se može riješiti i diskriminantom, ali je u ovom slučaju brže pronaći korijene.

x 1 =15

x2=17

Sredstva x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Kvadratni trinom je polinom oblika ax^2 + bx + c, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, štoviše, a ≠ 0.

Za faktorizaciju trinoma morate znati korijene ovog trinoma. (u daljnjem tekstu primjer na trinomu 5x^2 + 3x- 2)

Napomena: vrijednost kvadratnog trinoma 5x^2 + 3x - 2 ovisi o vrijednosti x. Na primjer: ako je x = 0, tada je 5x^2 + 3x - 2 = -2

Ako je x = 2, tada je 5x^2 + 3x - 2 = 24

Ako je x = -1, tada je 5x^2 + 3x - 2 = 0

Kada je x \u003d -1, kvadratni trinom 5x ^ 2 + 3x - 2 nestaje, u ovom slučaju broj -1 se naziva korijen kvadratnog trinoma.

Kako dobiti korijen jednadžbe

Objasnimo kako smo dobili korijen ove jednadžbe. Prvo morate jasno znati teorem i formulu po kojoj ćemo raditi:

"Ako su x1 i x2 korijeni kvadratnog trinoma ax^2 + bx + c, tada ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ova formula za pronalaženje korijena polinoma je najprimitivnija formula, rješavanjem koje se nikada nećete zbuniti.

Izraz 5x^2 + 3x - 2.

1. Jednako je nuli: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Pronalazimo korijene kvadratne jednadžbe, za to zamjenjujemo vrijednosti u formuli (a je koeficijent za X ^ 2, b je koeficijent za X, slobodni član, odnosno a lik bez X):

Nalazimo prvi korijen sa znakom plus ispred kvadratnog korijena:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Drugi korijen sa predznakom minus ispred kvadratnog korijena:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Tako smo pronašli korijene kvadratnog trinoma. Da biste bili sigurni da su točni, možete provjeriti: prvo zamjenjujemo prvi korijen u jednadžbi, a zatim drugi:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Ako nakon zamjene svih korijena, jednadžba nestane, onda je jednadžba ispravno riješena.

3. A sada upotrijebimo formulu iz teorema: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), zapamtite da su X1 i X2 korijeni kvadratne jednadžbe. Dakle: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Da biste bili sigurni da je razlaganje točno, možete jednostavno pomnožiti zagrade:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Što potvrđuje točnost odluke.

Druga opcija za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma

Druga opcija za pronalaženje korijena kvadratnog trinoma je inverzni teorem Vietteovog teorema. Ovdje se korijeni kvadratne jednadžbe nalaze po formulama: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ali važno je razumjeti da se ovaj teorem može koristiti samo ako je koeficijent a \u003d 1, odnosno broj ispred x ^ 2 \u003d 1.

Na primjer: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Rješavanje: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Sada je važno razmisliti o tome koji brojevi u proizvodu daju jedinicu? Naravno ovo 1 * 1 i -1 * (-1) . Od ovih brojeva biramo one koji odgovaraju izrazu x1 + x2 = 2, naravno - ovo je 1 + 1. Tako smo pronašli korijene jednadžbe: x1 = 1, x2 = 1. Ovo je lako provjeriti je li zamjenjujete x ^ 2 u izrazu - 2x + 1 = 0.