ฐานของระบบตัวเลข การแปลงตัวเลขเป็นระบบตัวเลขต่าง ๆ พร้อมเฉลย วิธีหาฐานของระบบตัวเลข

คุณสามารถป้อนจำนวนเต็ม เช่น 34 หรือตัวเลขเศษส่วน เช่น 637.333 สำหรับตัวเลขเศษส่วน จะแสดงความถูกต้องของการแปลหลังจุดทศนิยม

ข้อมูลต่อไปนี้ใช้กับเครื่องคิดเลขนี้ด้วย:

วิธีการแสดงตัวเลข

อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่ง

ตัวอย่าง # 1



แปลจากระบบตัวเลข 2 เป็น 8 ถึง 16
ระบบเหล่านี้เป็นทวีคูณของสอง ดังนั้น การแปลจะดำเนินการโดยใช้ตารางการติดต่อ (ดูด้านล่าง)

ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด (ฐานสิบหก) จำเป็นต้องแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มที่มีสามหลัก (สี่สำหรับเลขฐานสิบหก) จากเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาและซ้าย เสริมกลุ่มสุดขั้วด้วยศูนย์ ในกรณีที่จำเป็น. แต่ละกลุ่มจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานแปดหรือฐานสิบหกที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง # 2 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ที่นี่ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

เมื่อแปลงเป็นเลขฐานสิบหก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นส่วนๆ แต่ละส่วนสี่หลัก ตามกฎเดียวกัน
ตัวอย่าง #3 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
ที่นี่ 0010=2; 1011=ข; 1010=12; 1011=13

การแปลงตัวเลขจาก 2, 8 และ 16 เป็นระบบทศนิยมทำได้โดยแบ่งตัวเลขออกเป็นจำนวนแยกและคูณด้วยฐานของระบบ (จากที่แปลตัวเลข) ยกกำลังที่สอดคล้องกับเลขลำดับ ในหมายเลขที่แปล ในกรณีนี้ ตัวเลขจะถูกกำหนดหมายเลขทางด้านซ้ายของเครื่องหมายจุลภาค (หมายเลขแรกมีหมายเลข 0) เพิ่มขึ้น และใน ด้านขวาลดลง (เช่น มีเครื่องหมายลบ) ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง #4
ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสอง

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานแปดเป็นทศนิยม 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 ตัวอย่างการแปลงจากระบบเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสิบ 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

อีกครั้ง เราทำซ้ำอัลกอริทึมสำหรับการแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งเป็น PSS . อื่น

1. จากระบบเลขฐานสิบ:
   • หารตัวเลขด้วยฐานของระบบตัวเลขที่กำลังแปล
   • ค้นหาส่วนที่เหลือหลังจากหารส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขแล้ว
   • จดส่วนที่เหลือทั้งหมดจากการหารในลำดับที่กลับกัน
2. จากระบบเลขฐานสอง
   • ในการแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบ คุณต้องหาผลรวมของผลิตภัณฑ์ของฐาน 2 ด้วยระดับการคายประจุที่สอดคล้องกัน
   • ในการแปลงตัวเลขเป็นฐานแปด คุณต้องแยกตัวเลขออกเป็นสามส่วน
     ตัวอย่างเช่น 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • ในการแปลงตัวเลขจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ ละ 4 หลัก
     ตัวอย่างเช่น 1000110 = 100 0110 = 46 16

ตารางแปลงเป็นระบบเลขฐานแปด

ตัวอย่าง # 2 แปลงตัวเลข 100.12 จากทศนิยมเป็นฐานแปดและกลับกัน อธิบายสาเหตุของความคลาดเคลื่อน
วิธีการแก้.
ขั้นตอนที่ 1 .

ส่วนที่เหลือของหมวดเขียนในลำดับที่กลับกัน เราได้ตัวเลขในระบบตัวเลขที่ 8: 144
100 = 144 8

ในการแปลเศษส่วนของตัวเลข เราจะคูณเศษส่วนด้วยฐาน 8 ตามลำดับ ดังนั้น ทุกครั้งที่เราจดส่วนจำนวนเต็มของผลิตภัณฑ์
0.12*8 = 0.96 (ทั้งส่วน 0 )
0.96*8 = 7.68 (ทั้งส่วน 7 )
0.68*8 = 5.44 (ทั้งส่วน 5 )
0.44*8 = 3.52 (ทั้งส่วน 3 )
เราได้ตัวเลขในระบบเลข 8: 0753
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

ระยะที่ 2 การแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นฐานแปด.
ย้อนกลับการแปลงจากฐานแปดเป็นทศนิยม

ในการแปลส่วนจำนวนเต็ม จำเป็นต้องคูณตัวเลขของตัวเลขด้วยระดับของหลักที่สอดคล้องกัน
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

ในการแปลเศษส่วน จำเป็นต้องแบ่งหลักของตัวเลขด้วยระดับของตัวเลขที่สอดคล้องกัน
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
ความแตกต่าง 0.0001 (100.12 - 100.1199) เกิดจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษเมื่อแปลงเป็นฐานแปด ข้อผิดพลาดนี้สามารถลดลงได้หากเราใช้ตัวเลขจำนวนมากขึ้น (เช่น ไม่ใช่ 4 แต่ 8)

ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์โดยไม่คำนึงถึงโรงเรียนหรือมหาวิทยาลัยจะมีการจัดสถานที่พิเศษให้กับแนวคิดเช่นระบบตัวเลข ตามกฎแล้วจะมีการจัดสรรบทเรียนหรือแบบฝึกหัดหลายบท เป้าหมายหลักไม่ใช่แค่เพื่อเรียนรู้แนวคิดพื้นฐานของหัวข้อ เพื่อศึกษาประเภทของระบบตัวเลข แต่ยังทำความคุ้นเคยกับเลขฐานสอง ฐานแปด และเลขฐานสิบหก

มันหมายความว่าอะไร?

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของแนวคิดหลัก ตามตำรา "วิทยาการคอมพิวเตอร์" ระบบตัวเลขคือบันทึกตัวเลขที่ใช้ตัวอักษรพิเศษหรือชุดตัวเลขเฉพาะ

ขึ้นอยู่กับว่าค่าของตัวเลขเปลี่ยนจากตำแหน่งในตัวเลขหรือไม่ มีสองระบบที่แตกต่างกัน: ระบบตัวเลขตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง

ในระบบตำแหน่ง ค่าของตัวเลขจะเปลี่ยนตามตำแหน่งในตัวเลข ดังนั้น หากเราเอาเลข 234 มา เลข 4 ในนั้นหมายถึงหน่วย แต่ถ้าเราพิจารณาเลข 243 ตรงนี้ก็จะหมายถึงหลักสิบ ไม่ใช่หน่วย

ในระบบที่ไม่มีตำแหน่ง ค่าของตัวเลขจะคงที่ โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งในตัวเลข ที่สุด ตัวอย่างสำคัญ- ระบบแท่งซึ่งแต่ละยูนิตจะถูกระบุด้วยเส้นประ ไม่ว่าคุณจะกำหนดไม้กายสิทธิ์ไว้ที่ใด ค่าของตัวเลขจะเปลี่ยนทีละอันเท่านั้น

ระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง

ระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่งรวมถึง:

1. ระบบเดียวซึ่งถือเป็นหนึ่งในระบบแรกๆ มันใช้ไม้แทนตัวเลข ยิ่งมีจำนวนมากเท่าใด ค่าของตัวเลขก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น คุณสามารถพบตัวอย่างตัวเลขที่เขียนในลักษณะนี้ในภาพยนตร์ที่เรากำลังพูดถึงผู้คนที่สูญหายในทะเล นักโทษที่ทำเครื่องหมายทุกวันด้วยความช่วยเหลือของรอยบากบนหินหรือต้นไม้
2. โรมัน ซึ่งใช้อักษรละตินแทนตัวเลข คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ ในเวลาเดียวกัน ค่าของมันถูกกำหนดโดยใช้ผลรวมและส่วนต่างของตัวเลขที่ประกอบขึ้นเป็นตัวเลข หากมีจำนวนน้อยกว่าทางด้านซ้ายของหลัก หลักซ้ายจะถูกลบออกจากหลักที่ถูกต้อง และถ้าหลักทางด้านขวาน้อยกว่าหรือเท่ากับหลักทางซ้าย ค่าของตัวเลขเหล่านั้น ขึ้น. ตัวอย่างเช่น หมายเลข 11 เขียนเป็น XI และ 9 - IX
3. ตัวอักษรซึ่งแสดงตัวเลขโดยใช้ตัวอักษรของภาษาใดภาษาหนึ่ง หนึ่งในนั้นคือระบบสลาฟซึ่งมีตัวอักษรจำนวนหนึ่งไม่เพียง แต่ออกเสียงเท่านั้น แต่ยังมีค่าตัวเลขด้วย
4. ซึ่งใช้ในการบันทึกเพียงสองชื่อ - เวดจ์และลูกศร
5. ในอียิปต์ก็ใช้สัญลักษณ์พิเศษเพื่อแสดงตัวเลขเช่นกัน เมื่อเขียนตัวเลข อักขระแต่ละตัวสามารถใช้ได้ไม่เกินเก้าครั้ง

ระบบตำแหน่ง

วิทยาการคอมพิวเตอร์ให้ความสนใจอย่างมากกับระบบตัวเลขตำแหน่ง ซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้:

• ไบนารี่;
• ฐานแปด;
• ทศนิยม;
• เลขฐานสิบหก
• sexagesimal ใช้เมื่อนับเวลา (เช่นในนาที - 60 วินาทีในหนึ่งชั่วโมง - 60 นาที)

แต่ละคนมีตัวอักษรของตัวเองสำหรับการเขียน กฎการแปล และการคำนวณทางคณิตศาสตร์

ระบบทศนิยม

ระบบนี้คุ้นเคยกับเรามากที่สุด ใช้ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ในการเขียนตัวเลข พวกเขาเรียกอีกอย่างว่าอารบิก ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขในตัวเลข มันสามารถแสดงถึงตัวเลขที่แตกต่างกัน - หน่วย สิบ ร้อย พันหรือล้าน เราใช้ทุกที่ เรารู้กฎพื้นฐานที่ดำเนินการเลขคณิตกับตัวเลข

ระบบไบนารี

หนึ่งในระบบตัวเลขหลักในวิทยาการคอมพิวเตอร์คือเลขฐานสอง ความเรียบง่ายช่วยให้คอมพิวเตอร์ทำการคำนวณที่ยุ่งยากได้เร็วกว่าในระบบทศนิยมหลายเท่า

ในการเขียนตัวเลขจะใช้ตัวเลขเพียงสองหลัก - 0 และ 1 ในเวลาเดียวกันค่าของมันจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ 0 หรือ 1 ในตัวเลข

แรกเริ่มด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ที่พวกเขาได้รับทั้งหมด ข้อมูลที่จำเป็น. ในเวลาเดียวกัน สิ่งหนึ่งหมายถึงการมีอยู่ของสัญญาณที่ส่งโดยใช้แรงดันไฟฟ้า และศูนย์หมายความว่าไม่มีอยู่

ระบบเลขฐานแปด

อีกระบบตัวเลขคอมพิวเตอร์ที่รู้จักกันดีซึ่งใช้ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 7 ส่วนใหญ่ใช้ในด้านความรู้ที่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ดิจิทัล แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้มีการใช้งานน้อยกว่ามาก เนื่องจากมันถูกแทนที่ด้วยระบบเลขฐานสิบหก

ทศนิยมไบนารี

การแสดงตัวเลขจำนวนมากในระบบเลขฐานสองสำหรับบุคคลนั้นเป็นกระบวนการที่ค่อนข้างซับซ้อน เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น มันถูกพัฒนา มักใช้ในนาฬิกาอิเล็กทรอนิกส์ เครื่องคิดเลข ในระบบนี้ จำนวนเต็มจะไม่ถูกแปลงจากระบบทศนิยมเป็นเลขฐานสอง แต่แต่ละหลักจะถูกแปลเป็นชุดเลขศูนย์และตัวเลขในระบบเลขฐานสองที่สอดคล้องกัน เช่นเดียวกับการแปลงจากไบนารีเป็นทศนิยม แต่ละหลักซึ่งแสดงเป็นชุดสี่หลักของศูนย์และหนึ่งจะถูกแปลเป็นตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ โดยหลักการแล้วไม่มีอะไรซับซ้อน

ในการทำงานกับตัวเลข ในกรณีนี้ ระบบตารางตัวเลขจะมีประโยชน์ ซึ่งจะบ่งบอกถึงความสอดคล้องระหว่างตัวเลขกับรหัสไบนารี่ของพวกมัน

ระบบเลขฐานสิบหก

เมื่อเร็ว ๆ นี้ระบบเลขฐานสิบหกได้รับความนิยมมากขึ้นในการเขียนโปรแกรมและวิทยาการคอมพิวเตอร์ มันไม่เพียงแต่ใช้ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เท่านั้น แต่ยังใช้ตัวอักษรละตินจำนวนหนึ่งด้วย - A, B, C, D, E, F.

ในเวลาเดียวกัน ตัวอักษรแต่ละตัวมีความหมายของตัวเอง ดังนั้น A=10, B=11, C=12 และอื่นๆ แต่ละหมายเลขจะแสดงเป็นชุดอักขระสี่ตัว: 001F

การแปลงตัวเลข: จากทศนิยมเป็นไบนารี

การแปลในระบบตัวเลขเกิดขึ้นตามกฎเกณฑ์บางประการ การแปลงที่พบบ่อยที่สุดคือจากไบนารีเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน

ในการแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นเลขฐานสอง จำเป็นต้องหารด้วยฐานของระบบตัวเลขอย่างสม่ำเสมอ นั่นคือเลขสอง ในกรณีนี้ ส่วนที่เหลือของแต่ละแผนกจะต้องได้รับการแก้ไข สิ่งนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าส่วนที่เหลือของการหารจะน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง ทางที่ดีควรทำการคำนวณในคอลัมน์ จากนั้นเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในสตริงในลำดับที่กลับกัน

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเลข 9 เป็นเลขฐานสอง:

เราหาร 9 เนื่องจากจำนวนนั้นหารไม่ลงตัว เราจึงนำเลข 8 มา ส่วนที่เหลือจะเป็น 9 - 1 = 1

หลังจากหาร 8 ด้วย 2 เราได้ 4 เราหารมันอีกครั้ง เนื่องจากจำนวนนั้นหารด้วยสอง - เราได้ 4 - 4 = 0 ในเศษที่เหลือ

เราดำเนินการแบบเดียวกันกับ 2 ส่วนที่เหลือคือ 0

จากการแบ่งเราได้ 1

โดยไม่คำนึงถึงระบบเลขท้าย การโอนเลขจากทศนิยมไปยังระบบอื่นจะเกิดขึ้นตามหลักการหารตัวเลขตามระบบตำแหน่ง

การแปลงตัวเลข: จากเลขฐานสองเป็นทศนิยม

การแปลงตัวเลขเป็นทศนิยมจากไบนารีนั้นค่อนข้างง่าย การทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะรู้กฎสำหรับการเพิ่มตัวเลขเป็นยกกำลัง ในกรณีนี้ ยกกำลังสอง

อัลกอริทึมการแปลมีดังนี้: แต่ละหลักจากรหัสเลขฐานสองต้องคูณด้วยสองและสองตัวแรกจะเป็นกำลังของ m-1 ตัวที่สอง - m-2 และอื่น ๆ โดยที่ m คือตัวเลข ของตัวเลขในรหัส จากนั้นบวกผลลัพธ์ของการบวก ได้จำนวนเต็ม

สำหรับเด็กนักเรียน อัลกอริทึมนี้สามารถอธิบายได้ง่ายขึ้น:

ในการเริ่มต้น เรานำและจดแต่ละหลักคูณด้วยสอง จากนั้นเราใส่พลังของสองจากจุดสิ้นสุด โดยเริ่มจากศูนย์ แล้วบวกเลขผลลัพธ์

ตัวอย่างเช่น มาวิเคราะห์กับคุณเกี่ยวกับตัวเลข 1001 ที่ได้รับก่อนหน้านี้ แปลงเป็นระบบทศนิยม และในขณะเดียวกันก็ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณของเรา

มันจะมีลักษณะดังนี้:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ จะสะดวกที่จะใช้ตารางที่มีกำลังสอง ซึ่งจะช่วยลดระยะเวลาที่ใช้ในการคำนวณได้อย่างมาก

ตัวเลือกการแปลอื่น ๆ

ในบางกรณี การแปลสามารถทำได้ระหว่างเลขฐานสองและฐานแปด เลขฐานสองและเลขฐานสิบหก ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้ตารางพิเศษหรือเรียกใช้แอปพลิเคชันเครื่องคิดเลขบนคอมพิวเตอร์ของคุณโดยเลือกตัวเลือก "โปรแกรมเมอร์" ในแท็บมุมมอง

การดำเนินการเลขคณิต

โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบที่แสดงตัวเลขคุณสามารถทำการคำนวณที่เราคุ้นเคยได้ นี่อาจเป็นการหารและการคูณ การลบ และการบวกในระบบตัวเลขที่คุณเลือก แน่นอนว่าแต่ละคนมีกฎเกณฑ์ของตัวเอง

ดังนั้นสำหรับระบบเลขฐานสองจึงได้พัฒนาตารางของตัวเองสำหรับการดำเนินการแต่ละครั้ง ตารางเดียวกันนี้ใช้ในระบบตำแหน่งอื่น

ไม่จำเป็นต้องจดจำ - เพียงพิมพ์และอยู่ในมือ คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขบนพีซีของคุณได้

หนึ่งในหัวข้อที่สำคัญที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์คือระบบตัวเลข การรู้หัวข้อนี้ การทำความเข้าใจอัลกอริธึมสำหรับการแปลตัวเลขจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่งเป็นการรับประกันว่าคุณจะสามารถเข้าใจหัวข้อที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น อัลกอริทึมและการเขียนโปรแกรม และจะสามารถเขียนโปรแกรมแรกได้ด้วยตัวเอง

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้ปัญหา เราต้องเข้าใจประเด็นง่ายๆ สองสามข้อก่อน

พิจารณาเลขทศนิยม 875 หลักสุดท้ายของตัวเลข (5) คือเศษที่เหลือของการหารจำนวน 875 คูณ 10 ตัวเลขสองหลักสุดท้ายเป็นตัวเลข 75 - นี่คือส่วนที่เหลือของการหารหมายเลข 875 คูณ 100 . ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับระบบตัวเลขใดๆ:

หลักสุดท้ายของตัวเลขคือส่วนที่เหลือของการหารตัวเลขนั้นด้วยฐานของระบบตัวเลข

ตัวเลขสองหลักสุดท้ายของตัวเลขคือเศษของการหารตัวเลขด้วยฐานของระบบจำนวนยกกำลังสอง

ตัวอย่างเช่น, . เราหาร 23 ด้วยฐานของระบบ 3 เราได้ 7 และ 2 ในเศษที่เหลือ (2 คือหลักสุดท้ายของตัวเลขในระบบไตรภาค) หาร 23 ด้วย 9 (ฐานกำลังสอง) เราได้ 18 และ 5 ในส่วนที่เหลือ (5 = )

กลับไปที่ระบบทศนิยมปกติกัน จำนวน = 100,000. 10 ยกกำลัง k คือหนึ่งและ k ศูนย์

คำสั่งที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับระบบตัวเลขใดๆ:

ฐานของระบบตัวเลขยกกำลัง k ในระบบตัวเลขนี้เขียนเป็นหน่วยและศูนย์ k

ตัวอย่างเช่น, .

1. ค้นหาฐานของระบบตัวเลข

ตัวอย่างที่ 1

ในระบบตัวเลขที่มีฐานบางส่วน เลขฐานสิบ 27 จะถูกเขียนเป็น 30 ให้ระบุฐานนี้

วิธีการแก้:

แสดงถึงฐานที่ต้องการ x จากนั้น .i.e. x=9.

ตัวอย่าง 2

ในระบบตัวเลขที่มีฐานบางส่วน เลขฐานสิบ 13 จะถูกเขียนเป็น 111 ให้ระบุฐานนี้

วิธีการแก้:

แสดงถึงฐานที่ต้องการ x แล้ว

เราแก้สมการกำลังสอง เราได้ราก 3 และ -4 เนื่องจากฐานของระบบตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ คำตอบคือ 3

คำตอบ: 3

ตัวอย่างที่ 3

ระบุ คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ในลำดับจากน้อยไปมาก ฐานทั้งหมดของระบบตัวเลขที่การป้อนหมายเลข 29 ลงท้ายด้วย 5

วิธีการแก้:

หากในบางระบบเลข 29 ลงท้ายด้วย 5 แล้วจำนวนที่ลดลง 5 (29-5 = 24) จะลงท้ายด้วย 0 เราได้กล่าวไปแล้วว่าจำนวนนั้นลงท้ายด้วย 0 เมื่อหารโดยไม่เหลือเศษฐานของระบบ . เหล่านั้น. เราต้องหาตัวเลขทั้งหมดที่เป็นตัวหารของเลข 24 ตัวเลขเหล่านี้ได้แก่ 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. โปรดทราบว่าในระบบตัวเลขที่มีฐาน 2, 3, 4 ไม่มีตัวเลข 5 (และในโจทย์การกำหนดสูตร เลข 29 ลงท้ายด้วย 5) จึงมีระบบที่มีฐานดังนี้ 6, 8, 12,

คำตอบ: 6, 8, 12, 24

ตัวอย่างที่ 4

ระบุ คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตามลำดับจากน้อยไปมาก ฐานทั้งหมดของระบบตัวเลขที่การป้อนหมายเลข 71 ลงท้ายด้วย 13

วิธีการแก้:

หากในบางระบบตัวเลขลงท้ายด้วย 13 แสดงว่าฐานของระบบนี้มีอย่างน้อย 4 (มิฉะนั้นจะไม่มีหมายเลข 3)

จำนวนที่ลดลง 3 (71-3=68) ลงท้ายด้วย 10 นั่นคือ 68 สามารถหารด้วยฐานที่ต้องการของระบบอย่างสมบูรณ์ และความฉลาดของสิ่งนี้ เมื่อหารด้วยฐานของระบบ ให้เศษเหลือเป็น 0

ลองเขียนตัวหารจำนวนเต็มของเลข 68: 2, 4, 17, 34, 68 กัน

2 ไม่เหมาะเพราะ ฐานไม่น้อยกว่า 4 ตรวจสอบตัวหารที่เหลือ:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (ส่วนที่เหลือ 1) - เหมาะสม

68:17 = 4; 4:17 = 0 (พัก 4) - ไม่เหมาะ

68:34 = 2; 2:17 = 0 (พัก 2) - ไม่เหมาะ

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ส่วนที่เหลือ 1) - เหมาะสม

คำตอบ: 4, 68

2. ค้นหาตัวเลขตามเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 5

ระบุ คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เรียงจากน้อยไปมาก เลขทศนิยมทั้งหมดไม่เกิน 25 สัญกรณ์ที่ระบบเลขฐานสี่ลงท้ายด้วย 11?

วิธีการแก้:

ก่อนอื่น มาดูกันว่าตัวเลข 25 เป็นอย่างไรในระบบตัวเลขที่มีฐาน 4

เหล่านั้น. เราต้องหาตัวเลขทั้งหมดไม่เกิน ซึ่งสัญกรณ์ลงท้ายด้วย 11 โดยกฎการนับตามลำดับในระบบที่มีฐาน 4
เราได้รับตัวเลขและ . เราแปลเป็นระบบเลขฐานสิบ:

คำตอบ: 5, 21

3. การแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ:

เขียนคำตอบในระบบไตรภาค (ไม่จำเป็นต้องเขียนฐานของระบบตัวเลขในคำตอบ)

วิธีการแก้:

มาแปลงตัวเลขทั้งหมดเป็นระบบเลขฐานสิบกัน:

สมการกำลังสองมีราก -8 และ 6 (เพราะฐานของระบบไม่เป็นลบ) .

คำตอบ: 20

4. การนับจำนวน (ศูนย์) ในสัญกรณ์ไบนารีของค่าของนิพจน์

ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ เราต้องจำไว้ว่าการบวกและการลบ "ในคอลัมน์" ทำงานอย่างไร:

เมื่อทำการบวก ผลรวมระดับบิตของหลักที่เขียนหนึ่งจากอีกหลักหนึ่งจะเกิดขึ้น โดยเริ่มจากตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด หากผลรวมของตัวเลขสองหลักมากกว่าหรือเท่ากับฐานของระบบตัวเลข ส่วนที่เหลือของการหารจำนวนนี้ด้วยฐานของระบบจะเขียนใต้ตัวเลขที่รวมกัน และส่วนจำนวนเต็มของการหารจำนวนนี้ด้วยฐาน ของระบบจะถูกบวกเข้ากับผลรวมของตัวเลขต่อไปนี้

เมื่อทำการลบ การลบแบบทีละบิตของตัวเลขที่เขียนใต้อีกตัวหนึ่งจะเกิดขึ้น โดยเริ่มจากตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด หากหลักแรกน้อยกว่าหลักที่สอง เราจะ "ยืม" หนึ่งหลักจากหลักที่อยู่ติดกัน (ใหญ่กว่า) หน่วยที่อยู่ในหลักปัจจุบันเท่ากับฐานของระบบตัวเลข ในรูปทศนิยมคือ 10 ในเลขฐานสองคือ 2 ในภาคสามคือ 3 และอื่น ๆ

ตัวอย่าง 7

จำนวนหน่วยที่มีอยู่ในสัญกรณ์ไบนารีของค่าของนิพจน์: ?

วิธีการแก้:

มาแทนตัวเลขทั้งหมดของนิพจน์เป็นยกกำลังสอง:

ในสัญกรณ์ไบนารี สองยกกำลังของ n ดูเหมือน 1 ตามด้วยศูนย์ n จากนั้นจึงรวม และ เราได้ตัวเลขที่มี 2 หน่วย:

ตอนนี้ลบ 10,000 จากจำนวนผลลัพธ์ ตามกฎของการลบ เรายืมจากหลักถัดไป

ตอนนี้เพิ่ม 1 ให้กับจำนวนผลลัพธ์:

เราเห็นว่าผลลัพธ์มีหน่วย 2013+1+1=2015

แบบฝึกหัดที่ 1ตัวเลขใดในระบบเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลข 24 16?

วิธีการแก้.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

ตอบ. 24 16 = 36 10

ภารกิจที่ 2เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . ตัวเลข X ในรูปทศนิยมคืออะไร?

วิธีการแก้.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
ค้นหาตัวเลข: X = 6 + 4 + 5 = 15

ตอบ. X = 15 10

ภารกิจที่ 3คำนวณมูลค่าของผลรวม 10 2 + 45 8 + 10 16 ในรูปแบบทศนิยม

วิธีการแก้.

มาแปลแต่ละเทอมเป็นระบบเลขฐานสิบกัน:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
ผลรวมคือ: 2 + 37 + 16 = 55

แปลงเป็นระบบเลขฐานสอง

แบบฝึกหัดที่ 1หมายเลข 37 ในระบบเลขฐานสองคืออะไร?

วิธีการแก้.

คุณสามารถแปลงโดยการหารด้วย 2 และรวมเศษที่เหลือในลำดับที่กลับกัน

อีกวิธีหนึ่งคือการขยายจำนวนเป็นผลรวมของยกกำลังสอง เริ่มจากค่าสูงสุด ซึ่งผลลัพธ์ที่คำนวณได้จะน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด เมื่อทำการแปลง เลขยกกำลังที่หายไปควรแทนที่ด้วยศูนย์:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

ตอบ. 37 10 = 100101 2 .

ภารกิจที่ 2มีเลขศูนย์ที่มีนัยสำคัญกี่ตัวในการแทนค่าเลขฐานสองของเลขฐานสิบ 73

วิธีการแก้.

เราแบ่งจำนวน 73 เป็นผลรวมของกำลังสอง เริ่มต้นด้วยค่าสูงสุดและคูณกำลังที่หายไปด้วยศูนย์ และจำนวนที่มีอยู่ด้วยหนึ่ง:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

ตอบ.มีเลขศูนย์ที่มีนัยสำคัญสี่ตัวในเลขฐานสองสำหรับเลขฐานสิบ 73

ภารกิจที่ 3คำนวณผลรวมของ x และ y สำหรับ x = D2 16 , y = 37 8 . แสดงผลในระบบเลขฐานสอง

วิธีการแก้.

จำไว้ว่าแต่ละหลักของเลขฐานสิบหกประกอบด้วยเลขฐานสองสี่หลัก แต่ละหลักของเลขฐานแปดมีสาม:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

มาบวกตัวเลขกัน:

11010010 11111 -------- 11110001

ตอบ.ผลรวมของตัวเลข D2 16 และ y = 37 8 ที่แสดงในระบบเลขฐานสองคือ 11110001

ภารกิจที่ 4ที่ให้ไว้: เอ= D7 16 , ข= 331 8 . เบอร์ไหน ค, เขียนด้วยเลขฐานสอง, ตรงตามเงื่อนไข เอ< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

วิธีการแก้.

มาแปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสองกัน:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

สี่หลักแรกของตัวเลขทั้งหมดเหมือนกัน (1101) ดังนั้น การเปรียบเทียบจึงทำให้ง่ายขึ้นเป็นการเปรียบเทียบตัวเลขสี่หลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด

หมายเลขแรกในรายการคือหมายเลข ขจึงไม่เข้าข่าย

ตัวเลขที่สองมากกว่า ข. ตัวที่สามคือ เอ.

เฉพาะตัวเลขที่สี่เท่านั้นที่พอดี: 0111< 1000 < 1001.

ตอบ.ตัวเลือกที่สี่ (11011000) ตรงตามเงื่อนไข เอ< c < b .

งานสำหรับกำหนดค่าในระบบตัวเลขต่างๆและฐาน

แบบฝึกหัดที่ 1อักขระ @, $, &, % ถูกเข้ารหัสด้วยเลขฐานสองสองหลักต่อเนื่องกัน อักขระตัวแรกตรงกับหมายเลข 00 โดยใช้อักขระเหล่านี้ ลำดับต่อไปนี้ถูกเข้ารหัส: $% [ป้องกันอีเมล]$. ถอดรหัสลำดับนี้และแปลงผลลัพธ์เป็นเลขฐานสิบหก

วิธีการแก้.

1. มาเปรียบเทียบเลขฐานสองกับอักขระที่เข้ารหัส:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. ลองแปลเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานสิบหก:
0111 1010 0001 = 7A1

ตอบ. 7A1 16 .

ภารกิจที่ 2มีไม้ผล 100 x ในสวน โดย 33 x คือต้นแอปเปิ้ล, 22 x คือลูกแพร์, 16 x คือพลัม, 17 x คือเชอร์รี่ ฐานของระบบตัวเลข (x) คืออะไร

วิธีการแก้.

1. โปรดทราบว่าเงื่อนไขทั้งหมดเป็นตัวเลขสองหลัก ในระบบตัวเลขใดๆ สามารถแสดงได้ดังนี้:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกันของตัวเลข
สำหรับตัวเลขสามหลักจะเป็นดังนี้:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ขวาน 2 + bx + c

2. เงื่อนไขของปัญหามีดังนี้:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
แทนที่ตัวเลขในสูตร:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. แก้สมการกำลังสอง:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121 รากที่สองของ D คือ 11
รากของสมการกำลังสอง:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 หรือ x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. จำนวนลบไม่สามารถเป็นฐานของระบบตัวเลขได้ ดังนั้น x จึงเท่ากับ 9 เท่านั้น

ตอบ.ฐานที่ต้องการของระบบตัวเลขคือ 9

ภารกิจที่ 3ในระบบตัวเลขที่มีฐานอยู่จำนวนหนึ่ง เลขฐานสิบ 12 จะถูกเขียนเป็น 110 หาฐานนี้

วิธีการแก้.

ขั้นแรก ให้เขียนเลข 110 ผ่านสูตรการเขียนตัวเลขในระบบเลขตำแหน่งเพื่อหาค่าในระบบเลขฐานสิบแล้วหาฐานโดยใช้กำลังเดรัจฉาน

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

เราต้องได้ 12 เราลอง 2: 2 2 + 2 = 6 เราลอง 3: 3 2 + 3 = 12

ดังนั้น ฐานของระบบตัวเลขคือ 3

ตอบ.ฐานที่ต้องการของระบบตัวเลขคือ 3

ภารกิจที่ 4ในระบบตัวเลขใดที่เลขทศนิยม 173 จะแสดงเป็น 445

วิธีการแก้.
เราระบุฐานที่ไม่รู้จักด้วย X เราเขียนสมการต่อไปนี้:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนบวกใดๆ ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1 เราจึงเขียนสมการใหม่ (เราจะไม่ระบุฐาน 10)
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
แน่นอน สมการกำลังสองดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเลือกปฏิบัติ แต่มีวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายกว่า ลบจากส่วนขวาและซ้ายด้วย 4 เราได้
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 หรือ 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
จากที่นี่เราจะได้ 2 * X + 1 \u003d 13 (เราทิ้งรูทลบ) หรือ X = 6
คำตอบ: 173 10 = 445 6

ภารกิจในการค้นหาระบบตัวเลขฐานต่างๆ

มีกลุ่มของงานที่ต้องแสดงรายการ (ในลำดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย) ฐานของระบบตัวเลขทั้งหมดที่การแสดงของตัวเลขที่กำหนดลงท้ายด้วยตัวเลขที่กำหนด งานนี้แก้ไขได้ค่อนข้างง่าย ก่อนอื่นคุณต้องลบตัวเลขที่ระบุออกจากตัวเลขเดิมตัวเลขที่ได้จะเป็นฐานแรกของระบบตัวเลข และฐานอื่นๆ ทั้งหมดสามารถเป็นตัวหารของเลขนี้ได้เท่านั้น (ข้อความนี้พิสูจน์ตามกฎสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่ง - ดูข้อ 4) จำได้แค่ว่า ฐานของระบบตัวเลขต้องไม่น้อยกว่าตัวเลขที่กำหนด!

ตัวอย่าง
ระบุ คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตามลำดับจากน้อยไปมาก ฐานทั้งหมดของระบบตัวเลขที่การป้อนหมายเลข 24 ลงท้ายด้วย 3

วิธีการแก้
24 - 3 \u003d 21 เป็นฐานแรก (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24)
21 หารด้วย 3 ลงตัวกับ 7 ลงตัว เลข 3 ไม่เหมาะเพราะ ไม่มีเลข 3 ในระบบเลขฐาน 3
คำตอบ: 7, 21