Basis sistem bilangan. Mengonversi bilangan ke sistem bilangan yang berbeda dengan solusi Cara mengetahui basis sistem bilangan

Anda dapat memasukkan bilangan bulat, seperti 34 , atau bilangan pecahan, seperti 637.333 . Untuk bilangan pecahan, akurasi terjemahan setelah titik desimal ditunjukkan.

Berikut ini juga digunakan dengan kalkulator ini:

Cara untuk mewakili angka

Algoritma untuk mengonversi angka dari satu sistem angka ke sistem lainnya

Contoh 1.



Terjemahan dari 2 hingga 8 hingga 16 sistem bilangan.
Sistem ini adalah kelipatan dua, oleh karena itu, terjemahan dilakukan menggunakan tabel korespondensi (lihat di bawah).

Untuk mengubah bilangan dari sistem bilangan biner ke bilangan oktal (heksadesimal), bilangan biner perlu dibagi menjadi kelompok tiga (empat untuk heksadesimal) digit dari koma ke kanan dan kiri, melengkapi kelompok ekstrem dengan nol jika diperlukan. Setiap grup diganti dengan digit oktal atau heksadesimal yang sesuai.

Contoh #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
di sini 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Saat mengonversi ke heksadesimal, Anda harus membagi angka menjadi beberapa bagian, masing-masing empat digit, mengikuti aturan yang sama.
Contoh #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
di sini 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Konversi angka dari 2, 8 dan 16 ke sistem desimal dilakukan dengan memecah angka menjadi yang terpisah dan mengalikannya dengan basis sistem (dari mana angka tersebut diterjemahkan) dipangkatkan dengan nomor urutnya dalam nomor yang diterjemahkan. Dalam hal ini, angka diberi nomor di sebelah kiri koma (angka pertama memiliki angka 0) dengan bertambah, dan dalam sisi kanan menurun (yaitu dengan tanda negatif). Hasil yang diperoleh dijumlahkan.

Contoh #4.
Contoh konversi dari sistem bilangan biner ke desimal.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Contoh konversi dari sistem bilangan oktal ke desimal. 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Contoh konversi dari sistem bilangan heksadesimal ke desimal. 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Sekali lagi, kami mengulangi algoritme untuk menerjemahkan angka dari satu sistem angka ke PSS lainnya

1. Dari sistem bilangan desimal:
   • membagi angka dengan basis sistem angka yang diterjemahkan;
   • temukan sisanya setelah membagi bagian bilangan bulat;
   • tuliskan semua sisa dari pembagian dalam urutan terbalik;
2. Dari sistem biner
   • Untuk mengonversi ke sistem bilangan desimal, Anda perlu menemukan jumlah produk dari basis 2 dengan tingkat pelepasan yang sesuai;
   • Untuk mengubah angka menjadi oktal, Anda perlu memecah angka menjadi triad.
     Misalnya, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Untuk mengonversi angka dari biner ke heksadesimal, Anda perlu membagi angka menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari 4 digit.
     Misalnya, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabel untuk mengkonversi ke sistem bilangan oktal

Contoh #2. Ubahlah bilangan 100.12 dari desimal ke oktal dan sebaliknya. Jelaskan alasan perbedaan tersebut.
Keputusan.
Tahap 1. .

Sisa pembagian ditulis dalam urutan terbalik. Kami mendapatkan nomor dalam sistem nomor 8: 144
100 = 144 8

Untuk menerjemahkan bagian pecahan dari suatu bilangan, kita secara berurutan mengalikan bagian pecahan dengan basis 8. Hasilnya, setiap kali kita menuliskan bagian bilangan bulat dari hasil kali.
0,12*8 = 0,96 (seluruh bagian 0 )
0.96*8 = 7.68 (seluruh bagian 7 )
0,68*8 = 5,44 (seluruh bagian 5 )
0,44*8 = 3,52 (seluruh bagian 3 )
Kami mendapatkan nomor dalam sistem nomor 8: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Tahap 2. Mengubah bilangan dari desimal ke oktal.
Konversi terbalik dari oktal ke desimal.

Untuk menerjemahkan bagian bilangan bulat, perlu untuk mengalikan digit angka dengan derajat digit yang sesuai.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Untuk menerjemahkan bagian pecahan, perlu untuk membagi digit angka dengan derajat digit yang sesuai
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Selisih 0,0001 (100,12 - 100,1199) disebabkan oleh kesalahan pembulatan saat mengkonversi ke oktal. Kesalahan ini dapat dikurangi jika kita mengambil jumlah digit yang lebih besar (misalnya, bukan 4, tetapi 8).

Dalam kursus ilmu komputer, terlepas dari sekolah atau universitas, tempat khusus diberikan untuk konsep seperti sistem bilangan. Sebagai aturan, beberapa pelajaran atau latihan praktis dialokasikan untuk itu. Tujuan utamanya tidak hanya untuk mempelajari konsep dasar topik, mempelajari jenis-jenis sistem bilangan, tetapi juga untuk berkenalan dengan aritmatika biner, oktal, dan heksadesimal.

Apa artinya?

Mari kita mulai dengan definisi konsep utama. Seperti yang dicatat oleh buku teks "Ilmu Komputer", sistem bilangan adalah catatan angka yang menggunakan alfabet khusus atau kumpulan angka tertentu.

Bergantung pada apakah nilai suatu digit berubah dari posisinya dalam angka, dua dibedakan: sistem angka posisi dan non-posisi.

Dalam sistem posisi, nilai digit berubah dengan posisinya dalam angka. Jadi, jika kita ambil angka 234, maka angka 4 di dalamnya berarti satuan, tetapi jika kita perhatikan angka 243, maka di sini sudah berarti puluhan, bukan satuan.

Dalam sistem non-posisi, nilai sebuah digit adalah statis, terlepas dari posisinya dalam angka. Paling contoh utama- sistem tongkat, di mana setiap unit ditandai dengan tanda hubung. Di mana pun Anda menetapkan tongkat, nilai angka hanya akan berubah satu.

Sistem non-posisi

Sistem nomor non-posisional meliputi:

1. Sebuah sistem tunggal, yang dianggap sebagai salah satu yang pertama. Itu menggunakan tongkat, bukan angka. Semakin banyak, semakin besar nilai angkanya. Anda dapat menemukan contoh angka yang ditulis dengan cara ini dalam film di mana kita berbicara tentang orang yang hilang di laut, tahanan yang menandai setiap hari dengan bantuan takik di batu atau pohon.
2. Romawi, di mana huruf Latin digunakan sebagai pengganti angka. Dengan menggunakannya, Anda dapat menulis nomor apa pun. Pada saat yang sama, nilainya ditentukan dengan menggunakan jumlah dan selisih angka-angka yang membentuk angka tersebut. Jika ada angka yang lebih kecil di sebelah kiri digit, maka digit kiri dikurangi dari yang kanan, dan jika digit di sebelah kanan kurang dari atau sama dengan digit di sebelah kiri, maka nilainya dijumlahkan ke atas. Misalnya, angka 11 ditulis sebagai XI, dan 9 - IX.
3. Huruf, di mana angka dilambangkan menggunakan alfabet bahasa tertentu. Salah satunya adalah sistem Slavia, di mana sejumlah huruf tidak hanya memiliki fonetik, tetapi juga nilai numerik.
4. di mana hanya dua sebutan yang digunakan untuk merekam - irisan dan panah.
5. Di Mesir juga, simbol khusus digunakan untuk menunjukkan angka. Saat menulis angka, setiap karakter dapat digunakan tidak lebih dari sembilan kali.

Sistem posisi

Banyak perhatian diberikan dalam ilmu komputer untuk sistem nomor posisional. Ini termasuk yang berikut:

• biner;
• oktal;
• desimal;
• heksadesimal;
• sexagesimal, digunakan saat menghitung waktu (misalnya, dalam satu menit - 60 detik, dalam satu jam - 60 menit).

Masing-masing dari mereka memiliki alfabet sendiri untuk menulis, aturan terjemahan, dan operasi aritmatika.

Sistem desimal

Sistem ini adalah yang paling akrab bagi kita. Ini menggunakan angka dari 0 hingga 9 untuk menulis angka. Mereka juga disebut bahasa Arab. Tergantung pada posisi digit dalam angka, itu dapat menunjukkan angka yang berbeda - unit, puluhan, ratusan, ribuan atau jutaan. Kami menggunakannya di mana-mana, kami tahu aturan dasar di mana operasi aritmatika dilakukan pada angka.

Sistem biner

Salah satu sistem bilangan utama dalam ilmu komputer adalah biner. Kesederhanaannya memungkinkan komputer untuk melakukan perhitungan rumit beberapa kali lebih cepat daripada di sistem desimal.

Untuk menulis angka, hanya dua digit yang digunakan - 0 dan 1. Pada saat yang sama, tergantung pada posisi 0 atau 1 dalam angka, nilainya akan berubah.

Awalnya, dengan bantuan komputer mereka menerima semua informasi yang perlu. Pada saat yang sama, satu berarti adanya sinyal yang ditransmisikan menggunakan tegangan, dan nol berarti tidak adanya.

sistem oktal

Sistem nomor komputer terkenal lainnya di mana angka dari 0 hingga 7. Digunakan terutama di bidang pengetahuan yang terkait dengan perangkat digital. Namun baru-baru ini telah digunakan jauh lebih jarang, karena telah digantikan oleh sistem bilangan heksadesimal.

Desimal biner

Mewakili angka besar dalam sistem biner untuk seseorang adalah proses yang agak rumit. Untuk mempermudah dikembangkan, biasanya digunakan pada jam tangan elektronik, kalkulator. Dalam sistem ini, tidak seluruh bilangan diubah dari sistem desimal ke biner, tetapi setiap digit diterjemahkan ke dalam himpunan nol dan satu yang sesuai dalam sistem biner. Hal yang sama berlaku untuk konversi dari biner ke desimal. Setiap digit, direpresentasikan sebagai satu set empat digit nol dan satu, diterjemahkan ke dalam satu digit dalam sistem bilangan desimal. Pada prinsipnya, tidak ada yang rumit.

Untuk bekerja dengan angka dalam kasus ini, tabel sistem angka berguna, yang akan menunjukkan korespondensi antara angka dan kode binernya.

Sistem heksadesimal

Baru-baru ini, sistem bilangan heksadesimal menjadi semakin populer dalam pemrograman dan ilmu komputer. Ini tidak hanya menggunakan angka dari 0 hingga 9, tetapi juga sejumlah huruf Latin - A, B, C, D, E, F.

Pada saat yang sama, masing-masing huruf memiliki arti tersendiri, jadi A=10, B=11, C=12 dan seterusnya. Setiap nomor direpresentasikan sebagai satu set empat karakter: 001F.

Konversi angka: dari desimal ke biner

Penerjemahan dalam sistem bilangan terjadi menurut aturan tertentu. Konversi yang paling umum adalah dari biner ke desimal dan sebaliknya.

Untuk mengonversi angka dari desimal ke biner, perlu untuk membaginya secara konsisten dengan basis sistem bilangan, yaitu, angka dua. Dalam hal ini, sisa dari setiap pembagian harus diperbaiki. Ini akan berlanjut sampai sisa pembagian kurang dari atau sama dengan satu. Yang terbaik adalah melakukan perhitungan dalam kolom. Kemudian sisa pembagian yang dihasilkan ditulis ke string dalam urutan terbalik.

Sebagai contoh, mari kita ubah angka 9 menjadi biner:

Kami membagi 9, karena angka tersebut tidak habis dibagi, maka kami mengambil angka 8, sisanya adalah 9 - 1 = 1.

Setelah membagi 8 dengan 2, kami mendapatkan 4. Kami membaginya lagi, karena angka tersebut dibagi dua - kami mendapatkan 4 - 4 = 0 pada sisanya.

Kami melakukan operasi yang sama dengan 2. Sisanya adalah 0.

Sebagai hasil dari pembagian, kami mendapatkan 1.

Terlepas dari sistem bilangan terakhir, pemindahan bilangan dari desimal ke desimal lainnya akan terjadi sesuai dengan prinsip pembagian bilangan berdasarkan sistem posisi.

Konversi angka: dari biner ke desimal

Sangat mudah untuk mengkonversi angka ke desimal dari biner. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui aturan untuk menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam hal ini, untuk kekuatan dua.

Algoritma terjemahan adalah sebagai berikut: setiap digit dari kode angka biner harus dikalikan dua, dan dua yang pertama akan dipangkatkan m-1, yang kedua - m-2, dan seterusnya, di mana m adalah angkanya digit dalam kode. Kemudian tambahkan hasil penjumlahan, dapatkan bilangan bulat.

Untuk anak sekolah, algoritma ini dapat dijelaskan lebih sederhana:

Untuk memulainya, kita ambil dan tulis setiap angka dikalikan dua, lalu kita turunkan pangkat dua dari ujungnya, mulai dari nol. Kemudian jumlahkan angka yang dihasilkan.

Misalnya, mari kita menganalisis dengan Anda angka 1001 yang diperoleh sebelumnya, mengubahnya menjadi sistem desimal, dan pada saat yang sama memeriksa kebenaran perhitungan kami.

Ini akan terlihat seperti ini:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Saat mempelajari topik ini, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel dengan kekuatan dua. Ini akan secara signifikan mengurangi jumlah waktu yang diperlukan untuk perhitungan.

Opsi terjemahan lainnya

Dalam beberapa kasus, translasi dapat dilakukan antara biner dan oktal, biner dan heksadesimal. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan tabel khusus atau menjalankan aplikasi kalkulator di komputer Anda dengan memilih opsi "Programmer" di tab tampilan.

Operasi aritmatika

Terlepas dari bentuk di mana angka tersebut diwakili, dimungkinkan untuk melakukan perhitungan yang akrab bagi kita dengannya. Ini bisa berupa pembagian dan perkalian, pengurangan dan penambahan dalam sistem bilangan yang Anda pilih. Tentu saja, masing-masing dari mereka memiliki aturannya sendiri.

Jadi untuk sistem biner dikembangkan tabelnya sendiri untuk setiap operasinya. Tabel yang sama digunakan dalam sistem posisi lainnya.

Tidak perlu menghafalnya - cukup cetak dan miliki. Anda juga dapat menggunakan kalkulator di PC Anda.

Salah satu topik terpenting dalam ilmu komputer adalah sistem bilangan. Mengetahui topik ini, memahami algoritme untuk menerjemahkan angka dari satu sistem ke sistem lain adalah jaminan bahwa Anda akan dapat memahami topik yang lebih kompleks, seperti algoritme dan pemrograman, dan akan dapat menulis program pertama Anda sendiri.

Sebelum kita mulai memecahkan masalah, kita perlu memahami beberapa poin sederhana.

Pertimbangkan angka desimal 875. Digit terakhir dari angka (5) adalah sisa pembagian angka 875 dengan 10. Dua digit terakhir membentuk angka 75 - ini adalah sisa pembagian angka 875 dengan 100 Pernyataan serupa berlaku untuk sistem bilangan apa pun:

Digit terakhir suatu bilangan adalah sisa pembagian bilangan tersebut dengan dasar sistem bilangan.

Dua digit terakhir dari suatu bilangan adalah sisa pembagian bilangan tersebut dengan basis sistem bilangan kuadrat.

Sebagai contoh, . Kami membagi 23 dengan basis sistem 3, kami mendapatkan 7 dan 2 sisanya (2 adalah digit terakhir dari angka dalam sistem terner). Bagi 23 dengan 9 (basis kuadrat), kita mendapatkan 18 dan 5 sisanya (5 = ).

Mari kita kembali ke sistem desimal biasa. Angka = 100000. 10 pangkat k adalah satu dan k nol.

Pernyataan serupa berlaku untuk sistem bilangan apa pun:

Basis sistem bilangan pangkat k dalam sistem bilangan ini ditulis sebagai satuan dan k nol.

Sebagai contoh, .

1. Cari basis sistem bilangan

Contoh 1

Dalam sistem bilangan dengan beberapa basis, angka desimal 27 ditulis sebagai 30. Tentukan basis ini.

Keputusan:

Tunjukkan basis x yang diperlukan. Kemudian .i.e. x=9.

Contoh 2

Dalam sistem bilangan dengan beberapa basis, angka desimal 13 ditulis sebagai 111. Tentukan basis ini.

Keputusan:

Tunjukkan basis x yang diperlukan. Kemudian

Kami memecahkan persamaan kuadrat, kami mendapatkan akar 3 dan -4. Karena basis sistem bilangan tidak boleh negatif, jawabannya adalah 3.

Jawaban: 3

Contoh 3

Tunjukkan, dipisahkan dengan koma, dalam urutan menaik, semua basis sistem bilangan di mana entri angka 29 berakhir dengan 5.

Keputusan:

Jika dalam beberapa sistem angka 29 berakhir dengan 5, maka angka yang dikurangi 5 (29-5 = 24) berakhir dengan 0. Kami telah mengatakan bahwa angka berakhir dengan 0 ketika habis dibagi tanpa sisa oleh basis sistem . Itu. kita perlu menemukan semua bilangan yang merupakan pembagi bilangan 24. Bilangan-bilangan ini adalah: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Perhatikan bahwa dalam sistem bilangan dengan basis 2, 3, 4 tidak ada bilangan 5 (dan dalam rumusan masalah, angka 29 berakhir dengan 5), jadi ada sistem dengan basis: 6, 8, 12,

Jawaban: 6, 8, 12, 24

Contoh 4

Tunjukkan, dipisahkan dengan koma, dalam urutan menaik, semua basis sistem bilangan di mana entri angka 71 berakhir dengan 13.

Keputusan:

Jika dalam beberapa sistem angkanya berakhir dengan 13, maka basis dari sistem ini setidaknya 4 (jika tidak, tidak ada angka 3).

Suatu bilangan yang dikurangi 3 (71-3=68) berakhir dengan 10. Artinya, 68 habis dibagi dengan basis sistem yang diinginkan, dan hasil bagi ini, ketika dibagi dengan basis sistem, memberikan sisa 0.

Mari kita tuliskan semua pembagi bilangan bulat dari bilangan 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 tidak cocok, karena alasnya tidak kurang dari 4. Periksa sisa pembagi:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (istirahat 1) - cocok

68:17 = 4; 4:17 = 0 (istirahat 4) - tidak cocok

68:34 = 2; 2:17 = 0 (istirahat 2) - tidak cocok

68:68 = 1; 1:68 = 0 (istirahat 1) - cocok

Jawaban: 4, 68

2. Cari angka berdasarkan ketentuan

Contoh 5

Tunjukkan, dipisahkan dengan koma, dalam urutan menaik, semua bilangan desimal tidak lebih dari 25, yang notasinya dalam sistem bilangan basis empat berakhir dengan 11?

Keputusan:

Pertama, mari kita cari tahu seperti apa angka 25 dalam sistem bilangan dengan basis 4.

Itu. kita perlu menemukan semua angka, tidak lebih besar dari , yang berakhiran 11. Dengan aturan penghitungan berurutan dalam sistem dengan basis 4,
kita mendapatkan angka dan . Kami menerjemahkannya ke dalam sistem bilangan desimal:

Jawaban: 5, 21

3. Solusi persamaan

Contoh 6

Selesaikan persamaan:

Tuliskan jawabannya dalam sistem terner (basis sistem bilangan pada jawaban tidak perlu ditulis).

Keputusan:

Mari kita ubah semua bilangan ke sistem bilangan desimal:

Persamaan kuadrat memiliki akar -8 dan 6. (karena basis sistem tidak boleh negatif). .

Jawaban: 20

4. Menghitung jumlah satu (nol) dalam notasi biner dari nilai ekspresi

Untuk memecahkan masalah jenis ini, kita perlu mengingat cara kerja penjumlahan dan pengurangan "dalam kolom":

Saat menambahkan, penjumlahan bitwise dari angka yang ditulis satu di bawah yang lain terjadi, mulai dari angka paling signifikan. Jika jumlah yang dihasilkan dari dua digit lebih besar dari atau sama dengan basis sistem bilangan, sisa pembagian jumlah ini dengan basis sistem ditulis di bawah angka yang dijumlahkan, dan bagian bilangan bulat dari pembagian jumlah ini dengan basis dari sistem ditambahkan ke jumlah angka-angka berikut.

Saat mengurangkan, terjadi pengurangan sedikit demi sedikit dari angka yang ditulis satu di bawah yang lain, mulai dari angka yang paling tidak signifikan. Jika digit pertama kurang dari yang kedua, kami "meminjam" satu dari digit yang berdekatan (lebih besar). Satuan yang ditempati dalam digit saat ini sama dengan basis sistem bilangan. Dalam desimal itu 10, dalam biner itu 2, dalam ternary itu 3, dan seterusnya.

Contoh 7

Berapa banyak unit yang terkandung dalam notasi biner dari nilai ekspresi: ?

Keputusan:

Mari kita nyatakan semua angka ekspresi sebagai kekuatan dua:

Dalam notasi biner, dua pangkat n terlihat seperti 1 diikuti oleh n nol. Kemudian menjumlahkan dan , kita mendapatkan angka yang mengandung 2 unit:

Sekarang kurangi 10.000 dari angka yang dihasilkan.Menurut aturan pengurangan, kami meminjam dari digit berikutnya.

Sekarang tambahkan 1 ke angka yang dihasilkan:

Kami melihat bahwa hasilnya memiliki 2013+1+1=2015 unit.

Latihan 1. Angka berapa dalam sistem bilangan desimal yang sesuai dengan angka 24 16?

Keputusan.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Menjawab. 24 16 = 36 10

Tugas 2. Diketahui X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Berapakah bilangan X dalam notasi desimal?

Keputusan.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Tentukan bilangan: X = 6 + 4 + 5 = 15

Menjawab. X = 15 10

Tugas 3. Hitung nilai jumlah 10 2 + 45 8 + 10 16 dalam notasi desimal.

Keputusan.

Mari kita terjemahkan setiap istilah ke dalam sistem bilangan desimal:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Jumlahnya adalah: 2 + 37 + 16 = 55

Ubah ke sistem bilangan biner

Latihan 1. Berapa angka 37 dalam sistem bilangan biner?

Keputusan.

Anda dapat mengonversi dengan membagi 2 dan menggabungkan sisanya dalam urutan terbalik.

Cara lain adalah dengan memperluas angka menjadi jumlah pangkat dua, dimulai dengan yang tertinggi, yang hasil perhitungannya lebih kecil dari angka yang diberikan. Saat mengonversi, kekuatan angka yang hilang harus diganti dengan nol:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Menjawab. 37 10 = 100101 2 .

Tugas 2. Berapa banyak angka nol penting dalam representasi biner dari angka desimal 73?

Keputusan.

Kami menguraikan angka 73 menjadi jumlah kekuatan dua, dimulai dengan yang tertinggi dan mengalikan kekuatan yang hilang dengan nol, dan yang sudah ada dengan satu:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Menjawab. Ada empat angka nol penting dalam notasi biner untuk bilangan desimal 73.

Tugas 3. Hitung jumlah x dan y untuk x = D2 16 , y = 37 8 . Sajikan hasilnya dalam sistem bilangan biner.

Keputusan.

Ingatlah bahwa setiap digit bilangan heksadesimal dibentuk oleh empat digit biner, setiap digit bilangan oktal oleh tiga:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Mari kita tambahkan angkanya:

11010010 11111 -------- 11110001

Menjawab. Jumlah bilangan D2 16 dan y = 37 8 , yang direpresentasikan dalam sistem biner, adalah 11110001.

Tugas 4. Diberikan: sebuah= D7 16 , b= 331 8 . Manakah dari angka c, ditulis dalam notasi biner, memenuhi syarat sebuah< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Keputusan.

Mari kita terjemahkan bilangan ke dalam sistem bilangan biner:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Empat digit pertama untuk semua angka adalah sama (1101). Oleh karena itu, perbandingannya disederhanakan menjadi perbandingan empat digit terkecil.

Angka pertama dalam daftar adalah nomor b, oleh karena itu, tidak cocok.

Angka kedua lebih besar dari b. Angka ketiga adalah sebuah.

Hanya nomor keempat yang cocok: 0111< 1000 < 1001.

Menjawab. Opsi keempat (11011000) memenuhi syarat sebuah< c < b .

Tugas untuk menentukan nilai dalam berbagai sistem bilangan dan basisnya

Latihan 1. Karakter @, $, &, % dikodekan dalam dua digit angka biner berurutan. Karakter pertama sesuai dengan angka 00. Dengan menggunakan karakter ini, urutan berikut dikodekan: $% [dilindungi email]$. Decode urutan ini dan ubah hasilnya menjadi heksadesimal.

Keputusan.

1. Mari kita bandingkan bilangan biner dengan karakter yang dikodekan:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Mari kita terjemahkan bilangan biner ke dalam sistem bilangan heksadesimal:
0111 1010 0001 = 7A1

Menjawab. 7A1 16 .

Tugas 2. Ada 100 x pohon buah-buahan di kebun, 33 x pohon apel, 22 x pir, 16 x plum, 17 x ceri. Apa basis dari sistem bilangan (x).

Keputusan.

1. Perhatikan bahwa semua suku adalah bilangan dua digit. Dalam sistem bilangan apa pun, mereka dapat direpresentasikan sebagai berikut:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, di mana a dan b adalah angka-angka dari angka-angka yang sesuai dari angka tersebut.
Untuk angka tiga digit akan menjadi seperti ini:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Kondisi masalah adalah sebagai berikut:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Substitusikan angka-angka dalam rumus:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Selesaikan persamaan kuadrat:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Akar kuadrat dari D adalah 11.
Akar persamaan kuadrat:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 atau x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Bilangan negatif tidak dapat menjadi basis sistem bilangan. Jadi x hanya bisa sama dengan 9.

Menjawab. Basis sistem bilangan yang diinginkan adalah 9.

Tugas 3. Dalam sistem bilangan dengan beberapa basis, angka desimal 12 ditulis sebagai 110. Temukan basis ini.

Keputusan.

Pertama, mari kita tulis angka 110 melalui rumus penulisan angka dalam sistem angka posisi untuk menemukan nilai dalam sistem angka desimal, dan kemudian menemukan basis dengan cara kasar.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Kita perlu mendapatkan 12. Kita mencoba 2: 2 2 + 2 = 6. Kita mencoba 3: 3 2 + 3 = 12.

Jadi basis dari sistem bilangan adalah 3.

Menjawab. Basis yang diinginkan dari sistem bilangan adalah 3.

Tugas 4. Dalam sistem bilangan berapa bilangan desimal 173 direpresentasikan sebagai 445?

Keputusan.
Kami menyatakan basis yang tidak diketahui dengan X. Kami menulis persamaan berikut:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Mengingat bahwa setiap angka positif pangkat nol sama dengan 1, kami menulis ulang persamaan (basis 10 tidak akan ditunjukkan).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Tentu saja, persamaan kuadrat seperti itu dapat diselesaikan menggunakan diskriminan, tetapi ada solusi yang lebih sederhana. Kurangi dari bagian kanan dan kiri dengan 4. Kami mendapatkan
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 atau 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Dari sini kita mendapatkan 2 * X + 1 \u003d 13 (kita buang akar negatifnya). Atau X = 6.
Jawaban: 173 10 = 445 6

Tugas untuk menemukan beberapa basis sistem bilangan

Ada sekelompok tugas di mana diperlukan untuk membuat daftar (dalam urutan menaik atau menurun) semua basis sistem bilangan di mana representasi nomor tertentu diakhiri dengan digit tertentu. Tugas ini diselesaikan dengan cukup sederhana. Pertama, Anda perlu mengurangi angka yang diberikan dari angka aslinya. Angka yang dihasilkan akan menjadi basis pertama dari sistem angka. Dan semua basis lainnya hanya bisa menjadi pembagi dari angka ini. (Pernyataan ini dibuktikan berdasarkan aturan pemindahan angka dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya - lihat butir 4). Ingat saja itu basis sistem bilangan tidak boleh kurang dari angka yang diberikan!

Contoh
Tunjukkan, dipisahkan dengan koma, dalam urutan menaik, semua basis sistem bilangan di mana entri angka 24 berakhir dengan 3.

Keputusan
24 - 3 \u003d 21 adalah basis pertama (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 habis dibagi 3 dan 7. Angka 3 tidak cocok, karena Tidak ada 3 dalam sistem bilangan basis 3.
Jawaban: 7, 21