Baza brojevnih sustava. Pretvaranje brojeva u različite brojevne sustave s rješenjem Kako saznati bazu brojevnog sustava

Možete unijeti ili cijele brojeve, kao što je 34, ili razlomke, kao što je 637,333. Za razlomke je naznačena točnost prijevoda nakon decimalne točke.

S ovim kalkulatorom se također koristi sljedeće:

Načini predstavljanja brojeva

Algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi

Primjer #1.



Prijevod od 2 do 8 do 16 brojevnog sustava.
Ovi sustavi su višekratnici dva, stoga se prijevod provodi pomoću tablice korespondencije (vidi dolje).

Za pretvaranje broja iz binarnog brojevnog sustava u oktalni (heksadecimalni) broj, potrebno je podijeliti binarni broj u skupine od tri (četiri za heksadecimalni) znamenke od zareza desno i lijevo, dopunjujući ekstremne skupine nulama ako je potrebno. Svaka skupina zamjenjuje se odgovarajućom oktalnom ili heksadecimalnom znamenkom.

Primjer #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272,51 8
ovdje 001=1; 010=2; 111 = 7; 010=2; 101=5; 001=1

Prilikom pretvaranja u heksadecimalni broj morate podijeliti na dijelove, po četiri znamenke, slijedeći ista pravila.
Primjer #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
ovdje 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011 = 13

Pretvorba brojeva iz 2, 8 i 16 u decimalni sustav provodi se tako da se broj razbije na zasebne i pomnoži s osnovom sustava (iz kojeg se broj prevodi) podignutom na stepen koji odgovara njegovom rednom broju u prevedenom broju. U ovom slučaju brojevi se numeriraju lijevo od zareza (prvi broj ima broj 0) s povećanjem, a u desna strana opadajuće (tj. s negativnim predznakom). Dobiveni rezultati se zbrajaju.

Primjer #4.
Primjer pretvorbe iz binarnog u decimalni brojevni sustav.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Primjer pretvorbe iz oktalnog u decimalni brojevni sustav. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Primjer pretvorbe iz heksadecimalnog u decimalni brojevni sustav. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Još jednom ponavljamo algoritam za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi PSS

1. Iz decimalnog brojevnog sustava:
   • podijeliti broj s osnovom brojevnog sustava koji se prevodi;
   • pronaći ostatak nakon dijeljenja cjelobrojnog dijela broja;
   • sve ostatke od dijeljenja zapiši obrnutim redoslijedom;
2. Iz binarnog sustava
   • Da biste pretvorili u decimalni brojevni sustav, trebate pronaći zbroj proizvoda baze 2 prema odgovarajućem stupnju pražnjenja;
   • Da biste broj pretvorili u oktalni, trebate broj razbiti na trozvuke.
     Na primjer, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Da biste broj pretvorili iz binarnog u heksadecimalni, broj trebate podijeliti u skupine od 4 znamenke.
     Na primjer, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tablica za pretvaranje u oktalni brojevni sustav

Primjer #2. Pretvorite broj 100,12 iz decimalnog u oktalni i obrnuto. Objasnite razloge odstupanja.
Riješenje.
1. faza. .

Ostatak dijeljenja piše se obrnutim redoslijedom. Dobivamo broj u 8. brojevnom sustavu: 144
100 = 144 8

Da bismo preveli razlomački dio broja, sukcesivno množimo razlomak s bazom 8. Kao rezultat, svaki put zapisujemo cijeli broj proizvoda.
0,12*8 = 0,96 (cijeli dio 0 )
0,96*8 = 7,68 (cijeli dio 7 )
0,68*8 = 5,44 (cijeli dio 5 )
0,44*8 = 3,52 (cijeli dio 3 )
Dobivamo broj u 8. brojevnom sustavu: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2. faza. Pretvaranje broja iz decimalnog u oktalni.
Obratna pretvorba iz oktalnog u decimalni.

Za prevođenje cjelobrojnog dijela potrebno je znamenku broja pomnožiti s odgovarajućim stupnjem znamenke.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Za prevođenje razlomka potrebno je znamenku broja podijeliti s odgovarajućim stupnjem znamenke
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Razlika od 0,0001 (100,12 - 100,1199) nastaje zbog pogreške zaokruživanja pri pretvaranju u oktalno. Ova se pogreška može smanjiti ako uzmemo veći broj znamenki (na primjer, ne 4, već 8).

U tečaju informatike, bez obzira na školu ili sveučilište, posebno se mjesto pridaje konceptu kao što su brojevni sustavi. U pravilu se za to dodjeljuje nekoliko lekcija ili praktičnih vježbi. Glavni cilj nije samo naučiti osnovne pojmove teme, proučiti vrste brojevnih sustava, već i upoznati binarnu, oktalnu i heksadecimalnu aritmetiku.

Što to znači?

Počnimo s definicijom glavnog pojma. Kako bilježi udžbenik "Informatika", brojevni sustav je zapis brojeva koji koristi posebnu abecedu ili određeni skup brojeva.

Ovisno o tome mijenja li se vrijednost znamenke od njezine pozicije u broju, razlikuju se dva: pozicijski i nepozicijski brojevni sustav.

U pozicionim sustavima vrijednost znamenke mijenja se s njezinim položajem u broju. Dakle, ako uzmemo broj 234, onda broj 4 u njemu znači jedinice, ali ako uzmemo u obzir broj 243, onda će to već značiti desetice, a ne jedinice.

U nepozicionim sustavima vrijednost znamenke je statična, bez obzira na njezin položaj u broju. Najviše vrhunski primjer- sustav štapića, gdje je svaka jedinica označena crticom. Bez obzira gdje dodijelite štapić, vrijednost broja će se promijeniti samo za jedan.

Nepozicijski sustavi

Nepozicijski brojevni sustavi uključuju:

1. Jedinstveni sustav, koji se smatra jednim od prvih. Koristio je štapiće umjesto brojeva. Što ih je više bilo, to je broj bio veći. Primjer ovako ispisanih brojeva možete susresti u filmovima gdje je riječ o ljudima izgubljenim na moru, zatvorenicima koji svaki dan obilježavaju uz pomoć ureza na kamenu ili drvetu.
2. Rimski, u kojem su umjesto brojeva korištena latinična slova. Koristeći ih, možete napisati bilo koji broj. Istodobno, njegova je vrijednost određena pomoću zbroja i razlike znamenki koje su činile broj. Ako je lijevo od znamenke bio manji broj, tada se lijeva znamenka oduzimala od desne, a ako je znamenka s desne strane bila manja ili jednaka znamenki lijevo, tada su se njihove vrijednosti zbrajale gore. Na primjer, broj 11 je napisan kao XI, a 9 - IX.
3. Slova, u kojima su brojevi označeni abecedom određenog jezika. Jedan od njih je slavenski sustav, u kojemu su brojna slova imala ne samo fonetsku, već i brojčanu vrijednost.
4. u kojoj su za snimanje korištene samo dvije oznake – klinovi i strelice.
5. I u Egiptu su se koristili posebni simboli za označavanje brojeva. Prilikom pisanja broja, svaki znak se može koristiti najviše devet puta.

Pozicijski sustavi

U informatici se velika pozornost posvećuje pozicionim brojevnim sustavima. To uključuje sljedeće:

• binarni;
• oktalni;
• decimal;
• heksadecimalni;
• seksagezimalni, koji se koristi za brojanje vremena (na primjer, u minuti - 60 sekundi, u satu - 60 minuta).

Svaki od njih ima svoju abecedu za pisanje, pravila prevođenja i aritmetičke operacije.

Decimalni sustav

Ovaj sustav nam je najpoznatiji. Za pisanje brojeva koristi brojeve od 0 do 9. Nazivaju se i arapskim. Ovisno o položaju znamenke u broju, može označavati različite znamenke - jedinice, desetice, stotine, tisuće ili milijune. Koristimo ga posvuda, znamo osnovna pravila po kojima se izvode aritmetičke operacije nad brojevima.

Binarni sustav

Jedan od glavnih brojevnih sustava u informatici je binarni. Njegova jednostavnost omogućuje računalu da izvodi glomazne izračune nekoliko puta brže nego u decimalnom sustavu.

Za pisanje brojeva koriste se samo dvije znamenke - 0 i 1. Istodobno, ovisno o položaju 0 ili 1 u broju, njegova će se vrijednost promijeniti.

U početku su sve primali uz pomoć računala potrebne informacije. U isto vrijeme, jedan je značio prisutnost signala koji se prenosi naponom, a nula je značila njegovu odsutnost.

Oktalni sustav

Još jedan poznati računalni brojevni sustav u kojem se koriste brojevi od 0 do 7. Koristio se uglavnom u onim područjima znanja koja su povezana s digitalnim uređajima. No u posljednje vrijeme se koristi mnogo rjeđe, jer ga je zamijenio heksadecimalni brojevni sustav.

Binarna decimala

Predstavljanje velikih brojeva u binarnom sustavu za osobu je prilično kompliciran proces. Da bismo ga pojednostavili, razvijen je.Obično se koristi u elektroničkim satovima, kalkulatorima. U ovom sustavu ne pretvara se cijeli broj iz decimalnog sustava u binarni, već se svaka znamenka prevodi u odgovarajući skup nula i jedinica u binarnom sustavu. Isto vrijedi i za pretvorbu iz binarnog u decimalni. Svaka znamenka, predstavljena kao četveroznamenkasti skup nula i jedinica, prevodi se u znamenku u decimalnom brojevnom sustavu. U principu, nema ništa komplicirano.

Za rad s brojevima u ovom slučaju korisna je tablica brojevnih sustava koja će naznačiti korespondenciju između brojeva i njihovog binarnog koda.

Heksadecimalni sustav

U posljednje vrijeme heksadecimalni brojevni sustav postaje sve popularniji u programiranju i informatici. Ne koristi samo brojeve od 0 do 9, već i niz latiničnih slova - A, B, C, D, E, F.

Istovremeno, svako od slova ima svoje značenje, dakle A=10, B=11, C=12 i tako dalje. Svaki broj je predstavljen kao skup od četiri znaka: 001F.

Pretvorba brojeva: iz decimalnog u binarni

Prevođenje u brojevnim sustavima odvija se prema određenim pravilima. Najčešća je pretvorba iz binarnog u decimalni i obrnuto.

Da bi se broj pretvorio iz decimalnog u binarni, potrebno ga je dosljedno podijeliti s bazom brojevnog sustava, odnosno brojem dva. U tom slučaju, ostatak svake podjele mora biti fiksiran. To će se nastaviti sve dok ostatak dijeljenja ne bude manji ili jednak jedan. Najbolje je izvršiti izračune u stupcu. Zatim se dobiveni ostaci dijeljenja zapisuju u niz obrnutim redoslijedom.

Na primjer, pretvorimo broj 9 u binarni:

Dijelimo 9, budući da broj nije jednako djeljiv, onda uzimamo broj 8, ostatak će biti 9 - 1 = 1.

Nakon dijeljenja 8 s 2, dobivamo 4. Ponovno ga podijelimo, budući da je broj podijeljen s dva - u ostatku dobivamo 4 - 4 = 0.

Izvodimo istu operaciju s 2. Ostatak je 0.

Kao rezultat dijeljenja, dobivamo 1.

Neovisno o konačnom brojevnom sustavu, prijenos brojeva iz decimale u bilo koji drugi odvijat će se prema principu dijeljenja broja temeljem pozicijskog sustava.

Pretvorba brojeva: iz binarnog u decimalni

Vrlo je lako pretvoriti brojeve u decimalni iz binarnog. Da biste to učinili, dovoljno je poznavati pravila za podizanje brojeva na stepen. U ovom slučaju, na stepen dva.

Algoritam prevođenja je sljedeći: svaka znamenka iz koda binarnog broja mora se pomnožiti s dva, a prve dvije će biti na stepen m-1, druga - m-2, i tako dalje, gdje je m broj znamenki u kodu. Zatim dodajte rezultate zbrajanja, dobivajući cijeli broj.

Za školarce se ovaj algoritam može jednostavnije objasniti:

Za početak uzmemo i zapišemo svaku znamenku pomnoženu s dva, a zatim s kraja zapišemo stepen dvojke, počevši od nule. Zatim zbrojite dobiveni broj.

Na primjer, analizirajmo s vama prethodno dobiveni broj 1001, pretvarajući ga u decimalni sustav, a ujedno provjerimo točnost naših izračuna.

To će izgledati ovako:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Prilikom proučavanja ove teme, prikladno je koristiti tablicu s dvojkama. To će značajno smanjiti količinu vremena potrebnog za izračune.

Ostale mogućnosti prijevoda

U nekim slučajevima, prijevod se može izvesti između binarnog i oktalnog, binarnog i heksadecimalnog. U tom slučaju možete koristiti posebne tablice ili pokrenuti aplikaciju kalkulator na računalu odabirom opcije "Programer" na kartici prikaza.

Aritmetičke operacije

Neovisno o obliku u kojem je broj predstavljen, moguće je izvršiti izračune koji su nam poznati. To može biti dijeljenje i množenje, oduzimanje i zbrajanje u brojevnom sustavu koji ste odabrali. Naravno, svaki od njih ima svoja pravila.

Tako je za binarni sustav razvijene vlastite tablice za svaku od operacija. Iste tablice se koriste i u drugim pozicijskim sustavima.

Nije ih potrebno pamtiti - samo ispišite i imajte pri ruci. Također možete koristiti kalkulator na računalu.

Jedna od najvažnijih tema u informatici je brojevni sustav. Poznavanje ove teme, razumijevanje algoritama za prevođenje brojeva iz jednog sustava u drugi jamstvo je da ćete moći razumjeti složenije teme, poput algoritamizacije i programiranja, te da ćete moći sami napisati svoj prvi program.

Prije nego počnemo rješavati probleme, moramo razumjeti nekoliko jednostavnih točaka.

Razmotrimo decimalni broj 875. Posljednja znamenka broja (5) je ostatak dijeljenja broja 875 s 10. Zadnje dvije znamenke čine broj 75 - to je ostatak dijeljenja broja 875 sa 100 Slične tvrdnje su istinite za bilo koji brojevni sustav:

Posljednja znamenka broja je ostatak dijeljenja tog broja bazom brojevnog sustava.

Zadnje dvije znamenke broja su ostatak dijeljenja broja bazom brojevnog sustava na kvadrat.

Na primjer, . Podijelimo 23 s bazom sustava 3, u ostatku dobivamo 7 i 2 (2 je zadnja znamenka broja u ternarnom sustavu). Podijelite 23 s 9 (baza na kvadrat), dobivamo 18 i 5 u ostatku (5 = ).

Vratimo se na uobičajeni decimalni sustav. Broj = 100000. 10 na stepen k je jedan i k nula.

Slična izjava vrijedi za bilo koji brojevni sustav:

Osnova brojevnog sustava na stepen k u ovom brojevnom sustavu zapisuje se kao jedinica i k nula.

Na primjer, .

1. Potražite bazu brojevnog sustava

Primjer 1

U brojevnom sustavu s nekom bazom, decimalni broj 27 zapisuje se kao 30. Navedite ovu bazu.

Riješenje:

Označimo traženu bazu x. Tada .tj. x=9.

Primjer 2

U brojevnom sustavu s nekom bazom, decimalni broj 13 zapisuje se kao 111. Navedite ovu bazu.

Riješenje:

Označimo traženu bazu x. Zatim

Rješavamo kvadratnu jednadžbu, dobivamo korijene 3 i -4. Budući da baza brojevnog sustava ne može biti negativna, odgovor je 3.

Odgovor: 3

Primjer 3

Navedite, razdvojene zarezima, u rastućem redoslijedu, sve baze brojevnih sustava u kojima unos broja 29 završava na 5.

Riješenje:

Ako u nekom sustavu broj 29 završava s 5, tada broj smanjen za 5 (29-5 = 24) završava s 0. Već smo rekli da broj završava na 0 kada je bez ostatka djeljiv s osnovom sustava . Oni. trebamo pronaći sve takve brojeve koji su djelitelji broja 24. Ti brojevi su: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Imajte na umu da u brojevnim sustavima s bazom 2, 3, 4 nema broja 5 (a u formulacijskom problemu broj 29 završava na 5), ​​tako da postoje sustavi s bazama: 6, 8, 12,

Odgovor: 6, 8, 12, 24

Primjer 4

Navedite, razdvojene zarezima, u rastućem redoslijedu, sve baze brojevnih sustava u kojima unos broja 71 završava na 13.

Riješenje:

Ako u nekom sustavu broj završava na 13, tada je baza ovog sustava najmanje 4 (inače nema broja 3).

Broj smanjen za 3 (71-3=68) završava na 10. To jest, 68 je potpuno djeljiv s traženom bazom sustava, a kvocijent toga, kada se podijeli s bazom sustava, daje ostatak 0.

Napišimo sve djelitelje cijelih brojeva broja 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 nije prikladan, jer baza nije manja od 4. Provjerite ostatak djelitelja:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (odmor 1) - prikladno

68:17 = 4; 4:17 = 0 (odmor 4) - nije prikladno

68:34 = 2; 2:17 = 0 (odmor 2) - nije prikladno

68:68 = 1; 1:68 = 0 (odmor 1) - prikladno

Odgovor: 4, 68

2. Traži brojeve po uvjetima

Primjer 5

Navedite, razdvojene zarezom, u rastućem redoslijedu, sve decimalne brojeve koji ne prelaze 25, čiji zapis u brojevnom sustavu baze četiri završava na 11?

Riješenje:

Prvo, otkrijmo kako izgleda broj 25 u brojevnom sustavu s bazom 4.

Oni. moramo pronaći sve brojeve, ne veće od , čiji zapis završava s 11. Po pravilu sekvencijalnog brojanja u sustavu s bazom 4,
dobivamo brojeve i . Prevodimo ih u decimalni brojevni sustav:

Odgovor: 5, 21

3. Rješenje jednadžbi

Primjer 6

Riješite jednadžbu:

Odgovor zapišite u ternarnom sustavu (osnovu brojevnog sustava u odgovoru nije potrebno pisati).

Riješenje:

Pretvorimo sve brojeve u decimalni brojevni sustav:

Kvadratna jednadžba ima korijene -8 i 6. (jer baza sustava ne može biti negativna). .

Odgovor: 20

4. Brojenje broja jedinica (nula) u binarnom zapisu vrijednosti izraza

Da bismo riješili ovu vrstu problema, moramo se sjetiti kako funkcionira zbrajanje i oduzimanje "u stupcu":

Prilikom zbrajanja dolazi do bitskog zbrajanja znamenki zapisanih jedna ispod druge, počevši od najmanje značajnih znamenki. Ako je rezultirajući zbroj dviju znamenki veći ili jednak bazi brojevnog sustava, ostatak dijeljenja tog iznosa s bazom sustava upisuje se pod zbrojene brojke, a cijeli broj dijeljenja tog iznosa s bazom sustava dodaje se zbroju sljedećih znamenki.

Prilikom oduzimanja dolazi do oduzimanja znamenki napisanih jedna ispod druge, počevši od najmanje značajnih znamenki. Ako je prva znamenka manja od druge, "posuđujemo" jednu od susjedne (veće) znamenke. Jedinica koja se nalazi u trenutnoj znamenki jednaka je bazi brojevnog sustava. Decimalno je 10, binarno 2, ternarno 3 i tako dalje.

Primjer 7

Koliko je jedinica sadržano u binarnom zapisu vrijednosti izraza: ?

Riješenje:

Predstavimo sve brojeve izraza kao potencije dvojke:

U binarnom zapisu, dva na stepen od n izgleda kao 1 iza kojeg slijedi n nula. Zatim zbrajanjem i , dobivamo broj koji sadrži 2 jedinice:

Sada od dobivenog broja oduzmite 10000. Prema pravilima oduzimanja, posuđujemo od sljedeće znamenke.

Sada dodajte 1 rezultirajućem broju:

Vidimo da rezultat ima 2013+1+1=2015 jedinica.

Vježba 1. Koji broj u dekadskom brojevnom sustavu odgovara broju 24 16?

Riješenje.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Odgovor. 24 16 = 36 10

Zadatak 2. Poznato je da je X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Što je broj X u decimalnom zapisu?

Riješenje.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Pronađite broj: X = 6 + 4 + 5 = 15

Odgovor. X = 15 10

Zadatak 3. Izračunajte vrijednost zbroja 10 2 + 45 8 + 10 16 u decimalnom zapisu.

Riješenje.

Prevedimo svaki pojam u decimalni brojevni sustav:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Zbroj je: 2 + 37 + 16 = 55

Pretvori u binarni brojevni sustav

Vježba 1.Što je broj 37 u binarnom brojevnom sustavu?

Riješenje.

Možete pretvoriti dijeljenjem s 2 i kombiniranjem ostataka obrnutim redoslijedom.

Drugi način je proširiti broj u zbroj potencija dva, počevši od najvećeg, čiji je rezultat izračuna manji od zadanog broja. Prilikom pretvaranja, nedostajuće potencije broja treba zamijeniti nulama:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Odgovor. 37 10 = 100101 2 .

Zadatak 2. Koliko je značajnih nula u binarnom prikazu decimalnog broja 73?

Riješenje.

Razlažemo broj 73 u zbroj potencija dva, počevši od najveće i množimo nedostajuće potencije s nulama, a postojeće s jedan:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Odgovor. Postoje četiri značajne nule u binarnom zapisu za decimalni broj 73.

Zadatak 3. Izračunajte zbroj x i y za x = D2 16 , y = 37 8 . Rezultat predstaviti u binarnom brojevnom sustavu.

Riješenje.

Podsjetimo da se svaka znamenka heksadecimalnog broja sastoji od četiri binarne znamenke, a svaka znamenka oktalnog broja od tri:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Dodajmo brojeve:

11010010 11111 -------- 11110001

Odgovor. Zbroj brojeva D2 16 i y = 37 8 , predstavljenih u binarnom sustavu, je 11110001.

Zadatak 4. dano: a= D7 16 , b= 331 8 . Koji od brojeva c, napisano u binarnom zapisu, ispunjava uvjet a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Riješenje.

Prevedimo brojeve u binarni brojevni sustav:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Prve četiri znamenke za sve brojeve su iste (1101). Stoga je usporedba pojednostavljena na usporedbu najmanje značajnih četiri znamenke.

Prvi broj na popisu je broj b, dakle, ne odgovara.

Drugi broj je veći od b. Treći broj je a.

Odgovara samo četvrti broj: 0111< 1000 < 1001.

Odgovor.Četvrta opcija (11011000) ispunjava uvjet a< c < b .

Zadaci za određivanje vrijednosti u različitim brojevnim sustavima i njihovim bazama

Vježba 1. Znakovi @, $, &, % kodirani su dvoznamenkastim uzastopnim binarnim brojevima. Prvi znak odgovara broju 00. Koristeći ove znakove, kodiran je sljedeći niz: $% [e-mail zaštićen]$. Dekodirajte ovaj niz i pretvorite rezultat u heksadecimalni.

Riješenje.

1. Usporedimo binarne brojeve sa znakovima koje kodiraju:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Prevedimo binarni broj u heksadecimalni brojevni sustav:
0111 1010 0001 = 7A1

Odgovor. 7A1 16 .

Zadatak 2. U vrtu ima 100 x voćaka, od čega 33 x jabuke, 22 x kruške, 16 x šljive, 17 x trešnje. Kolika je baza brojevnog sustava (x).

Riješenje.

1. Imajte na umu da su svi pojmovi dvoznamenkasti brojevi. U bilo kojem brojevnom sustavu mogu se predstaviti na sljedeći način:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, gdje su a i b znamenke odgovarajućih znamenki broja.
Za troznamenkasti broj to bi bilo ovako:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Uvjet problema je sljedeći:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Zamijenite brojeve u formulama:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Riješite kvadratnu jednadžbu:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Kvadratni korijen od D je 11.
Korijeni kvadratne jednadžbe:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ili x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Negativan broj ne može biti baza brojevnog sustava. Dakle, x može biti jednako samo 9.

Odgovor.Željena baza brojevnog sustava je 9.

Zadatak 3. U brojevnom sustavu s nekom bazom decimalni broj 12 zapisuje se kao 110. Pronađite ovu bazu.

Riješenje.

Prvo, napišimo broj 110 kroz formulu za pisanje brojeva u pozicionim brojevnim sustavima kako bismo pronašli vrijednost u decimalnom brojevnom sustavu, a zatim pronađite bazu grubom silom.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Moramo dobiti 12. Pokušavamo 2: 2 2 + 2 = 6. Pokušavamo 3: 3 2 + 3 = 12.

Dakle, baza brojevnog sustava je 3.

Odgovor.Željena baza brojevnog sustava je 3.

Zadatak 4. U kojem brojevnom sustavu bi decimalni broj 173 bio predstavljen kao 445?

Riješenje.
Nepoznatu bazu označavamo s X. Zapisujemo sljedeću jednadžbu:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
S obzirom da je bilo koji pozitivan broj na nulti stepen jednak 1, prepisujemo jednadžbu (baza 10 neće biti naznačena).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Naravno, takva kvadratna jednadžba se može riješiti pomoću diskriminanta, ali postoji jednostavnije rješenje. Oduzmite od desnog i lijevog dijela za 4. Dobivamo
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 ili 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Odavde dobivamo 2 * X + 1 \u003d 13 (odbacujemo negativni korijen). Ili X = 6.
Odgovor: 173 10 = 445 6

Zadaci za pronalaženje nekoliko baza brojevnih sustava

Postoji grupa zadataka u kojima se traži navesti (uzlaznim ili silaznim redoslijedom) sve baze brojevnih sustava u kojima prikaz zadanog broja završava zadanom znamenkom. Ovaj zadatak je riješen prilično jednostavno. Prvo morate oduzeti zadanu znamenku od izvornog broja. Rezultirajući broj bit će prva baza brojevnog sustava. A sve ostale baze mogu biti samo djelitelji ovog broja. (Ova se tvrdnja dokazuje na temelju pravila za prijenos brojeva iz jednog brojevnog sustava u drugi – vidi točku 4). Samo zapamti to baza brojevnog sustava ne može biti manja od zadane znamenke!

Primjer
Navedite, razdvojene zarezima, u rastućem redoslijedu, sve baze brojevnih sustava u kojima unos broja 24 završava na 3.

Riješenje
24 - 3 \u003d 21 je prva baza (13 21 = 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 je djeljiv sa 3 i 7. Broj 3 nije prikladan, jer U brojevnom sustavu s bazom 3 nema 3.
Odgovor: 7, 21