Trinomin hajoaminen tekijöiksi, joilla on yksijuuri. Neliön trinomin kertolasku: kaava. Factoring menetelmät

Luokka: 9

Oppitunnin tyyppi: oppitunti tiedon lujittamisesta ja systematisoinnista.

Oppitunnin tyyppi: Tietojen ja toimintatapojen todentaminen, arviointi ja korjaaminen.

Tavoitteet:

Laitteet: didaktinen materiaali suulliseen työhön, itsenäinen työskentely, testitehtävät tiedon testaamiseen, kortit kotitehtävillä, algebra oppikirja Yu.N. Makarychev.

Tuntisuunnitelma.

Tuntien aikana

I. Tiedon päivittämisen vaihe. Koulutusongelman motivaatio.

Ajan järjestäminen.

Tänään oppitunnilla yleistämme ja systematisoimme tietoa aiheesta: "Neliön trinomin faktorointi". Suorittaessasi erilaisia ​​​​harjoituksia sinun tulee huomioida itse kohdat, joihin sinun on kiinnitettävä huomiota Erityistä huomiota kun ratkaistaan ​​yhtälöitä ja käytännön tehtäviä. Tämä on erittäin tärkeää kokeeseen valmistautuessa.
Kirjoita muistiin oppitunnin aihe: "Neliön trinomin faktorointi. Ratkaisuesimerkit.

II. Oppitunnin pääsisältö Opiskelijoiden näkemysten muodostaminen ja konsolidointi kaavasta neliötrinomin tekijöiksi laskemiseksi.

suullinen työ.

– Neliön trinomin tekijöihin lisääminen edellyttää, että muistat sekä diskriminantin etsintäkaavat että toisen asteen yhtälön juuret, neliötrinomin tekijöiden laskemisen kaavat ja soveltaa ne käytännössä.

1. Katso "Jatka tai täydennä lausunto" -kortteja.

2. Katso taulua.

1. Mikä ehdotetuista polynomeista ei ole neliö?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Määrittele neliötrinomi. Määritä neliötrinomin juuri.

2. Mikä kaavoista ei ole kaava toisen yhtälön juurien laskemiseen?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Etsi neliötrinomin - 2 kertoimet a, b, c X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Mikä kaavoista on kaava toisen yhtälön juurten laskemiseen

x2 + px + q= 0 Vietan lauseella?

1) x 1 + x 2 =p,
x yksi · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
x yksi · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
x yksi · x 2 = – q .

5. Laajenna neliötrinomi X 2 – 11x + 18 kertoimille.

Vastaus:( X – 2)(X – 9)

6. Laajenna neliötrinomi klo 2 – 9y + 20 kertoimille

Vastaus:( X – 4)(X – 5)

III. Taitojen ja kykyjen muodostuminen. Tutkitun materiaalin konsolidointi.

1. Kerroin neliötrinomi:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
vuonna 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Factoring auttaa meitä vähentämään murtolukuja.

3. Etsi neliötrinomin juuret käyttämättä juurikaavaa:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Tee neliötrinomi, jonka juuret ovat numeroita:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Itsenäinen työ.

Suorita tehtävä itsenäisesti vaihtoehtojen mukaan, mitä seuraa vahvistus. Kahteen ensimmäiseen tehtävään tulee vastata "kyllä" tai "ei". Jokaisesta vaihtoehdosta kutsutaan yksi opiskelija (he työskentelevät taulun käänteissä). Kun itsenäinen työskentely levyllä on tehty, suoritetaan ratkaisun yhteinen tarkistus. Oppilaat arvioivat työtään.

1. vaihtoehto:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Luku 2 on yhtälön x 2 + 3x - 10 = 0 juuri.

3. Kerroin neliötrinomi tekijöiksi 6 x 2 – 5x + 1;

2. vaihtoehto:

1.D>0. Yhtälöllä on 2 juuria.

2. Luku 3 on toisen asteen yhtälön x 2 - x - 12 = 0 juuri.

3. Jaa neliötrinomi tekijöiksi 2 X 2 – 5x + 3

IV. Tiedon assimilaation tarkistaminen. Heijastus.

– Tunti osoitti, että tunnet tämän aiheen teoreettisen perusmateriaalin. Olemme koonneet tiedosta

Neliön trinomi kutsutaan muodon polynomiksi ax2+bx +c, missä x-muuttuva, a,b,c ovat joitakin numeroita ja a ≠ 0.

Kerroin a nimeltään vanhempi kerroin, c – vapaa jäsen neliön trinomi.

Esimerkkejä neliötrinomeista:

2 x 2 + 5x + 4(tässä a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(tässä a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(tässä a = 9, b = 9, c = -9)

Kerroin b tai kerroin c tai molemmat kertoimet voivat olla yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti. Esimerkiksi:

5 x 2 + 3x(tässäa = 5b = 3c = 0, joten c:n arvo ei ole yhtälössä).

6x 2-8 (tässäa=6, b=0, c=-8)

2x2(tässäa=2, b=0, c=0)

Kutsutaan muuttujan arvo, jossa polynomi katoaa polynomijuuri.

Löytää neliötrinomin juuretax2+ bx + c, meidän on rinnastettava se nollaan -
eli ratkaise toisen asteen yhtälöax2+ bx + c= 0 (katso kohta "Neliöyhtälö").

Neliötrinomin kertoimia

Esimerkki:

Kerromme kolmiosaisen 2 x 2 + 7x - 4.

Näemme kertoimen a = 2.

Etsitään nyt trinomin juuret. Tätä varten vertaamme sen nollaan ja ratkaisemme yhtälön

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Kuinka tällainen yhtälö ratkaistaan ​​- katso kohta ”Kesällisen yhtälön juurten kaavat. Syrjivä". Tässä nimetään heti laskelmien tulos. Trinomiaalillamme on kaksi juurta:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Korvaakaamme juurien arvot kaavaamme ottamalla pois suluista kertoimen arvo a, ja saamme:

2x 2 + 7x - 4 = 2 (x - 1/2) (x + 4).

Saatu tulos voidaan kirjoittaa eri tavalla kertomalla kerroin 2 binomilla x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Ongelma on ratkaistu: trinomi hajoaa tekijöiksi.

Tällainen jaottelu voidaan saada mille tahansa neliötrinomille, jolla on juuret.

HUOMIO!

Jos neliötrinomin diskriminantti on nolla, niin tällä trinomilla on yksi juuri, mutta trinomia hajotettaessa tämä juuri otetaan kahden juuren arvoksi - eli samaksi arvoksi. x 1 jax 2 .

Esimerkiksi trinomin yksi juuri on 3. Sitten x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

Tällä oppitunnilla opimme hajottamaan neliötrinomit lineaarisiksi tekijöiksi. Tätä varten on muistettava Vietan lause ja sen käänteiskappale. Tämä taito auttaa meitä hajottamaan neliötrinomit nopeasti ja kätevästi lineaarisiksi tekijöiksi ja myös yksinkertaistamaan lausekkeista koostuvien murtolukujen pelkistämistä.

Joten takaisin toisen asteen yhtälöön , jossa .

Se, mitä meillä on vasemmalla, kutsutaan neliötrinomiksi.

Lause on totta: Jos ovat neliötrinomin juuret, niin identiteetti on tosi

Missä on johtava kerroin, ovat yhtälön juuret.

Joten meillä on toisen asteen yhtälö - neliötrinomi, jossa toisen yhtälön juuria kutsutaan myös toisen asteen trinomin juuriksi. Siksi, jos meillä on neliötrinomin juuret, tämä trinomi jaetaan lineaarisiin tekijöihin.

Todiste:

Tämä tosiasia todistetaan käyttämällä Vieta-lausetta, jota tarkastelimme aikaisemmilla oppitunneilla.

Muistetaan mitä Vietan lause kertoo meille:

Jos ovat neliön trinomin juuret, joille , Sitten .

Tämä lause sisältää seuraavan väitteen, että .

Näemme, että Vieta-lauseen mukaan, eli korvaamalla nämä arvot yllä olevaan kaavaan, saadaan seuraava lauseke

Q.E.D.

Muista, että todistimme lauseen, että jos ovat neliötrinomin juuret, niin hajoaminen on pätevä.

Muistetaan nyt esimerkki toisen asteen yhtälöstä, jolle valittiin juuret Vietan lauseella. Tästä tosiasiasta voimme saada seuraavan yhtälön todistetun lauseen ansiosta:

Tarkastetaan nyt tämän tosiasian oikeellisuus yksinkertaisesti laajentamalla sulkuja:

Näemme, että kerroimme oikein, ja mikä tahansa trinomi, jos sillä on juuret, voidaan laskea tämän lauseen mukaisesti lineaarisiksi tekijöiksi kaavan mukaan

Tarkastetaan kuitenkin, onko tällainen tekijöiden jakaminen mahdollista jollekin yhtälölle:

Otetaan esimerkiksi yhtälö. Ensin tarkistetaan erottajan merkki

Ja muistamme, että oppimamme lauseen täyttämiseksi D:n on oltava suurempi kuin 0, joten tässä tapauksessa faktorointi tutkitun lauseen mukaan on mahdotonta.

Siksi muotoilemme uuden lauseen: jos neliötrinomilla ei ole juuria, sitä ei voida hajottaa lineaarisiin tekijöihin.

Joten, olemme tarkastelleet Vieta-lausetta, mahdollisuutta hajottaa neliötrinomi lineaarisiksi tekijöiksi, ja nyt ratkaisemme useita ongelmia.

Tehtävä 1

Tässä ryhmässä me itse asiassa ratkaisemme ongelman päinvastoin kuin esitetty. Meillä oli yhtälö, ja löysimme sen juuret, jotka hajosivat tekijöiksi. Tässä tehdään päinvastoin. Oletetaan, että meillä on toisen asteen yhtälön juuret

Käänteinen ongelma on tämä: kirjoita toisen asteen yhtälö niin, että ne olivat sen juuret.

On 2 tapaa ratkaista tämä ongelma.

Koska ovat siis yhtälön juuret on toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat numeroita. Avataan nyt sulut ja tarkistetaan:

Tämä oli ensimmäinen tapa, jolla loimme annetuilla juurilla toisen asteen yhtälön, jolla ei ole muita juuria, koska millä tahansa toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi juuria.

Tämä menetelmä sisältää käänteisen Vieta-lauseen käytön.

Jos ovat yhtälön juuret, ne täyttävät ehdon, että .

Vähennetylle toisen asteen yhtälölle , , eli tässä tapauksessa , ja .

Näin ollen olemme luoneet toisen asteen yhtälön, jolla on annetut juuret.

Tehtävä #2

Sinun on vähennettävä murto-osaa.

Meillä on trinomi osoittajassa ja trinomi nimittäjässä, ja trinomiaalit voidaan kertoa tai olla kertomatta. Jos sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan, niiden joukossa voi olla yhtä suuria kertoimia, joita voidaan vähentää.

Ensinnäkin on tarpeen kertoa osoittaja.

Ensin sinun on tarkistettava, voidaanko tämä yhtälö ottaa huomioon, löytää erottaja . Koska , niin etumerkki riippuu tulosta ( täytyy olla pienempi kuin 0), tässä esimerkissä eli annetulla yhtälöllä on juuret.

Ratkaisussa käytämme Vieta-lausetta:

Tässä tapauksessa, koska olemme tekemisissä juurien kanssa, on melko vaikeaa yksinkertaisesti poimia juuria. Mutta näemme, että kertoimet ovat tasapainossa, eli jos oletetaan, että , ja korvataan tämä arvo yhtälöön, niin saadaan seuraava järjestelmä: eli 5-5=0. Siten olemme valinneet yhden tämän toisen asteen yhtälön juurista.

Etsimme toista juuria korvaamalla yhtälöjärjestelmässä jo tunnetun, esim. ts. .

Siten olemme löytäneet toisen asteen yhtälön molemmat juuret ja voimme korvata niiden arvot alkuperäiseen yhtälöön kertoaksemme sen:

Muista alkuperäinen ongelma, meidän piti vähentää murto-osaa.

Yritetään ratkaista ongelma korvaamalla osoittaja .

Ei pidä unohtaa, että tässä tapauksessa nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin 0, ts.

Jos nämä ehdot täyttyvät, olemme vähentäneet alkuperäisen murto-osan muotoon .

Tehtävä #3 (tehtävä parametrilla)

Millä parametrin arvoilla on toisen asteen yhtälön juurien summa

Jos tämän yhtälön juuret ovat olemassa, niin , kysymys kuuluu milloin.

Neliötrinomien tekijöihin jakaminen on yksi niistä koulutehtävistä, jotka jokainen kohtaa ennemmin tai myöhemmin. Kuinka tehdä se? Mikä on kaava neliötrinomin laskemiseen? Käydään se läpi vaihe vaiheelta esimerkkien avulla.

Yleinen kaava

Neliötrinomien tekijöihin jako suoritetaan ratkaisemalla toisen asteen yhtälö. Tämä on yksinkertainen tehtävä, joka voidaan ratkaista useilla menetelmillä - etsimällä diskriminantti, käyttämällä Vieta-lausetta, on myös graafinen tapa ratkaista se. Kaksi ensimmäistä menetelmää opiskellaan lukiossa.

Yleinen kaava näyttää tältä:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Tehtävän suoritusalgoritmi

Neliötrinomien kertomista varten sinun tulee tuntea Witin lause, olla käsillä ratkaisuohjelma, osata löytää ratkaisu graafisesti tai etsiä toisen asteen yhtälön juuria diskriminanttikaavan kautta. Jos neliötrinomi on annettu ja se on otettava huomioon, toimintojen algoritmi on seuraava:

1) Yhdistä alkuperäinen lauseke nollaan yhtälön saamiseksi.

2) Anna samanlaiset termit (tarvittaessa).

3) Etsi juuret millä tahansa tunnetulla menetelmällä. Graafista menetelmää käytetään parhaiten, jos tiedetään etukäteen, että juuret ovat kokonaislukuja ja pieniä lukuja. On muistettava, että juurien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälön maksimiaste, eli toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria.

4) Korvaava arvo X lausekkeeseen (1).

5) Kirjoita neliötrinomien kertoimet muistiin.

Esimerkkejä

Harjoittelu antaa sinun lopulta ymmärtää, kuinka tämä tehtävä suoritetaan. Esimerkit havainnollistavat neliötrinomin kertoimia:

sinun täytyy laajentaa ilmaisua:

Käytämme algoritmiamme:

1) x 2 -17x+32=0

2) samankaltaisia ​​termejä vähennetään

3) Vieta-kaavan mukaan tälle esimerkille on vaikea löytää juuria, joten on parempi käyttää lauseketta diskriminantille:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Korvaa hajoamisen pääkaavassa löytämämme juuret:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Sitten vastaus on:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Tarkastetaan, vastaavatko diskriminantin löytämät ratkaisut Vieta-kaavoja:

14,845 . 2,155=32

Näille juurille sovelletaan Vieta-lausetta, ne löydettiin oikein, mikä tarkoittaa, että myös saamamme tekijöiden jako on oikea.

Samalla tavalla laajennamme 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Edellisessä tapauksessa ratkaisut olivat ei-kokonaislukuja, vaan reaalilukuja, jotka on helppo löytää edessä olevalla laskimella. Harkitse nyt monimutkaisempaa esimerkkiä, jossa juuret ovat monimutkaisia: kerro x 2 + 4x + 9. Vieta-kaavan mukaan juuria ei löydy, ja diskriminantti on negatiivinen. Juuret ovat monimutkaisella tasolla.

D = -20

Tämän perusteella saamme juuri meitä kiinnostavat juuret -4 + 2i * 5 1/2 ja -4-2i * 5 1/2, koska (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Halutun laajennuksen saamme korvaamalla juuret yleiseen kaavaan.

Toinen esimerkki: sinun on kerrottava lauseke 23x 2 -14x + 7.

Meillä on yhtälö 23x2 -14x+7 =0

D = -448

Joten juuret ovat 14+21,166i ja 14-21,166i. Vastaus tulee olemaan:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Otetaan esimerkki, joka voidaan ratkaista ilman erottimen apua.

Olkoon tarpeen hajottaa toisen asteen yhtälö x 2 -32x + 255. Ilmeisesti se voidaan ratkaista myös diskriminantilla, mutta tässä tapauksessa on nopeampaa löytää juuret.

x 1 = 15

x2=17

Keinot x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Neliötrinomi on muotoa ax^2 + bx + c oleva polynomi, jossa x on muuttuja, a, b ja c joitakin lukuja, lisäksi a ≠ 0.

Trinomin kertomista varten sinun on tiedettävä tämän trinomin juuret. (jäljempänä esimerkki trinomista 5x^2 + 3x-2)

Huomaa: neliötrinomin 5x^2 + 3x - 2 arvo riippuu x:n arvosta. Esimerkki: Jos x = 0, niin 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jos x = 2, niin 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jos x = -1, niin 5x^2 + 3x - 2 = 0

Kun x \u003d -1, neliötrinomi 5x ^ 2 + 3x - 2 katoaa, tässä tapauksessa numeroa -1 kutsutaan neliötrinomin juuri.

Kuinka saada yhtälön juuri

Selitämme, kuinka saimme tämän yhtälön juuren. Ensin sinun on tiedettävä selvästi lause ja kaava, jolla työskentelemme:

"Jos x1 ja x2 ovat neliötrinomin ax^2 + bx + c juuria, niin ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Tämä kaava polynomin juurien löytämiseksi on alkeellisin kaava, jonka ratkaiseminen ei koskaan hämmentyisi.

Lauseke 5x^2 + 3x - 2.

1. Sama kuin nolla: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Löydämme toisen asteen yhtälön juuret, tätä varten korvaamme arvot kaavalla (a on X:n kerroin ^ 2, b on X:n kerroin, vapaa termi, eli a kuva ilman X):

Löydämme ensimmäisen juuren plusmerkillä neliöjuuren edessä:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9-(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Toinen juuri, jossa on miinusmerkki ennen neliöjuurta:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Joten löysimme neliötrinomin juuret. Varmistaaksesi, että ne ovat oikein, voit tarkistaa: ensin korvaamme yhtälön ensimmäisen juuren, sitten toisen:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jos yhtälö katoaa kaikkien juurien korvaamisen jälkeen, yhtälö on ratkaistu oikein.

3. Käytetään nyt lauseen kaavaa: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), muista, että X1 ja X2 ovat toisen asteen yhtälön juuria. Joten: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x-2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Varmistaaksesi, että jakautuminen on oikea, voit yksinkertaisesti kertoa hakasulkeet:

5 (x - 0,4) (x + 1) = 5 (x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5 (x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Mikä vahvistaa oikeellisuuden päätöksestä.

Toinen vaihtoehto neliötrinomin juurten löytämiseksi

Toinen vaihtoehto neliötrinomin juurien löytämiseksi on Vietten lauseen käänteislause. Tässä neliöyhtälön juuret löytyvät kaavoista: x1 + x2 = (b), x1 * x2 = c. Mutta on tärkeää ymmärtää, että tätä lausetta voidaan käyttää vain, jos kerroin a \u003d 1, eli numero x ^ 2 \u003d 1.

Esimerkki: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Ratkaisu: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Nyt on tärkeää miettiä, mitkä numerot tuotteessa antavat yksikön? Luonnollisesti tämä 1 * 1 ja -1 * (-1) . Näistä luvuista valitsemme ne, jotka vastaavat lauseketta x1 + x2 = 2, tietysti - tämä on 1 + 1. Löysimme siis yhtälön juuret: x1 = 1, x2 = 1. Tämä on helppo tarkistaa, jos korvaat x ^ 2 lausekkeessa - 2x + 1 = 0.