ત્રિપદીનું એક મૂળ સાથેના પરિબળોમાં વિઘટન. ચોરસ ત્રિપદીનું પરિબળ કેવી રીતે બનાવવું: સૂત્ર. ફેક્ટરિંગ પદ્ધતિઓ

વર્ગ: 9

પાઠનો પ્રકાર:જ્ઞાનને એકીકૃત અને વ્યવસ્થિત બનાવવાનો પાઠ.

પાઠનો પ્રકાર:જ્ઞાન અને કાર્યવાહીની પદ્ધતિઓની ચકાસણી, મૂલ્યાંકન અને સુધારણા.

લક્ષ્યો:

સાધનો:મૌખિક કાર્ય માટે ઉપદેશાત્મક સામગ્રી, સ્વતંત્ર કાર્ય, જ્ઞાન પરીક્ષણ માટે પરીક્ષણ કાર્યો, હોમવર્ક સાથેના કાર્ડ્સ, બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તક Yu.N. મકરીચેવ.

પાઠ ની યોજના.

વર્ગો દરમિયાન

I. જ્ઞાન અપડેટ કરવાનો તબક્કો. શૈક્ષણિક સમસ્યાની પ્રેરણા.

આયોજન સમય.

આજે પાઠમાં આપણે વિષય પરના જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ કરીશું: “ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ”. વિવિધ કસરતો કરીને, તમારે તમારા માટે તે મુદ્દાઓ નોંધવા જોઈએ કે જેના પર તમારે સમર્પિત કરવાની જરૂર છે ખાસ ધ્યાનજ્યારે સમીકરણો અને વ્યવહારુ સમસ્યાઓ હલ કરો. પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.
પાઠનો વિષય લખો: “ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ. ઉદાહરણો ઉકેલવા.

II. પાઠની મુખ્ય સામગ્રીવર્ગ ત્રિપદીને પરિબળમાં પરિબળ કરવા માટેના સૂત્ર વિશે વિદ્યાર્થીઓના વિચારોની રચના અને એકત્રીકરણ.

મૌખિક કાર્ય.

– ચોરસ ત્રિનોમીનું સફળતાપૂર્વક પરિબળ બનાવવા માટે, તમારે ભેદભાવ શોધવા માટેના સૂત્રો અને ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેના સૂત્રો, ચોરસ ત્રિપદીનું પરિબળ બનાવવા માટેનું સૂત્ર અને તેમને વ્યવહારમાં મૂકવા બંનેને યાદ રાખવાની જરૂર છે.

1. "સ્ટેટમેન્ટ ચાલુ રાખો અથવા પૂર્ણ કરો" કાર્ડ્સ જુઓ.

2. બોર્ડ જુઓ.

1. સૂચિત બહુપદીમાંથી કયો વર્ગ ચોરસ નથી?

1) એક્સ 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2એક્સ 2 +એક્સ– 3 = 0;
3) એક્સ 4 – 2એક્સ 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2એક્સ 2 + 2 = 0;

ચોરસ ત્રિપદી વ્યાખ્યાયિત કરો. ચોરસ ત્રિપદીનું મૂળ વ્યાખ્યાયિત કરો.

2. કયું સૂત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નથી?

1) એક્સ 1,2 = ;
2) એક્સ 1,2 = – b+ ;
3) એક્સ 1,2 = .

3. ત્રિકોણીય વર્ગના a, b, c ગુણાંક શોધો - 2 એક્સ 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. કયું સૂત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર છે

x2 + px + qવિએટાના પ્રમેય દ્વારા = 0?

1) x 1 + x 2 =p,
xએક · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p,
xએક · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p,
xએક · x 2 = – q.

5. ચોરસ ત્રિપદીને વિસ્તૃત કરો એક્સ 2 – 11x +મલ્ટિપ્લાયર્સ માટે 18.

જવાબ: ( એક્સ – 2)(એક્સ – 9)

6. ચોરસ ત્રિપદીને વિસ્તૃત કરો ખાતે 2 – 9y +મલ્ટિપ્લાયર્સ માટે 20

જવાબ: ( એક્સ – 4)(એક્સ – 5)

III. કુશળતા અને ક્ષમતાઓની રચના. અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ.

1. ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ કરો:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
3 માં x 2 + 5x – 2;
ડી) -5 x 2 + 6x – 1.

2. અપૂર્ણાંક ઘટાડતી વખતે ફેક્ટરિંગ આપણને મદદ કરે છે.

3. મૂળ સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વિના, ચોરસ ત્રિનોમીના મૂળ શોધો:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. એક ચોરસ ત્રિપદી બનાવો જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

સ્વતંત્ર કાર્ય.

વિકલ્પો અનુસાર સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય પૂર્ણ કરો, ત્યારબાદ ચકાસણી. પ્રથમ બે કાર્યોનો જવાબ "હા" અથવા "ના" આપવો આવશ્યક છે. દરેક વિકલ્પમાંથી એક વિદ્યાર્થીને બોલાવવામાં આવે છે (તેઓ બોર્ડના લેપલ્સ પર કામ કરે છે). બોર્ડ પર સ્વતંત્ર કાર્ય કર્યા પછી, સોલ્યુશનની સંયુક્ત તપાસ હાથ ધરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓ તેમના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે.

1 લા વિકલ્પ:

1.ડી<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. સંખ્યા 2 એ સમીકરણ x 2 + 3x - 10 = 0 નું મૂળ છે.

3. વર્ગ ત્રિપદીને અવયવ 6 માં અવયવિત કરો x 2 – 5x + 1;

બીજો વિકલ્પ:

1.D>0. સમીકરણમાં 2 મૂળ છે.

2. સંખ્યા 3 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 - x - 12 = 0 નું મૂળ છે.

3. ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવ 2 માં વિઘટન કરો એક્સ 2 – 5x + 3

IV. જ્ઞાનના એસિમિલેશનની તપાસ કરી રહ્યા છીએ. પ્રતિબિંબ.

– પાઠ દર્શાવે છે કે તમે આ વિષયની મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી જાણો છો. અમે જ્ઞાનનો સારાંશ આપ્યો છે

ચોરસ ત્રિપદીફોર્મની બહુપદી કહેવાય છે ax2+bx +c, ક્યાં x- ચલ, abcકેટલીક સંખ્યાઓ છે, અને ≠ 0.

ગુણાંક aકહેવાય છે વરિષ્ઠ ગુણાંક, c – મફત સભ્યચોરસ ત્રિપદી.

ચોરસ ત્રિપદીના ઉદાહરણો:

2 x 2 + 5x + 4(અહીં a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(અહીં a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(અહીં a = 9, b = 9, c = -9)

ગુણાંક bઅથવા ગુણાંક cઅથવા બંને ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન હોઈ શકે છે. દાખ્લા તરીકે:

5 x 2 + 3x(અહીંa = 5b = 3c = 0, તેથી c ની કિંમત સમીકરણમાં નથી).

6x 2 - 8 (અહીંa=6, b=0, c=-8)

2x2(અહીંa=2, b=0, c=0)

બહુપદી અદૃશ્ય થઈ જાય તે ચલનું મૂલ્ય કહેવાય છે બહુપદી મૂળ.

ચોરસ ત્રિપદીના મૂળ શોધવા માટેax2+ bx + c, આપણે તેને શૂન્ય સાથે સરખાવવું જોઈએ -
એટલે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલોax2+ bx + c= 0 (વિભાગ "ચતુર્ભુજ સમીકરણ" જુઓ).

ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ

ઉદાહરણ:

અમે ત્રિકોણીય 2 ને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ x 2 + 7x - 4.

આપણે ગુણાંક જોઈએ છીએ a = 2.

હવે ત્રિનોમીના મૂળ શોધીએ. આ કરવા માટે, આપણે તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ અને સમીકરણ હલ કરીએ છીએ

2x 2 + 7x - 4 = 0.

આવા સમીકરણને કેવી રીતે હલ કરવામાં આવે છે - વિભાગ જુઓ “ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળના સૂત્રો. ભેદભાવપૂર્ણ" અહીં અમે ગણતરીના પરિણામને તરત જ નામ આપીએ છીએ. આપણા ત્રિનોમીના બે મૂળ છે:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

ચાલો કૌંસમાંથી ગુણાંકનું મૂલ્ય લઈને મૂળના મૂલ્યોને આપણા સૂત્રમાં બદલીએ. a, અને અમને મળે છે:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

દ્વિપદી દ્વારા ગુણાંક 2 નો ગુણાકાર કરીને પ્રાપ્ત પરિણામ અલગ રીતે લખી શકાય છે. x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

સમસ્યા હલ થાય છે: ત્રિકોણીય પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે.

આવા વિઘટન મૂળ સાથેના કોઈપણ ચોરસ ત્રિપદી માટે મેળવી શકાય છે.

ધ્યાન આપો!

જો ચોરસ ત્રિનોમીનો ભેદભાવ શૂન્ય હોય, તો આ ત્રિનોમીનું એક મૂળ હોય છે, પરંતુ ત્રિનોમીનું વિઘટન કરતી વખતે, આ મૂળને બે મૂળના મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે - એટલે કે સમાન મૂલ્ય તરીકે. x 1 અનેx 2 .

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિપદીનું એક મૂળ 3 જેટલું છે. પછી x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

આ પાઠમાં, આપણે શીખીશું કે કેવી રીતે ચોરસ ત્રિકોણને રેખીય પરિબળોમાં વિઘટન કરવું. આ માટે, વિએટાના પ્રમેય અને તેના વિપરીતને યાદ કરવું જરૂરી છે. આ કૌશલ્ય આપણને ચોરસ ત્રિકોણને રેખીય પરિબળોમાં ઝડપથી અને સરળતાથી વિઘટિત કરવામાં મદદ કરશે, અને અભિવ્યક્તિઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકના ઘટાડાને પણ સરળ બનાવશે.

તેથી ચતુર્ભુજ સમીકરણ પર પાછા જાઓ, જ્યાં.

આપણી ડાબી બાજુએ જે છે તેને ચોરસ ત્રિનોમી કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય સાચું છે:જો ચોરસ ત્રિપદીના મૂળ હોય, તો ઓળખ સાચી છે

અગ્રણી ગુણાંક ક્યાં છે, સમીકરણના મૂળ છે.

તેથી, આપણી પાસે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે - એક ચોરસ ત્રિપદી, જ્યાં ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળને ચતુર્ભુજ ત્રિપદીના મૂળ પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી, જો આપણી પાસે ચોરસ ત્રિનોમીના મૂળ હોય, તો આ ત્રિનોમી રેખીય પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે.

પુરાવો:

આ હકીકતનો પુરાવો વિએટા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, જે આપણે અગાઉના પાઠોમાં ધ્યાનમાં લીધા છે.

ચાલો યાદ કરીએ કે વિએટાનું પ્રમેય આપણને શું કહે છે:

જો ચોરસ ત્રિપદીના મૂળ હોય જેના માટે , તો .

આ પ્રમેય નીચેના વિધાનને સૂચિત કરે છે કે .

આપણે જોઈએ છીએ કે, વિએટા પ્રમેય મુજબ, એટલે કે, ઉપરના સૂત્રમાં આ મૂલ્યોને બદલીને, આપણને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે

Q.E.D.

યાદ કરો કે આપણે પ્રમેય સાબિત કર્યો છે કે જો ચોરસ ત્રિપદીના મૂળ હોય, તો વિઘટન માન્ય છે.

હવે ચાલો એક ચતુર્ભુજ સમીકરણનું ઉદાહરણ યાદ કરીએ, જેમાં આપણે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૂળ પસંદ કર્યા છે. આ હકીકત પરથી આપણે સાબિત થયેલ પ્રમેયને આભારી નીચેની સમાનતા મેળવી શકીએ છીએ:

હવે ચાલો ફક્ત કૌંસને વિસ્તૃત કરીને આ હકીકતની સાચીતા તપાસીએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે આપણે યોગ્ય રીતે પરિબળ કર્યું છે, અને કોઈપણ ત્રિનોમી, જો તે મૂળ ધરાવે છે, તો આ પ્રમેય અનુસાર સૂત્ર અનુસાર રેખીય પરિબળોમાં પરિબળ બનાવી શકાય છે.

જો કે, ચાલો તપાસીએ કે કોઈપણ સમીકરણ માટે આવા પરિબળ શક્ય છે કે કેમ:

ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ લઈએ. પ્રથમ, ચાલો ભેદભાવ કરનારની નિશાની તપાસીએ

અને આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે આપણે જે પ્રમેય શીખ્યા છીએ તેને પરિપૂર્ણ કરવા માટે, D 0 કરતા વધારે હોવો જોઈએ, તેથી, આ કિસ્સામાં, અભ્યાસ કરેલ પ્રમેય અનુસાર ફેક્ટરિંગ અશક્ય છે.

તેથી, અમે એક નવું પ્રમેય ઘડીએ છીએ: જો ચોરસ ત્રિપદીનું કોઈ મૂળ ન હોય, તો તે રેખીય પરિબળોમાં વિઘટિત થઈ શકતું નથી.

તેથી, અમે વિએટા પ્રમેય, એક ચોરસ ત્રિપદીને રેખીય પરિબળોમાં વિઘટન કરવાની સંભાવનાને ધ્યાનમાં લીધી છે, અને હવે અમે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

કાર્ય #1

આ જૂથમાં, અમે વાસ્તવમાં સમસ્યાને ઉલટાવીને ઉકેલીશું. અમારી પાસે એક સમીકરણ હતું, અને અમને તેના મૂળ મળ્યા, જે પરિબળોમાં વિઘટિત થયા. અહીં આપણે વિપરીત કરીશું. ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે

વ્યસ્ત સમસ્યા આ છે: એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો જેથી તેના મૂળ હોય.

આ સમસ્યાને હલ કરવાની 2 રીતો છે.

ત્યારથી સમીકરણના મૂળ છે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે જેના મૂળને સંખ્યાઓ આપવામાં આવી છે. હવે ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને તપાસીએ:

આ પહેલી રીત હતી કે આપણે આપેલ મૂળ સાથે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ બનાવ્યું જેમાં અન્ય કોઈ મૂળ ન હોય, કારણ કે કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં વધુમાં વધુ બે મૂળ હોય છે.

આ પદ્ધતિમાં વ્યસ્ત વિએટા પ્રમેયનો ઉપયોગ સામેલ છે.

જો સમીકરણના મૂળ છે, તો તે શરતને સંતોષે છે કે .

ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે , , એટલે કે આ કિસ્સામાં , અને .

આમ, અમે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ બનાવ્યું છે જે આપેલ મૂળ ધરાવે છે.

કાર્ય #2

તમારે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની જરૂર છે.

આપણી પાસે અંશમાં ત્રિનોમી છે અને છેદમાં ત્રિનોમીલ છે, અને ત્રિનોમીઓ પરિબળ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. જો અંશ અને છેદ બંને અવયવકૃત હોય, તો તેમની વચ્ચે સમાન અવયવો હોઈ શકે છે જે ઘટાડી શકાય છે.

સૌ પ્રથમ, અંશનું અવયવીકરણ કરવું જરૂરી છે.

પ્રથમ, તમારે તપાસ કરવાની જરૂર છે કે શું આ સમીકરણ પરિબળ બની શકે છે, ભેદભાવ શોધો. ત્યારથી, પછી ચિહ્ન ઉત્પાદન પર આધાર રાખે છે ( 0 કરતા ઓછું હોવું જોઈએ), આ ઉદાહરણમાં, એટલે કે, આપેલ સમીકરણમાં મૂળ છે.

ઉકેલવા માટે, અમે વિએટા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

આ કિસ્સામાં, કારણ કે આપણે મૂળ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, તેથી ફક્ત મૂળને પસંદ કરવું ખૂબ મુશ્કેલ હશે. પરંતુ આપણે જોઈએ છીએ કે ગુણાંક સંતુલિત છે, એટલે કે જો આપણે ધારીએ કે , અને આ મૂલ્યને સમીકરણમાં બદલીએ, તો નીચેની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે: એટલે કે 5-5=0. આમ, અમે આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળમાંથી એક પસંદ કર્યું છે.

અમે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં પહેલેથી જ જાણીતું છે તેને બદલીને બીજા મૂળને શોધીશું, ઉદાહરણ તરીકે, , એટલે કે. .

આમ, અમે ચતુર્ભુજ સમીકરણના બંને મૂળ શોધી કાઢ્યા છે અને તેને પરિબળ કરવા માટે તેમના મૂલ્યોને મૂળ સમીકરણમાં બદલી શકીએ છીએ:

મૂળ સમસ્યાને યાદ કરો, અમારે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની જરૂર હતી.

ચાલો અંશને બદલે બદલીને સમસ્યા હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

તે ભૂલવું જરૂરી નથી કે આ કિસ્સામાં છેદ 0 ની બરાબર હોઈ શકતું નથી, એટલે કે.

જો આ શરતો પૂરી થાય છે, તો અમે મૂળ અપૂર્ણાંકને ફોર્મમાં ઘટાડી દીધા છે.

કાર્ય #3 (પેરામીટર સાથેનું કાર્ય)

પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો છે

જો આ સમીકરણના મૂળ અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી , પ્રશ્ન એ છે કે ક્યારે.

ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ એ શાળાની સોંપણીઓમાંની એક છે જેનો દરેકને વહેલા કે પછી સામનો કરવો પડે છે. તે કેવી રીતે કરવું? ચોરસ ત્રિનોમીના અવયવ માટેનું સૂત્ર શું છે? ચાલો ઉદાહરણો સાથે તેને તબક્કાવાર કરીએ.

સામાન્ય સૂત્ર

ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કરીને ચોરસ ત્રિપદીનું અવયવીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે. આ એક સરળ કાર્ય છે જે ઘણી પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે - ભેદભાવ શોધીને, વિએટા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તેને હલ કરવાની ગ્રાફિકલ રીત પણ છે. પ્રથમ બે પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ હાઇસ્કૂલમાં કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય સૂત્ર આના જેવો દેખાય છે:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

ટાસ્ક એક્ઝેક્યુશન અલ્ગોરિધમ

ચોરસ ત્રિકોણને ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે, તમારે વિટના પ્રમેયને જાણવાની જરૂર છે, તમારી પાસે ઉકેલ માટેનો પ્રોગ્રામ હોવો જોઈએ, ગ્રાફિકલી રીતે ઉકેલ શોધવામાં સક્ષમ હોવ અથવા ભેદભાવ સૂત્ર દ્વારા બીજી ડિગ્રીના સમીકરણના મૂળ શોધવામાં સક્ષમ હોવ. જો ચોરસ ત્રિનોમી આપવામાં આવ્યો હોય અને તે પરિબળ હોવો જોઈએ, તો ક્રિયાઓનો અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે:

1) સમીકરણ મેળવવા માટે મૂળ અભિવ્યક્તિને શૂન્ય સાથે સમાન કરો.

2) સમાન શરતો આપો (જો જરૂરી હોય તો).

3) કોઈપણ જાણીતી પદ્ધતિ દ્વારા મૂળ શોધો. ગ્રાફિકલ પદ્ધતિનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ થાય છે જો તે અગાઉથી જાણીતું હોય કે મૂળ પૂર્ણાંકો અને નાની સંખ્યાઓ છે. તે યાદ રાખવું આવશ્યક છે કે મૂળની સંખ્યા સમીકરણની મહત્તમ ડિગ્રી જેટલી છે, એટલે કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં બે મૂળ છે.

4) અવેજી મૂલ્ય એક્સઅભિવ્યક્તિમાં (1).

5) ચોરસ ત્રિકોણનું અવયવીકરણ લખો.

ઉદાહરણો

પ્રેક્ટિસ તમને આખરે સમજવા દે છે કે આ કાર્ય કેવી રીતે કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણો ચોરસ ત્રિપદીના અવયવીકરણને સમજાવે છે:

તમારે અભિવ્યક્તિને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે:

ચાલો આપણા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીએ:

1) x 2 -17x+32=0

2) સમાન શરતો ઘટાડવામાં આવે છે

3) વિએટા સૂત્ર અનુસાર, આ ઉદાહરણ માટે મૂળ શોધવાનું મુશ્કેલ છે, તેથી ભેદભાવ માટે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરવો વધુ સારું છે:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) વિઘટન માટેના મુખ્ય સૂત્રમાં અમને મળેલા મૂળને બદલો:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) પછી જવાબ હશે:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

ચાલો તપાસીએ કે ભેદભાવ કરનાર દ્વારા મળેલા ઉકેલો વિએટા સૂત્રોને અનુરૂપ છે કે કેમ:

14,845 . 2,155=32

આ મૂળો માટે, વિએટાનું પ્રમેય લાગુ કરવામાં આવે છે, તે યોગ્ય રીતે મળી આવ્યા હતા, જેનો અર્થ છે કે આપણે મેળવેલ પરિબળ પણ સાચું છે.

એ જ રીતે, આપણે 12x 2 + 7x-6 વિસ્તૃત કરીએ છીએ.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

અગાઉના કિસ્સામાં, ઉકેલો બિન-પૂર્ણાંક હતા, પરંતુ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જે તમારી સામે કેલ્ક્યુલેટર દ્વારા શોધવામાં સરળ છે. હવે એક વધુ જટિલ ઉદાહરણનો વિચાર કરો જેમાં મૂળ જટિલ છે: x 2 + 4x + 9ને અવયવિત કરો. વિએટા સૂત્ર મુજબ, મૂળ શોધી શકાતા નથી, અને ભેદભાવ નકારાત્મક છે. મૂળ જટિલ પ્લેન પર હશે.

ડી =-20

આના આધારે, આપણને -4 + 2i * 5 1/2 માં રસ હોય તેવા મૂળ મળે છે અને -4-2i * 5 1/2 કારણ કે (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

અમે મૂળને સામાન્ય સૂત્રમાં બદલીને ઇચ્છિત વિસ્તરણ મેળવીએ છીએ.

બીજું ઉદાહરણ: તમારે 23x 2 -14x + 7 અભિવ્યક્તિને ફેક્ટરાઇઝ કરવાની જરૂર છે.

આપણી પાસે સમીકરણ છે 23x 2 -14x+7 =0

ડી =-448

તેથી મૂળ છે 14+21,166i અને 14-21,166i. જવાબ હશે:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ જે ભેદભાવની મદદ વિના ઉકેલી શકાય છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 -32x + 255 નું વિઘટન કરવું જરૂરી છે. દેખીતી રીતે, તે ભેદભાવ કરનાર દ્વારા પણ ઉકેલી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં મૂળ શોધવાનું વધુ ઝડપી છે.

x 1 = 15

x2=17

અર્થ x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

ચોરસ ત્રિપદી એ ax^2 + bx + c સ્વરૂપનું બહુપદી છે, જ્યાં x એ ચલ છે, a, b અને c એ કેટલીક સંખ્યાઓ છે, વધુમાં, a ≠ 0.

ત્રિનોમીનું પરિબળ બનાવવા માટે, તમારે આ ત્રિનોમીના મૂળ જાણવાની જરૂર છે. (ત્યારબાદ ત્રિકોણીય 5x^2 + 3x-2 પર એક ઉદાહરણ)

નોંધ: ચોરસ ત્રિનોમી 5x^2 + 3x - 2 ની કિંમત x ની કિંમત પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે: જો x = 0, તો 5x^2 + 3x - 2 = -2

જો x = 2, તો 5x^2 + 3x - 2 = 24

જો x = -1, તો 5x^2 + 3x - 2 = 0

જ્યારે x \u003d -1, ત્રિકોણીય 5x ^ 2 + 3x - 2 અદૃશ્ય થઈ જાય છે, આ કિસ્સામાં નંબર -1 કહેવાય છે ચોરસ ત્રિપદીનું મૂળ.

સમીકરણનું મૂળ કેવી રીતે મેળવવું

ચાલો સમજાવીએ કે આપણે આ સમીકરણનું મૂળ કેવી રીતે મેળવ્યું. પ્રથમ તમારે પ્રમેય અને સૂત્રને સ્પષ્ટપણે જાણવાની જરૂર છે જેના દ્વારા આપણે કામ કરીશું:

"જો x1 અને x2 એ ચોરસ ત્રિકોણીય ax^2 + bx + c ના મૂળ હોય, તો ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b^ 2-4ac)) / 2a \

બહુપદીના મૂળ શોધવા માટેનું આ સૂત્ર એ સૌથી આદિમ સૂત્ર છે, જેના દ્વારા ઉકેલવાથી તમે ક્યારેય મૂંઝવણમાં પડશો નહીં.

અભિવ્યક્તિ 5x^2 + 3x - 2.

1. શૂન્યની બરાબરી કરો: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ, આ માટે આપણે સૂત્રમાં મૂલ્યોને બદલીએ છીએ (a એ X ^ 2 માટે ગુણાંક છે, b એ X માટે ગુણાંક છે, એક મુક્ત પદ, એટલે કે, a X વગરની આકૃતિ):

આપણે વર્ગમૂળની સામે વત્તા ચિહ્ન સાથેનું પ્રથમ મૂળ શોધીએ છીએ:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

વર્ગમૂળ પહેલાં ઓછા ચિહ્ન સાથેનું બીજું મૂળ:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

તેથી અમને ચોરસ ત્રિનોમીના મૂળ મળ્યાં. તેઓ સાચા છે તેની ખાતરી કરવા માટે, તમે ચકાસી શકો છો: પ્રથમ, અમે સમીકરણમાં પ્રથમ રુટ બદલીએ છીએ, પછી બીજા:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

જો બધા મૂળને બદલી નાખ્યા પછી, સમીકરણ અદૃશ્ય થઈ જાય, તો સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થાય છે.

3. હવે ચાલો પ્રમેયમાંથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), યાદ રાખો કે X1 અને X2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ છે. તેથી: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. વિઘટન યોગ્ય છે તેની ખાતરી કરવા માટે, તમે ખાલી કૌંસનો ગુણાકાર કરી શકો છો:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2. જે સાચીતાની પુષ્ટિ કરે છે નિર્ણયની.

ચોરસ ત્રિપદીના મૂળ શોધવાનો બીજો વિકલ્પ

ચોરસ ત્રિપદીના મૂળ શોધવા માટેનો બીજો વિકલ્પ વિયેટના પ્રમેયનો વ્યસ્ત પ્રમેય છે. અહીં ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ સૂત્રો દ્વારા જોવા મળે છે: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. પરંતુ એ સમજવું અગત્યનું છે કે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ ફક્ત ત્યારે જ થઈ શકે છે જો ગુણાંક a \u003d 1, એટલે કે, x ^ 2 \u003d 1 ની સામેની સંખ્યા.

ઉદાહરણ તરીકે: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

ઉકેલ: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

હવે એ વિચારવું જરૂરી છે કે ઉત્પાદનમાં કઈ સંખ્યાઓ એકમ આપે છે? સ્વાભાવિક રીતે આ 1 * 1 અને -1 * (-1) . આ સંખ્યાઓમાંથી, અમે x1 + x2 = 2 અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ તે પસંદ કરીએ છીએ, અલબત્ત - આ 1 + 1 છે. તેથી અમને સમીકરણના મૂળ મળ્યા: x1 = 1, x2 = 1. આ તપાસવું સરળ છે કે કેમ તમે અભિવ્યક્તિમાં x ^ 2 ને બદલે - 2x + 1 = 0.