Penguraian suatu trinomial menjadi faktor-faktor dengan satu akar. Cara memfaktorkan trinomial persegi: rumus. Metode pemfaktoran

Kelas: 9

Jenis pelajaran: pelajaran dalam mengkonsolidasikan dan mensistematisasikan pengetahuan.

Jenis pelajaran: Verifikasi, penilaian dan koreksi pengetahuan dan metode tindakan.

Sasaran:

Peralatan: materi didaktik untuk pekerjaan lisan, pekerjaan mandiri, tugas tes untuk menguji pengetahuan, kartu pekerjaan rumah, buku teks aljabar Yu.N. Makarychev.

Rencana belajar.

Selama kelas

I. Tahap memperbarui pengetahuan. Motivasi masalah pendidikan.

Mengatur waktu.

Hari ini dalam pelajaran kita akan menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang topik: "Faktorisasi trinomial persegi". Melakukan berbagai latihan, Anda harus mencatat sendiri poin-poin yang perlu Anda curahkan Perhatian khusus ketika memecahkan persamaan dan masalah praktis. Ini sangat penting ketika mempersiapkan ujian.
Tuliskan topik pelajaran: “Faktorisasi trinomial persegi. Contoh Pemecahan.

II. Isi utama pelajaran Pembentukan dan pemantapan gagasan siswa tentang rumus memfaktorkan suatu trinomial kuadrat menjadi faktor.

pekerjaan lisan.

- Agar berhasil memfaktorkan trinomial kuadrat, Anda perlu mengingat baik rumus untuk mencari diskriminan maupun rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat, rumus untuk memfaktorkan trinomial kuadrat dan mempraktikkannya.

1. Lihat kartu “Lanjutkan atau lengkapi pernyataan”.

2. Lihat papan.

1. Manakah dari polinomial yang diusulkan yang tidak persegi?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Tentukan trinomial persegi. Tentukan akar dari trinomial persegi.

2. Manakah dari rumus yang bukan merupakan rumus untuk menghitung akar persamaan kuadrat?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Temukan koefisien a, b, c dari trinomial persegi - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Manakah dari rumus yang merupakan rumus untuk menghitung akar persamaan kuadrat?

x2 + piksel + q= 0 menurut teorema Vieta?

1) x 1 + x 2 = p,
x satu · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
x satu · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
x satu · x 2 = – q .

5. Perluas trinomial persegi X 2 – 11x + 18 untuk pengganda.

Menjawab: ( X – 2)(X – 9)

6. Perluas trinomial persegi pada 2 – 9y + 20 untuk pengganda

Menjawab: ( X – 4)(X – 5)

AKU AKU AKU. Pembentukan keterampilan dan kemampuan. Konsolidasi materi yang dipelajari.

1. Faktorkan trinomial kuadrat:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
dalam 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Pemfaktoran membantu kita dalam mengurangi pecahan.

3. Tanpa menggunakan rumus akar, cari akar-akar trinomial kuadrat:
sebuah) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Buatlah trinomial persegi yang akar-akarnya adalah bilangan:
sebuah) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Pekerjaan mandiri.

Selesaikan tugas secara mandiri sesuai dengan opsi, diikuti dengan verifikasi. Dua tugas pertama harus dijawab "Ya" atau "tidak". Satu siswa dari setiap opsi dipanggil (mereka bekerja di kerah papan). Setelah pekerjaan independen dilakukan di papan, pemeriksaan bersama terhadap solusi dilakukan. Siswa mengevaluasi pekerjaannya.

opsi pertama:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Angka 2 adalah akar persamaan x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Faktorkan trinomial kuadrat menjadi faktor 6 x 2 – 5x + 1;

opsi ke-2:

1.D>0. Persamaan memiliki 2 akar.

2. Angka 3 adalah akar dari persamaan kuadrat x 2 - x - 12 = 0.

3. Uraikan trinomial kuadrat menjadi faktor 2 X 2 – 5x + 3

IV. Memeriksa asimilasi pengetahuan. Refleksi.

– Pelajaran menunjukkan bahwa Anda mengetahui materi teoretis dasar dari topik ini. Kami telah merangkum pengetahuannya

Trinomial persegi disebut polinomial dari bentuk sumbu2+bx +c, di mana x- variabel, sebuah,b,c adalah beberapa angka, dan a 0.

Koefisien sebuah ditelepon koefisien senior, c – anggota gratis trinomial persegi.

Contoh trinomial persegi:

2 x 2 + 5x + 4(di sini sebuah = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(di sini sebuah = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(di sini sebuah = 9, b = 9, c = -9)

Koefisien b atau koefisien c atau kedua koefisien bisa sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Sebagai contoh:

5 x2 + 3x(di sinia = 5b = 3c = 0, sehingga nilai c tidak ada dalam persamaan).

6x 2 - 8 (di sinia=6, b=0, c=-8)

2x2(di sinia=2, b=0, c=0)

Nilai variabel yang menghilangkan polinomialnya disebut akar polinomial.

Untuk mencari akar-akar trinomial persegisumbu2+ bx + c, kita harus menyamakannya dengan nol -
yaitu memecahkan persamaan kuadratsumbu2+ bx + c= 0 (lihat bagian "Persamaan kuadrat").

Faktorisasi trinomial persegi

Contoh:

Kami memfaktorkan trinomial 2 x 2 + 7x - 4.

Kita lihat koefisiennya sebuah = 2.

Sekarang mari kita cari akar dari trinomial. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan nol dan menyelesaikan persamaan

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Bagaimana persamaan seperti itu diselesaikan - lihat bagian “Rumus akar persamaan kuadrat. Diskriminatif". Di sini kita langsung menamai hasil perhitungannya. Trinomial kami memiliki dua akar:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Mari kita substitusikan nilai-nilai akar ke dalam rumus kita, dengan menghilangkan nilai koefisiennya sebuah, dan kita mendapatkan:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Hasil yang diperoleh dapat ditulis secara berbeda dengan mengalikan koefisien 2 dengan binomial x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Masalahnya terpecahkan: trinomial didekomposisi menjadi faktor-faktor.

Dekomposisi seperti itu dapat diperoleh untuk setiap trinomial persegi dengan akar.

PERHATIAN!

Jika diskriminan trinomial kuadrat adalah nol, maka trinomial ini memiliki satu akar, tetapi ketika menguraikan trinomial, akar ini diambil sebagai nilai dari dua akar - yaitu, sebagai nilai yang sama x 1 danx 2 .

Misalnya, trinomial memiliki satu akar sama dengan 3. Kemudian x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier. Untuk ini, perlu untuk mengingat teorema Vieta dan kebalikannya. Keterampilan ini akan membantu kita dengan cepat dan mudah menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier, dan juga menyederhanakan pengurangan pecahan yang terdiri dari ekspresi.

Jadi kembali ke persamaan kuadrat , dimana .

Apa yang kita miliki di sisi kiri disebut trinomial persegi.

Teorema itu benar: Jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka identitasnya benar

Dimana adalah koefisien terkemuka, adalah akar dari persamaan.

Jadi, kami memiliki persamaan kuadrat - trinomial kuadrat, di mana akar persamaan kuadrat juga disebut akar trinomial kuadrat. Oleh karena itu, jika kita memiliki akar-akar suatu trinomial kuadrat, maka trinomial ini didekomposisi menjadi faktor-faktor linier.

Bukti:

Pembuktian fakta ini dilakukan dengan menggunakan teorema Vieta, yang telah kita bahas dalam pelajaran sebelumnya.

Mari kita ingat apa teorema Vieta memberitahu kita:

Jika adalah akar dari sebuah trinomial persegi yang , maka .

Teorema ini menyiratkan pernyataan berikut bahwa .

Kami melihat bahwa, menurut teorema Vieta, yaitu, mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus di atas, kami mendapatkan ekspresi berikut

Q.E.D.

Ingatlah bahwa kita telah membuktikan teorema bahwa jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka dekomposisinya valid.

Sekarang mari kita ingat kembali contoh persamaan kuadrat, yang akarnya kita pilih menggunakan teorema Vieta. Dari fakta ini kita dapat memperoleh persamaan berikut berkat teorema terbukti:

Sekarang mari kita periksa kebenaran fakta ini hanya dengan memperluas tanda kurung:

Kami melihat bahwa kami telah memfaktorkan dengan benar, dan setiap trinomial, jika memiliki akar, dapat difaktorkan menurut teorema ini menjadi faktor linier menurut rumus

Namun, mari kita periksa apakah untuk persamaan apa pun faktorisasi seperti itu dimungkinkan:

Mari kita ambil persamaan misalnya. Pertama, mari kita periksa tanda diskriminan

Dan kita ingat bahwa untuk memenuhi teorema yang telah kita pelajari, D harus lebih besar dari 0, oleh karena itu, dalam hal ini, faktorisasi menurut teorema yang dipelajari adalah tidak mungkin.

Oleh karena itu, kami merumuskan teorema baru: jika trinomial persegi tidak memiliki akar, maka ia tidak dapat didekomposisi menjadi faktor linier.

Jadi, kami telah mempertimbangkan teorema Vieta, kemungkinan penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor linier, dan sekarang kami akan menyelesaikan beberapa masalah.

Tugas 1

Di grup ini, kita benar-benar akan menyelesaikan masalah yang berbanding terbalik dengan yang diajukan. Kami memiliki persamaan, dan kami menemukan akarnya, terurai menjadi faktor. Di sini kita akan melakukan yang sebaliknya. Katakanlah kita memiliki akar persamaan kuadrat

Masalah kebalikannya adalah ini: tulis persamaan kuadrat sehingga akar-akarnya.

Ada 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.

Karena adalah akar-akar persamaan, maka adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diberi bilangan. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan periksa:

Ini adalah cara pertama kami membuat persamaan kuadrat dengan akar yang diberikan yang tidak memiliki akar lain, karena persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua akar.

Metode ini melibatkan penggunaan teorema Vieta terbalik.

Jika adalah akar-akar persamaan, maka mereka memenuhi kondisi bahwa .

Untuk persamaan kuadrat tereduksi , , yaitu dalam hal ini , dan .

Jadi, kami telah membuat persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang diberikan.

Tugas #2

Anda perlu mengurangi pecahan.

Kami memiliki trinomial di pembilang dan trinomial di penyebut, dan trinomial mungkin atau mungkin tidak difaktorkan. Jika pembilang dan penyebutnya difaktorkan, maka di antara mereka mungkin ada faktor yang sama yang dapat direduksi.

Pertama-tama, perlu memfaktorkan pembilangnya.

Pertama, Anda perlu memeriksa apakah persamaan ini dapat difaktorkan, cari diskriminannya. Sejak , maka tanda tergantung pada produk ( harus kurang dari 0), dalam contoh ini , yaitu persamaan yang diberikan memiliki akar.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorema Vieta:

Dalam hal ini, karena kita berurusan dengan akar, akan sangat sulit untuk mengambil akarnya saja. Tetapi kita melihat bahwa koefisiennya seimbang, yaitu jika kita mengasumsikan bahwa , dan memasukkan nilai ini ke dalam persamaan, maka sistem berikut diperoleh: yaitu 5-5=0. Jadi, kami telah memilih salah satu akar persamaan kuadrat ini.

Kita akan mencari akar kedua dengan mensubstitusikan apa yang sudah diketahui ke dalam sistem persamaan, misalnya , yaitu. .

Dengan demikian, kami telah menemukan kedua akar persamaan kuadrat dan dapat mensubstitusi nilainya ke dalam persamaan asli untuk memfaktorkannya:

Ingat masalah awal, kita perlu mengurangi pecahan.

Mari kita coba menyelesaikan masalah dengan mengganti pembilangnya.

Perlu diingat bahwa dalam hal ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, mis.,.

Jika kondisi ini terpenuhi, maka kita telah mereduksi pecahan aslinya menjadi bentuk .

Tugas #3 (tugas dengan parameter)

Pada nilai parameter berapa jumlah akar persamaan kuadrat?

Jika akar persamaan ini ada, maka , pertanyaannya adalah kapan .

Faktorisasi trinomial kuadrat adalah salah satu tugas sekolah yang dihadapi semua orang cepat atau lambat. Bagaimana cara melakukannya? Apa rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi? Mari kita membahasnya langkah demi langkah dengan contoh.

Rumus umum

Faktorisasi trinomial kuadrat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Ini adalah tugas sederhana yang dapat diselesaikan dengan beberapa metode - dengan menemukan diskriminan, menggunakan teorema Vieta, ada juga cara grafis untuk menyelesaikannya. Dua metode pertama dipelajari di sekolah menengah.

Rumus umumnya terlihat seperti ini:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritma eksekusi tugas

Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat, Anda perlu mengetahui teorema Wit, memiliki program untuk menyelesaikannya, dapat menemukan solusi secara grafis, atau mencari akar persamaan derajat kedua melalui rumus diskriminan. Jika trinomial kuadrat diberikan dan harus difaktorkan, algoritma tindakannya adalah sebagai berikut:

1) Samakan ekspresi asli dengan nol untuk mendapatkan persamaan.

2) Berikan istilah serupa (bila perlu).

3) Temukan akarnya dengan metode apa pun yang diketahui. Metode grafis paling baik digunakan jika diketahui terlebih dahulu bahwa akar-akarnya adalah bilangan bulat dan bilangan kecil. Harus diingat bahwa jumlah akar sama dengan derajat maksimum persamaan, yaitu persamaan kuadrat memiliki dua akar.

4) Nilai pengganti X menjadi ekspresi (1).

5) Tuliskan faktorisasi trinomial persegi.

Contoh

Latihan memungkinkan Anda untuk akhirnya memahami bagaimana tugas ini dilakukan. Contoh mengilustrasikan faktorisasi trinomial persegi:

anda perlu memperluas ekspresi:

Mari gunakan algoritme kami:

1) x 2 -17x+32=0

2) istilah serupa dikurangi

3) menurut rumus Vieta, sulit untuk menemukan akar untuk contoh ini, oleh karena itu lebih baik menggunakan ekspresi untuk diskriminan:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Substitusi akar yang kami temukan dalam rumus utama untuk dekomposisi:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Maka jawabannya adalah:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Mari kita periksa apakah solusi yang ditemukan oleh diskriminan sesuai dengan rumus Vieta:

14,845 . 2,155=32

Untuk akar-akar ini, teorema Vieta diterapkan, mereka ditemukan dengan benar, yang berarti bahwa faktorisasi yang kami peroleh juga benar.

Demikian pula, kami memperluas 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Dalam kasus sebelumnya, solusinya adalah non-integer, tetapi bilangan real, yang mudah ditemukan dengan kalkulator di depan Anda. Sekarang perhatikan contoh yang lebih kompleks di mana akarnya kompleks: faktorkan x 2 + 4x + 9. Menurut rumus Vieta, akarnya tidak dapat ditemukan, dan diskriminannya negatif. Akar akan berada di bidang kompleks.

D=-20

Berdasarkan ini, kami mendapatkan akar yang kami minati -4 + 2i * 5 1/2 dan -4-2i * 5 1/2 karena (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Kami mendapatkan ekspansi yang diinginkan dengan mengganti akar ke dalam rumus umum.

Contoh lain: Anda perlu memfaktorkan ekspresi 23x 2 -14x + 7.

Kami memiliki persamaan 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Jadi akar-akarnya adalah 14+21.166i dan 14-21.166i. Jawabannya adalah:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Mari kita beri contoh yang dapat diselesaikan tanpa bantuan diskriminan.

Biarkan perlu untuk menguraikan persamaan kuadrat x 2 -32x + 255. Jelas, itu juga dapat diselesaikan oleh diskriminan, tetapi dalam hal ini lebih cepat untuk menemukan akarnya.

x 1 = 15

x2=17

Cara x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Trinomial bujur sangkar adalah polinomial berbentuk ax^2 + bx + c, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, apalagi a 0.

Untuk memfaktorkan suatu trinomial, Anda perlu mengetahui akar-akar dari trinomial tersebut. (selanjutnya contoh pada trinomial 5x^2 + 3x- 2)

Catatan: nilai trinomial bujur sangkar 5x^2 + 3x - 2 bergantung pada nilai x. Contoh: Jika x = 0, maka 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jika x = 2, maka 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jika x = -1, maka 5x^2 + 3x - 2 = 0

Ketika x \u003d -1, trinomial persegi 5x ^ 2 + 3x - 2 menghilang, dalam hal ini angka -1 disebut akar trinomial kuadrat.

Bagaimana cara mendapatkan akar persamaan

Mari kita jelaskan bagaimana kita mendapatkan akar dari persamaan ini. Pertama, Anda perlu mengetahui dengan jelas teorema dan rumus yang akan digunakan untuk bekerja:

“Jika x1 dan x2 adalah akar-akar trinomial kuadrat ax^2 + bx + c, maka ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”

X \u003d (-b ± (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Rumus untuk menemukan akar polinomial ini adalah rumus paling primitif, yang penyelesaiannya tidak akan membuat Anda bingung.

Ekspresi 5x^2 + 3x - 2.

1. Samakan dengan nol: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Kami menemukan akar persamaan kuadrat, untuk ini kami mengganti nilai ke dalam rumus (a adalah koefisien untuk X ^ 2, b adalah koefisien untuk X, istilah bebas, yaitu a gambar tanpa X):

Kami menemukan akar pertama dengan tanda tambah di depan akar kuadrat:

X1 = (-3 + (3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + (9 -(-40)))/10 = (-3 + (9+40))/10 = (-3 + 49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Akar kedua dengan tanda minus sebelum akar kuadrat:

X2 = (-3 - (3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - (9- (-40)))/10 = (-3 - (9+40))/10 = (-3 - 49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Jadi kami menemukan akar trinomial kuadrat. Untuk memastikan bahwa mereka benar, Anda dapat memeriksa: pertama, kami mengganti akar pertama dalam persamaan, lalu yang kedua:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jika setelah mensubstitusi semua akar, persamaan tersebut hilang, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan benar.

3. Sekarang mari kita gunakan rumus dari teorema: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), ingatlah bahwa X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat. Jadi: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. Untuk memastikan dekomposisi benar, Anda cukup mengalikan tanda kurung:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2. Yang mengkonfirmasi kebenaran dari keputusan.

Opsi kedua untuk menemukan akar trinomial persegi

Pilihan lain untuk menemukan akar trinomial persegi adalah teorema kebalikan dari teorema Viette. Di sini akar persamaan kuadrat ditemukan dengan rumus: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Tetapi penting untuk dipahami bahwa teorema ini hanya dapat digunakan jika koefisien a \u003d 1, yaitu angka di depan x ^ 2 \u003d 1.

Contoh: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Pemecahan: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Sekarang penting untuk memikirkan angka apa dalam produk yang memberikan unit? Secara alami ini 1 * 1 dan -1 * (-1) . Dari angka-angka ini, kami memilih yang sesuai dengan ekspresi x1 + x2 = 2, tentu saja - ini adalah 1 + 1. Jadi kami menemukan akar persamaan: x1 = 1, x2 = 1. Ini mudah untuk memeriksa apakah Anda mengganti x ^ 2 dalam ekspresi - 2x + 1 = 0.