Үшмүшенің бір түбірлі көбейткіштерге ыдырауы. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу әдісі: формула. Факторинг әдістері

Сынып: 9

Сабақтың түрі:білімді бекіту және жүйелеу сабағы.

Сабақтың түрі:Білім мен әрекет тәсілдерін тексеру, бағалау және түзету.

Мақсаттар:

Жабдық:ауызша жұмысқа дидактикалық материал, өздік жұмыс, білімді тексеруге арналған тест тапсырмалары, үй тапсырмасы бар карточкалар, алгебра оқулығы Ю.Н. Макарычев.

Сабақ жоспары.

Сабақтар кезінде

I. Білімді жаңарту кезеңі. Тәрбие мәселесінің мотивациясы.

Ұйымдастыру уақыты.

Бүгін сабақта біз «Төртбұрышты үшмүшені көбейткіштерге бөлу» тақырыбы бойынша білімімізді жинақтап, жүйелейміз. Әртүрлі жаттығуларды орындай отырып, сіз өзіңізге арнау керек нүктелерді атап өтуіңіз керек ерекше назартеңдеулер мен практикалық есептерді шешу кезінде. Бұл емтиханға дайындалу кезінде өте маңызды.
Сабақтың тақырыбын жазу: «Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу. Мысалдар шешу.

II. Сабақтың негізгі мазмұныКвадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы туралы оқушылардың ойларын қалыптастыру және бекіту.

ауызша жұмыс.

– Квадрат үшмүшені табысты көбейткіштерге бөлу үшін дискриминантты табу формулаларын да, квадрат теңдеудің түбірлерін табу формулаларын да, төртбұрышты үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласын есте сақтау керек және оларды тәжірибеде қолдану керек.

1. «Өтінішті жалғастыру немесе аяқтау» карталарын қараңыз.

2. Тақтаға қараңдар.

1. Ұсынылған көпмүшелердің қайсысы шаршы емес?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Квадрат үшмүшені анықтаңыз. Квадрат үшмүшенің түбірін анықтаңыз.

2. Формулалардың қайсысы квадрат теңдеудің түбірін есептеуге арналған формулаға жатпайды?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – б+ ;
3) X 1,2 = .

3. Квадрат үшмүшесінің a, b, c коэффициенттерін табыңыз - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Формулалардың қайсысы квадрат теңдеудің түбірін есептеуге арналған формула болып табылады?

x2 + px + q= 0 Вьета теоремасы бойынша?

1) x 1 + x 2 =p,
xбір · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
xбір · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
xбір · x 2 = – q .

5. Квадрат үшмүшені кеңейтіңіз X 2 – 11x +көбейткіштер үшін 18.

Жауабы: ( X – 2)(X – 9)

6. Шаршы үшмүшені кеңейтіңіз сағ 2 – 9y +көбейткіштер үшін 20

Жауабы: ( X – 4)(X – 5)

III. Білік пен дағдыны қалыптастыру. Оқыған материалды бекіту.

1. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеңіз:
а) 3 x 2 – 8x + 2;
б) 6 x 2 – 5x + 1;
3-те x 2 + 5x – 2;
г) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Бөлшектерді азайту кезінде факторинг бізге көмектеседі.

3. Түбір формуласын қолданбай, шаршы үшмүшенің түбірлерін табыңдар:
а) x 2 + 3x + 2 = 0;
б) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Түбірлері сандар болатын шаршы үшмүшені құрастыр:
а) x 1 = 4; x 2 = 2;
б) x 1 = 3; x 2 = -6;

Өзіндік жұмыс.

Варианттарға сәйкес тапсырманы өз бетінше орындаңыз, содан кейін тексеру. Алғашқы екі тапсырмаға «Иә» немесе «Жоқ» деп жауап беру керек. Әр нұсқадан бір оқушы шақырылады (олар тақтаның жамылғысында жұмыс істейді). Тақтада өздік жұмыс орындалғаннан кейін шешімді бірлесіп тексеру жүргізіледі. Оқушылар өз жұмыстарын бағалайды.

1-ші нұсқа:

1.Д<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. 2 саны x 2 + 3x - 10 = 0 теңдеуінің түбірі.

3. Квадрат үшмүшені 6 көбейткіштеріне бөліңіз x 2 – 5x + 1;

2-ші нұсқа:

1.D>0. Теңдеудің 2 түбірі бар.

2. 3 саны х 2 - х - 12 = 0 квадрат теңдеудің түбірі.

3. Квадрат үшмүшені 2 көбейткіштерге жіктеңдер X 2 – 5x + 3

IV. Білімді меңгеруін тексеру. Рефлексия.

– Сабақ осы тақырыптың негізгі теориялық материалын білетіндеріңізді көрсетті. Білімді қорытындыладық

Квадрат үшмүшеліктүрінің көпмүшесі деп аталады ax2+bx +в, қайда x- айнымалы, а,б,вкейбір сандар және a ≠ 0.

Коэффицент ашақырды жоғары коэффициент, в – тегін мүшешаршы үшмүше.

Квадрат үшмүшелерінің мысалдары:

2 x 2 + 5x + 4(Мұнда а = 2, б = 5, в = 4)

x 2 - 7x + 5(Мұнда а = 1, б = -7, в = 5)

9x 2 + 9x - 9(Мұнда а = 9, б = 9, в = -9)

Коэффицент бнемесе коэффициент внемесе екі коэффициент бір уақытта нөлге тең болуы мүмкін. Мысалға:

5 x 2 + 3x(Мұндаa = 5b = 3c = 0, сондықтан с мәні теңдеуде жоқ).

6х 2 - 8 (Мұндаa=6, b=0, c=-8)

2х2(Мұндаa=2, b=0, c=0)

Көпмүше жойылатын айнымалының мәні деп аталады көпмүшелік түбір.

Квадрат үшмүшенің түбірлерін табуax2+ bx + в, біз оны нөлге теңестіруіміз керек -
яғни квадрат теңдеуді шешуax2+ bx + c= 0 («Квадрикалық теңдеу» бөлімін қараңыз).

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу

Мысалы:

2 үшмүшені көбейткіштерге бөлеміз x 2 + 7x - 4.

коэффициентін көреміз а = 2.

Енді үшмүшенің түбірлерін табайық. Ол үшін оны нөлге теңеп, теңдеуді шешеміз

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Мұндай теңдеу қалай шешіледі - «Квадрат теңдеудің түбірлерінің формулалары. Дискриминант». Мұнда біз бірден есептеулердің нәтижесін атаймыз. Біздің үш мүшенің екі түбірі бар:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Формулаға түбірлердің мәндерін ауыстырайық, жақшаның ішінен коэффициент мәнін шығарайық. а, және біз аламыз:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Алынған нәтижені 2 коэффициентін биномға көбейту арқылы басқаша жазуға болады x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Мәселе шешілді: үшмүше көбейткіштерге ыдырайды.

Мұндай ыдырауды түбірі бар кез келген шаршы үшмүше үшін алуға болады.

НАЗАР АУДАРЫҢЫЗ!

Егер квадрат үшмүшенің дискриминанты нөлге тең болса, онда бұл үшмүшенің бір түбірі болады, бірақ үшмүшені ыдырату кезінде бұл түбір екі түбірдің мәні, яғни бірдей мән ретінде қабылданады. x 1 жәнеx 2 .

Мысалы, үшмүшенің 3-ке тең бір түбірі бар. Сонда x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

Бұл сабақта біз шаршы үшмүшелерді сызықтық көбейткіштерге ыдыратуды үйренеміз. Ол үшін Виетаның теоремасын және оның кері теоремасын еске түсіру керек. Бұл дағды квадрат үшмүшелерін сызықтық көбейткіштерге тез және ыңғайлы түрде ыдыратуға көмектеседі, сонымен қатар өрнектерден тұратын бөлшектерді азайтуды жеңілдетеді.

Сонымен, квадрат теңдеуге оралайық, мұндағы.

Бізде сол жақта орналасқан нәрсе шаршы үшмүше деп аталады.

Теорема дұрыс:Егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, сәйкестік ақиқат болады

Мұндағы жетекші коэффициент, теңдеудің түбірлері.

Сонымен, бізде квадрат теңдеу – квадрат үшмүше бар, мұнда квадрат теңдеудің түбірлері квадрат үшмүшенің түбірлері деп те аталады. Демек, егер бізде шаршы үшмүшенің түбірлері болса, онда бұл үшмүше сызықтық көбейткіштерге ыдырайды.

Дәлелдеу:

Бұл фактіні дәлелдеу алдыңғы сабақтарда қарастырған Виета теоремасы арқылы жүзеге асырылады.

Виетаның теоремасы бізге не айтқанын еске түсірейік:

Егер квадрат үшмүшесінің түбірлері болса, онда .

Бұл теорема келесі бекітуді білдіреді.

Виета теоремасы бойынша, яғни жоғарыдағы формулаға осы мәндерді ауыстырсақ, келесі өрнекті аламыз.

Q.E.D.

Еске салайық, егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, онда ыдырау дұрыс болады деген теореманы дәлелдедік.

Енді квадрат теңдеудің мысалын еске түсірейік, оның түбірін Виет теоремасы арқылы таңдадық. Осы фактіден дәлелденген теорема арқасында келесі теңдік алуға болады:

Енді жақшаларды жай ғана кеңейту арқылы бұл фактінің дұрыстығын тексерейік:

Біз дұрыс көбейткіштерге жіктегенімізді көреміз және кез келген үшмүшені, егер оның түбірі болса, осы теорема бойынша формула бойынша сызықтық көбейткіштерге көбейтуге болады.

Дегенмен, кез келген теңдеу үшін мұндай көбейткіштерге бөлу мүмкіндігі бар-жоғын тексерейік:

Мысалы, теңдеуді алайық. Алдымен дискриминанттың белгісін тексерейік

Ал біз үйренген теореманы орындау үшін D 0-ден үлкен болуы керек екенін есте ұстаймыз, сондықтан бұл жағдайда зерттелген теорема бойынша көбейткіштерге бөлу мүмкін емес.

Сондықтан біз жаңа теореманы тұжырымдаймыз: егер шаршы үшмүшенің түбірі болмаса, онда оны сызықтық көбейткіштерге ыдыратуға болмайды.

Сонымен, біз Виета теоремасын, квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге ыдырату мүмкіндігін қарастырдық, енді бірнеше есептерді шығарамыз.

№1 тапсырма

Бұл топта біз қойылған мәселеге керісінше мәселені шешеміз. Бізде теңдеу болды және біз көбейткіштерге ыдырай отырып, оның түбірін таптық. Мұнда біз керісінше жасаймыз. Квадрат теңдеудің түбірі бар делік

Кері есеп мынада: квадрат теңдеуді оның түбірі болатындай етіп жаз.

Бұл мәселені шешудің 2 жолы бар.

Теңдеудің түбірлері болғандықтан түбірлері сандар берілген квадрат теңдеу болып табылады. Енді жақшаларды ашып, тексерейік:

Бұл басқа түбірлері жоқ берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрудың бірінші жолы болды, өйткені кез келген квадрат теңдеудің ең көбі екі түбірі болады.

Бұл әдіс кері Виета теоремасын қолдануды қамтиды.

Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар шартты қанағаттандырады.

Келтірілген квадрат теңдеу үшін , , яғни бұл жағдайда және .

Осылайша, біз берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрдық.

№2 тапсырма

Бөлшекті азайту керек.

Бізде бөлгіште үшмүше бар, ал бөлгіште үшмүше бар, ал үшмүшелер көбейткіштерге жіктелуі де мүмкін. Егер алым да, бөлгіш те көбейткіштерге жіктелсе, онда олардың арасында азайтылатын бірдей көбейткіштер болуы мүмкін.

Ең алдымен алымды көбейткіштерге бөлу керек.

Алдымен бұл теңдеуді көбейткіштерге бөлуге болатындығын тексеру керек, дискриминантты табу керек. Өйткені, таңба көбейтіндіге байланысты (0-ден аз болуы керек), бұл мысалда , яғни берілген теңдеудің түбірлері бар.

Шешу үшін Виета теоремасын қолданамыз:

Бұл жағдайда, біз тамырлармен айналысатындықтан, тамырларды жай ғана жинау өте қиын болады. Бірақ біз коэффициенттердің теңестірілгенін көреміз, яғни деп болжасақ және бұл мәнді теңдеуге ауыстырсақ, онда келесі жүйе шығады: яғни 5-5=0. Осылайша, біз осы квадрат теңдеудің түбірлерінің бірін таңдадық.

Біз екінші түбірді теңдеулер жүйесіне бұрыннан белгілі нәрсені қою арқылы іздейміз, мысалы, , яғни. .

Осылайша, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де таптық және оны көбейту үшін олардың мәндерін бастапқы теңдеуге ауыстыра аламыз:

Бастапқы есепті еске түсірейік, бізге бөлшекті азайту керек болды.

Есептің алымының орнына қойып, шешуге тырысайық .

Бұл жағдайда бөлгіш 0-ге тең бола алмайтынын ұмытпау керек, яғни.

Егер бұл шарттар орындалса, біз бастапқы бөлшекті пішінге келтірдік.

№3 тапсырма (параметрі бар тапсырма)

Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы параметрдің қандай мәндерінде болады

Егер бұл теңдеудің түбірлері бар болса, онда , мәселе қашан.

Квадрат үшмүшелерін көбейткіштерге бөлу - ерте ме, кеш пе әркім тап болатын мектеп тапсырмаларының бірі. Мұны қалай жасауға болады? Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы қандай? Оны мысалдармен кезең-кезеңімен қарастырайық.

Жалпы формула

Квадрат үшмүшелерін көбейткіштерге бөлу квадрат теңдеуді шешу арқылы жүзеге асырылады. Бұл қарапайым тапсырма, оны бірнеше әдістермен шешуге болады - дискриминантты табу, Виета теоремасын қолдану арқылы оны шешудің графикалық жолы да бар. Алғашқы екі әдіс орта мектепте оқытылады.

Жалпы формула келесідей көрінеді:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Тапсырманы орындау алгоритмі

Квадрат үшмүшелерін көбейткіштерге бөлу үшін Вит теоремасын білу, шешуге арналған бағдарламаның қолында болуы, графикалық жолмен шешімін таба білу немесе дискриминант формуласы арқылы екінші дәрежелі теңдеудің түбірін іздеу керек. Егер шаршы үшмүше берілсе және оны көбейткіштерге бөлу керек болса, әрекеттер алгоритмі келесідей болады:

1) Теңдеуді алу үшін бастапқы өрнекті нөлге теңестіріңіз.

2) Ұқсас терминдерді келтіріңіз (қажет болса).

3) Кез келген белгілі әдіспен түбірлерді табыңыз. Түбірлердің бүтін және кіші сандар екені алдын ала белгілі болса, графикалық әдісті қолданған дұрыс. Түбірлер саны теңдеудің максимал дәрежесіне тең екенін есте ұстаған жөн, яғни квадрат теңдеудің екі түбірі бар.

4) Ауыстырылатын мән Xөрнекке (1).

5) Квадрат үшмүшелерін көбейткіштерге бөлуді жаз.

Мысалдар

Тәжірибе бұл тапсырманың қалай орындалатынын түпкілікті түсінуге мүмкіндік береді. Мысалдар квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлуді көрсетеді:

өрнекті кеңейту керек:

Алгоритмімізді қолданайық:

1) x 2 -17x+32=0

2) ұқсас терминдер қысқартылған

3) Виета формуласы бойынша бұл мысалдың түбірін табу қиын, сондықтан дискриминант үшін өрнекті қолданған дұрыс:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Бөлудің негізгі формуласында тапқан түбірлердің орнына қойыңыз:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Сонда жауап мынадай болады:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Дискриминантпен табылған шешімдердің Виеталық формулаларға сәйкестігін тексерейік:

14,845 . 2,155=32

Бұл түбірлер үшін Виета теоремасы қолданылады, олар дұрыс табылды, яғни біз алған көбейткіштерге бөлу де дұрыс.

Сол сияқты, біз 12x 2 + 7x-6 кеңейтеміз.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Алдыңғы жағдайда шешімдер бүтін емес, бірақ алдарыңызда калькулятор арқылы оңай табуға болатын нақты сандар болды. Енді түбірлері күрделі болатын күрделі мысалды қарастырыңыз: x 2 + 4x + 9 көбейткіштерге бөліңіз. Вьета формуласы бойынша түбірлерді табу мүмкін емес, ал дискриминант теріс. Түбірлер күрделі жазықтықта болады.

D=-20

Осыған сүйене отырып, біз қызықтыратын түбірлерді аламыз -4 + 2i * 5 1/2 және -4-2i * 5 1/2, себебі (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Біз түбірлерді жалпы формулаға ауыстыру арқылы қажетті кеңейтуді аламыз.

Тағы бір мысал: 23x 2 -14x + 7 өрнегін көбейткіштерге бөлу керек.

Бізде теңдеу бар 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Сонымен түбірлер 14+21,166i және 14-21,166i. Жауап мынадай болады:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Дискриминанттың көмегінсіз шешуге болатын мысал келтірейік.

x 2 -32x + 255 квадрат теңдеуін бөлшектеу қажет болсын. Әлбетте, оны дискриминантпен де шешуге болады, бірақ бұл жағдайда түбірлерді табу жылдамырақ.

x 1 =15

x2=17

білдіреді x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Шаршы үшмүше ax^2 + bx + c түріндегі көпмүше болып табылады, мұндағы x - айнымалы, a, b және c - кейбір сандар, сонымен қатар, a ≠ 0.

Үшмүшені көбейткіштерге бөлу үшін осы үшмүшенің түбірлерін білу керек. (бұдан әрі 5x^2 + 3x- 2 үшмүшесінің мысалы)

Ескерту: 5x^2 + 3x - 2 үшмүшесінің мәні х мәніне байланысты. Мысалы: x = 0 болса, 5х^2 + 3х - 2 = -2

Егер x = 2 болса, онда 5x^2 + 3x - 2 = 24

Егер x = -1 болса, онда 5x^2 + 3x - 2 = 0

x \u003d -1 болғанда, 5x ^ 2 + 3x - 2 үшмүшелігі жойылады, бұл жағдайда -1 саны деп аталады. шаршы үшмүшенің түбірі.

Теңдеудің түбірін қалай алуға болады

Бұл теңдеудің түбірін қалай алғанымызды түсіндірейік. Алдымен сіз теореманы және біз жұмыс істейтін формуланы нақты білуіңіз керек:

“Егер x1 және x2 квадрат үшмүшесінің түбірі ax^2 + bx + c болса, онда ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Көпмүшенің түбірлерін табудың бұл формуласы ең қарапайым формула болып табылады, оны шешуде сіз ешқашан шатастырмайсыз.

5x^2 + 3x - 2 өрнегі.

1. Нөлге теңестір: 5х^2 + 3х - 2 = 0

2. Квадрат теңдеудің түбірлерін табамыз, ол үшін формуладағы мәндерді ауыстырамыз (a – X ^ 2 коэффициенті, b – Х үшін коэффициент, бос мүше, яғни a X жоқ сурет):

Квадрат түбірдің алдында қосу белгісі бар бірінші түбірді табамыз:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)/10 = (-3 +) √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Квадрат түбір алдында минус таңбасы бар екінші түбір:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)/10 = (-3 -) √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Сонымен біз шаршы үшмүшенің түбірлерін таптық. Олардың дұрыстығына көз жеткізу үшін мынаны тексеруге болады: алдымен теңдеудегі бірінші түбірді, содан кейін екіншісін ауыстырамыз:

1) 5х^2 + 3х - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5х^2 + 3х - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Егер барлық түбірлерді ауыстырғаннан кейін теңдеу жойылып кетсе, онда теңдеу дұрыс шешілген болады.

3. Енді теоремадағы формуланы қолданайық: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1 және X2 квадрат теңдеудің түбірі екенін есте сақтаңыз. Сонымен: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Бөлудің дұрыстығына көз жеткізу үшін жақшаларды жай ғана көбейтуге болады:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Бұл дұрыстығын растайды шешімнің.

Квадрат үшмүшенің түбірлерін табудың екінші нұсқасы

Квадрат үшмүшесінің түбірлерін табудың тағы бір нұсқасы Виет теоремасының кері теоремасы болып табылады. Мұнда квадрат теңдеудің түбірлері мына формулалар арқылы табылады: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Бірақ бұл теореманы a \u003d 1 коэффициенті, яғни x ^ 2 \u003d 1 алдындағы сан болған жағдайда ғана қолдануға болатындығын түсіну маңызды.

Мысалы: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Шешуі: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Енді өнімдегі қандай сандар бірлік беретіні туралы ойлану керек пе? Әрине бұл 1 * 1 және -1 * (-1) . Осы сандардан біз x1 + x2 = 2 өрнегіне сәйкес келетіндерді таңдаймыз, әрине - бұл 1 + 1. Осылайша біз теңдеудің түбірін таптық: x1 = 1, x2 = 1. Мұны тексеру оңай. - 2x + 1 = 0 өрнегінде x ^ 2 орнына қоясыз.