Rozkład trójmianu na czynniki z jednym pierwiastkiem. Jak rozłożyć trójmian kwadratowy na czynniki: wzór. Metody faktoringowe

Klasa: 9

Rodzaj lekcji: lekcja utrwalania i systematyzowania wiedzy.

Rodzaj lekcji: Weryfikacja, ocena i korekta wiedzy i metod działania.

Cele:

Ekwipunek: materiały dydaktyczne do pracy ustnej, praca samodzielna, zadania testowe do sprawdzania wiedzy, karty z pracą domową, podręcznik do algebry Yu.N. Makarychev.

Plan lekcji.

Podczas zajęć

I. Etap aktualizacji wiedzy. Motywacja problemu edukacyjnego.

Organizowanie czasu.

Dzisiaj na lekcji uogólnimy i usystematyzujemy wiedzę na temat: „Faktoryzacja trójmianu kwadratowego”. Wykonując różne ćwiczenia, powinieneś zanotować sobie punkty, którym musisz się poświęcić Specjalna uwaga przy rozwiązywaniu równań i problemów praktycznych. Jest to bardzo ważne podczas przygotowań do egzaminu.
Zapisz temat lekcji: „Faktoryzacja trójmianu kwadratowego. Przykłady rozwiązywania.

II. Główna treść lekcji Formowanie i utrwalanie wyobrażeń uczniów na temat wzoru na rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki.

praca ustna.

- Aby pomyślnie rozłożyć trójmian kwadratowy na czynniki, musisz zapamiętać zarówno formuły znajdowania wyróżnika, jak i formuły znajdowania pierwiastków równania kwadratowego, wzór na faktoryzację trójmianu kwadratowego i zastosować je w praktyce.

1. Spójrz na karty „Kontynuuj lub uzupełnij oświadczenie”.

2. Spójrz na tablicę.

1. Który z proponowanych wielomianów nie jest kwadratowy?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Zdefiniuj trójmian kwadratowy. Zdefiniuj pierwiastek z trójmianu kwadratowego.

2. Która z formuł nie jest formułą do obliczania pierwiastków równania kwadratowego?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Znajdź współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Który ze wzorów jest wzorem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego?

x2 + piksel + q= 0 według twierdzenia Viety?

1) x 1 + X 2 =p,
x jeden · x 2 = q.

2) x 1 + X 2 = –p ,
x jeden · x 2 = q.

3)x 1 + X 2 = –p ,
x jeden · x 2 = – q .

5. Rozwiń trójmian kwadratowy X 2 – 11x + 18 dla mnożników.

Odpowiedź: ( X – 2)(X – 9)

6. Rozwiń trójmian kwadratowy w 2 – 9y + 20 dla mnożników

Odpowiedź: ( X – 4)(X – 5)

III. Kształtowanie umiejętności i zdolności. Konsolidacja badanego materiału.

1. Rozkład na czynniki kwadratowe trójmianu:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
w 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Faktoring pomaga nam przy redukcji ułamków.

3. Bez używania wzoru na pierwiastek, znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego:
a) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Zrób trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby:
a) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Niezależna praca.

Samodzielnie wykonaj zadanie zgodnie z opcjami, a następnie weryfikuj. Na dwa pierwsze zadania należy odpowiedzieć „Tak” lub „Nie”. Wzywany jest jeden uczeń z każdej opcji (pracują na klapach tablicy). Po wykonaniu samodzielnej pracy na tablicy przeprowadzana jest wspólna kontrola rozwiązania. Studenci oceniają swoją pracę.

Pierwsza opcja:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Liczba 2 jest pierwiastkiem równania x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Podziel trójmian kwadratowy na czynniki 6 x 2 – 5x + 1;

Druga opcja:

1.D>0. Równanie ma 2 pierwiastki.

2. Liczba 3 jest pierwiastkiem równania kwadratowego x 2 - x - 12 = 0.

3. Rozłóż trójmian kwadratowy na czynniki 2 X 2 – 5x + 3

IV. Sprawdzanie przyswajania wiedzy. Odbicie.

– Lekcja pokazała, że ​​znasz podstawowy materiał teoretyczny tego tematu. Podsumowaliśmy wiedzę

Trójmian kwadratowy nazywa się wielomianem postaci topór2+bx +c, gdzie x- zmienny, a,b,c to niektóre liczby, a ≠ 0.

Współczynnik a nazywa starszy współczynnik, c – Wolny Członek trójmian kwadratowy.

Przykłady trójmianów kwadratowych:

2 x 2 + 5x + 4(tutaj a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(tutaj a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(tutaj a = 9, b = 9, c = -9)

Współczynnik b lub współczynnik c lub oba współczynniki mogą być jednocześnie równe zero. Na przykład:

5 x 2 + 3x(tutaja = 5b = 3c = 0, więc wartości c nie ma w równaniu).

6x 2 - 8 (tutaja=6, b=0, c=-8)

2x2(tutaja=2, b=0, c=0)

Wartość zmiennej, przy której znika wielomian, nazywa się pierwiastek wielomianowy.

Aby znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowegotopór2+ bx + c, musimy to przyrównać do zera -
czyli rozwiązać równanie kwadratowetopór2+ bx + c= 0 (patrz rozdział „Równanie kwadratowe”).

Faktoryzacja trójmianu kwadratowego

Przykład:

Rozkładamy na czynniki trójmian 2 x 2 + 7x - 4.

Widzimy współczynnik a = 2.

Teraz znajdźmy korzenie trójmianu. Aby to zrobić, przyrównujemy to do zera i rozwiązujemy równanie

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Jak rozwiązuje się takie równanie - patrz rozdział „Wzory pierwiastków równania kwadratowego. Dyskryminujący”. Tutaj od razu nazywamy wynik obliczeń. Nasz trójmian ma dwa korzenie:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Wstawmy do naszego wzoru wartości pierwiastków, wyjmując z nawiasów wartość współczynnika a, a otrzymujemy:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Otrzymany wynik można zapisać inaczej, mnożąc współczynnik 2 przez dwumian x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problem został rozwiązany: trójmian rozkłada się na czynniki.

Taki rozkład można uzyskać dla dowolnego trójmianu kwadratowego z pierwiastkami.

UWAGA!

Jeśli wyróżnik trójmianu kwadratowego wynosi zero, to ten trójmian ma jeden pierwiastek, ale przy dekompozycji trójmianu ten pierwiastek jest przyjmowany jako wartość dwóch pierwiastków - czyli jako ta sama wartość x 1 ix 2 .

Na przykład trójmian ma jeden pierwiastek równy 3. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

W tej lekcji nauczymy się rozkładać trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe. W tym celu należy przypomnieć twierdzenie Viety i jego odwrotność. Ta umiejętność pomoże nam szybko i wygodnie rozłożyć trójmiany kwadratowe na czynniki liniowe, a także uprości redukcję ułamków składających się z wyrażeń.

Wróćmy więc do równania kwadratowego , gdzie .

To, co mamy po lewej stronie, nazywa się trójmianem kwadratowym.

Twierdzenie jest prawdziwe: Jeśli są pierwiastkami trójmianu kwadratowego, to tożsamość jest prawdziwa

Gdzie jest wiodący współczynnik, są pierwiastkami równania.

Mamy więc równanie kwadratowe - trójmian kwadratowy, w którym pierwiastki równania kwadratowego są również nazywane pierwiastkami trójmianu kwadratowego. Dlatego jeśli mamy pierwiastki z trójmianu kwadratowego, to ten trójmian rozkłada się na czynniki liniowe.

Dowód:

Dowodem na to jest twierdzenie Vieta, które rozważaliśmy na poprzednich lekcjach.

Pamiętajmy, co mówi nam twierdzenie Viety:

Jeśli są pierwiastkami trójmianu kwadratowego dla którego , to .

Twierdzenie to implikuje następujące twierdzenie, że .

Widzimy, że zgodnie z twierdzeniem Vieta, czyli podstawiając te wartości do powyższego wzoru, otrzymujemy następujące wyrażenie

co było do okazania

Przypomnijmy, że udowodniliśmy twierdzenie, że jeśli są pierwiastkami trójmianu kwadratowego, to rozkład jest prawidłowy.

Przypomnijmy teraz przykład równania kwadratowego, do którego wybraliśmy pierwiastki za pomocą twierdzenia Viety. Z tego faktu możemy uzyskać następującą równość dzięki udowodnionemu twierdzeniu:

Sprawdźmy teraz poprawność tego faktu, po prostu rozwijając nawiasy:

Widzimy, że dokonaliśmy poprawnego rozłożenia na czynniki i każdy trójmian, jeśli ma pierwiastki, może być rozłożony zgodnie z tym twierdzeniem na czynniki liniowe zgodnie ze wzorem

Sprawdźmy jednak, czy dla dowolnego równania taka faktoryzacja jest możliwa:

Weźmy na przykład równanie. Najpierw sprawdźmy znak dyskryminatora

I pamiętamy, że aby spełnić poznane twierdzenie, D musi być większe od 0, dlatego w tym przypadku faktoryzacja według badanego twierdzenia jest niemożliwa.

Dlatego formułujemy nowe twierdzenie: jeśli trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków, to nie można go rozłożyć na czynniki liniowe.

Rozważaliśmy więc twierdzenie Vieta, możliwość rozłożenia trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe, a teraz rozwiążemy kilka problemów.

Zadanie 1

W tej grupie faktycznie rozwiążemy problem odwrotny do postawionego. Mieliśmy równanie i znaleźliśmy jego korzenie rozkładające się na czynniki. Tutaj zrobimy odwrotnie. Powiedzmy, że mamy pierwiastki równania kwadratowego

Odwrotny problem jest taki: napisz równanie kwadratowe tak, aby były jego pierwiastkami.

Istnieją 2 sposoby rozwiązania tego problemu.

Skoro są pierwiastkami równania, to jest równaniem kwadratowym, którego pierwiastki mają podane liczby. Teraz otwórzmy wsporniki i sprawdźmy:

To był pierwszy sposób, w jaki stworzyliśmy równanie kwadratowe z danymi pierwiastkami, które nie mają żadnych innych pierwiastków, ponieważ każde równanie kwadratowe ma najwyżej dwa pierwiastki.

Ta metoda polega na użyciu odwrotnego twierdzenia Vieta.

Jeśli są pierwiastkami równania, to spełniają warunek, że .

Dla zredukowanego równania kwadratowego , czyli w tym przypadku , i .

W ten sposób stworzyliśmy równanie kwadratowe, które ma podane pierwiastki.

Zadanie nr 2

Musisz zmniejszyć ułamek.

Mamy trójmian w liczniku i trójmian w mianowniku, a trójmiany mogą, ale nie muszą być faktoryzowane. Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik są faktoryzowane, to wśród nich mogą być równe współczynniki, które można zmniejszyć.

Przede wszystkim konieczne jest rozłożenie licznika na czynniki.

Najpierw musisz sprawdzić, czy to równanie można podzielić na czynniki, znaleźć dyskryminator . Ponieważ , to znak zależy od iloczynu ( musi być mniejszy od 0), w tym przykładzie , czyli dane równanie ma pierwiastki.

Do rozwiązania używamy twierdzenia Vieta:

W takim przypadku, ponieważ mamy do czynienia z korzeniami, dość trudno będzie po prostu zebrać korzenie. Ale widzimy, że współczynniki są zrównoważone, tj. jeśli przyjmiemy, że i podstawimy tę wartość do równania, to otrzymamy następujący układ: tj. 5-5=0. W ten sposób wybraliśmy jeden z pierwiastków tego równania kwadratowego.

Drugiego pierwiastka poszukamy podstawiając do układu równań to, co już jest znane, np. , tj. .

W ten sposób znaleźliśmy oba pierwiastki równania kwadratowego i możemy podstawić ich wartości do pierwotnego równania, aby je rozłożyć na czynniki:

Przypomnijmy pierwotny problem, musieliśmy zmniejszyć ułamek.

Spróbujmy rozwiązać problem, podstawiając zamiast licznika .

Nie należy zapominać, że w tym przypadku mianownik nie może być równy 0, tj.

Jeśli te warunki są spełnione, sprowadzamy pierwotny ułamek do postaci .

Zadanie #3 (zadanie z parametrem)

Przy jakich wartościach parametru jest suma pierwiastków równania kwadratowego

Jeśli pierwiastki tego równania istnieją, to , pytanie brzmi kiedy .

Rozkład trójmianów kwadratowych na czynniki jest jednym z zadań szkolnych, z którymi prędzej czy później każdy musi się zmierzyć. Jak to zrobić? Jaki jest wzór na faktoryzację trójmianu kwadratowego? Przeanalizujmy to krok po kroku z przykładami.

Ogólna formuła

Faktoryzację trójmianów kwadratowych przeprowadza się, rozwiązując równanie kwadratowe. To proste zadanie, które można rozwiązać kilkoma metodami - poprzez znalezienie dyskryminatora, korzystając z twierdzenia Vieta, istnieje również graficzny sposób jego rozwiązania. Pierwsze dwie metody badane są w szkole średniej.

Ogólna formuła wygląda tak:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorytm wykonania zadania

Aby podzielić trójmiany kwadratowe na czynniki, musisz znać twierdzenie Wita, mieć pod ręką program do rozwiązywania, umieć znaleźć rozwiązanie graficznie lub poszukać pierwiastków równania drugiego stopnia za pomocą wzoru dyskryminacyjnego. Jeśli dany jest trójmian kwadratowy i musi być rozłożony na czynniki, algorytm działań wygląda następująco:

1) Zrównaj oryginalne wyrażenie do zera, aby uzyskać równanie.

2) Podaj podobne terminy (jeśli to konieczne).

3) Znajdź korzenie dowolną znaną metodą. Metodę graficzną najlepiej zastosować, jeśli z góry wiadomo, że pierwiastki są liczbami całkowitymi i małymi. Należy pamiętać, że liczba pierwiastków jest równa maksymalnemu stopniowi równania, czyli równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

4) Wartość zastępcza X na wyrażenie (1).

5) Zapisz faktoryzację trójmianów kwadratowych.

Przykłady

Praktyka pozwala w końcu zrozumieć, jak wykonuje się to zadanie. Przykłady ilustrują faktoryzację trójmianu kwadratowego:

musisz rozwinąć wyrażenie:

Skorzystajmy z naszego algorytmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) podobne terminy są skrócone

3) zgodnie ze wzorem Vieta trudno jest znaleźć pierwiastki dla tego przykładu, dlatego lepiej użyć wyrażenia na wyróżnik:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zastąp pierwiastki, które znaleźliśmy w głównym wzorze na ekspansję:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Wtedy odpowiedź będzie brzmiała:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Sprawdźmy, czy rozwiązania znalezione przez dyskryminator odpowiadają formułom Vieta:

14,845 . 2,155=32

Do tych pierwiastków stosuje się twierdzenie Vieta, zostały znalezione poprawnie, co oznacza, że ​​uzyskana przez nas faktoryzacja jest również poprawna.

Podobnie rozwijamy 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

W poprzednim przypadku rozwiązaniami były liczby niecałkowite, ale rzeczywiste, które łatwo znaleźć mając przed sobą kalkulator. Rozważmy teraz bardziej złożony przykład, w którym pierwiastki są złożone: faktoryzacja x 2 + 4x + 9. Zgodnie z formułą Vieta nie można znaleźć korzeni, a wyróżnik jest ujemny. Korzenie będą na płaszczyźnie złożonej.

D=-20

Na tej podstawie otrzymujemy interesujące nas pierwiastki -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 ponieważ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Pożądaną ekspansję uzyskujemy zastępując pierwiastki we wzorze ogólnym.

Inny przykład: musisz rozłożyć wyrażenie na czynniki 23x 2 -14x + 7.

Mamy równanie 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Więc korzenie to 14+21,166i i 14-21,166i. Odpowiedzią będzie:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Podajmy przykład, który można rozwiązać bez pomocy dyskryminatora.

Niech konieczne będzie rozłożenie równania kwadratowego x 2 -32x + 255. Oczywiście można to również rozwiązać za pomocą dyskryminatora, ale w tym przypadku szybciej jest znaleźć korzenie.

x 1 =15

x2=17

Znaczy x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Trójmian kwadratowy jest wielomianem postaci ax^2 + bx + c, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, ponadto a ≠ 0.

Aby podzielić trójmian na czynniki, musisz znać korzenie tego trójmianu. (dalej przykład na trójmianu 5x^2 + 3x- 2)

Uwaga: wartość trójmianu kwadratowego 5x^2 + 3x - 2 zależy od wartości x. Na przykład: Jeśli x = 0, to 5x^2 + 3x - 2 = -2

Jeśli x = 2, to 5x^2 + 3x - 2 = 24

Jeśli x = -1, to 5x^2 + 3x - 2 = 0

Gdy x \u003d -1 znika trójmian kwadratowy 5x ^ 2 + 3x - 2, w tym przypadku wywoływana jest liczba -1 pierwiastek trójmianu kwadratowego.

Jak uzyskać pierwiastek równania

Wyjaśnijmy, w jaki sposób otrzymaliśmy pierwiastek tego równania. Najpierw musisz jasno poznać twierdzenie i wzór, według którego będziemy pracować:

„Jeśli x1 i x2 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego ax^2 + bx + c, to ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).”

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Ta formuła znajdowania pierwiastków wielomianu jest najbardziej prymitywną formułą, dzięki której nigdy się nie pomylisz.

Wyrażenie 5x^2 + 3x - 2.

1. Zrównaj się ze zerem: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego, w tym celu podstawiamy wartości do wzoru (a jest współczynnikiem dla X ^ 2, b jest współczynnikiem dla X, wyrazem swobodnym, czyli a rysunek bez X):

Znajdujemy pierwszy pierwiastek ze znakiem plus przed pierwiastkiem kwadratowym:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Drugi pierwiastek ze znakiem minus przed pierwiastkiem kwadratowym:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Znaleźliśmy więc pierwiastki trójmianu kwadratowego. Aby upewnić się, że są poprawne, możesz sprawdzić: najpierw podstawiamy pierwszy pierwiastek w równaniu, a następnie drugi:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Jeśli po podstawieniu wszystkich pierwiastków równanie znika, to równanie jest rozwiązane poprawnie.

3. Teraz użyjmy wzoru z twierdzenia: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), pamiętajmy, że X1 i X2 są pierwiastkami równania kwadratowego. Czyli: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Aby upewnić się, że rozkład jest prawidłowy, możesz po prostu pomnożyć nawiasy:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Co potwierdza poprawność decyzji.

Druga opcja znajdowania pierwiastków trójmianu kwadratowego

Inną opcją znalezienia pierwiastków trójmianu kwadratowego jest odwrotne twierdzenie twierdzenia Viette'a. Tutaj pierwiastki równania kwadratowego znajdują się we wzorach: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ale ważne jest, aby zrozumieć, że tego twierdzenia można użyć tylko wtedy, gdy współczynnik a \u003d 1, czyli liczba przed x ^ 2 \u003d 1.

Na przykład: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Rozwiązywanie: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Teraz ważne jest, aby zastanowić się, jakie liczby w produkcie dają jednostkę? Oczywiście to 1 * 1 oraz -1 * (-1) . Z tych liczb wybieramy oczywiście te, które odpowiadają wyrażeniu x1 + x2 = 2 - to jest 1 + 1. Więc znaleźliśmy pierwiastki równania: x1 = 1, x2 = 1. Łatwo to sprawdzić, czy podstawiamy x ^ 2 do wyrażenia - 2x + 1 = 0.