Say sistemlərinin əsasları. Həlli ilə ədədlərin müxtəlif say sistemlərinə çevrilməsi Say sisteminin əsasını necə tapmaq olar

Siz 34 kimi tam ədədlər və ya 637.333 kimi kəsr ədədləri daxil edə bilərsiniz. Kəsr ədədlər üçün ondalık nöqtədən sonra tərcümənin düzgünlüyü göstərilir.

Bu kalkulyatorla aşağıdakılar da istifadə olunur:

Rəqəmlərin ifadə üsulları

Ədədlərin bir say sistemindən digərinə çevrilməsi alqoritmi

Nümunə №1.



2-dən 8-dən 16-ya say sisteminin tərcüməsi.
Bu sistemlər ikinin qatıdır, buna görə də tərcümə yazışma cədvəlindən istifadə etməklə həyata keçirilir (aşağıya bax).

Ədədi ikilik say sistemindən səkkizlik (onaltılıq) ədədə çevirmək üçün ikili ədədi vergüldən sağa və sola üç (onaltılıq üçün dörd) rəqəmdən ibarət qruplara bölmək, ekstremal qrupları sıfırlarla tamamlamaq lazımdır. zəruridirsə. Hər bir qrup müvafiq səkkizlik və ya onaltılıq rəqəmlə əvəz olunur.

Nümunə №2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
burada 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Onaltılıq sistemə çevirərkən, eyni qaydalara riayət edərək rəqəmi hər biri dörd rəqəmdən ibarət hissələrə bölmək lazımdır.
Nümunə №3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
burada 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Ədədlərin 2, 8 və 16-dan onluq sistemə çevrilməsi ədədi ayrı-ayrılara bölmək və onun sıra nömrəsinə uyğun olan gücə yüksəldilmiş sistemin əsasına (rəqəm tərcümə edildiyi) vurulmaqla həyata keçirilir. tərcümə edilmiş nömrədə. Bu halda, nömrələr vergülün solunda (birinci nömrədə 0 rəqəmi var) artmaqla nömrələnir və sağ tərəf azalır (yəni mənfi işarə ilə). Alınan nəticələr əlavə olunur.

Nümunə №4.
İkilik say sisteminə keçid nümunəsi.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Səkkizlik say sisteminə keçid nümunəsi. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Onaltılıq say sisteminə keçid nümunəsi. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Bir daha rəqəmləri bir say sistemindən digər PSS-ə çevirmək üçün alqoritmi təkrarlayırıq

1. Onluq say sistemindən:
   • ədədi tərcümə olunan say sisteminin əsasına bölmək;
   • ədədin tam hissəsini böldükdən sonra qalığı tapın;
   • tərs ardıcıllıqla bölmədən bütün qalıqları yazın;
2. İkili sistemdən
   • Onluq say sisteminə çevirmək üçün 2-ci bazanın məhsullarının cəmini müvafiq boşalma dərəcəsi ilə tapmaq lazımdır;
   • Ədədi səkkizliyə çevirmək üçün nömrəni üçlüyə bölmək lazımdır.
     Məsələn, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Ədədi ikilik sistemdən onaltılıq sistemə çevirmək üçün nömrəni 4 rəqəmdən ibarət qruplara bölmək lazımdır.
     Məsələn, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Səkkizlik say sisteminə keçmək üçün cədvəl

Nümunə №2. 100.12 rəqəmini onluqdan səkkizliyə və əksinə çevirin. Uyğunsuzluqların səbəblərini izah edin.
Həll.
Mərhələ 1. .

Bölmənin qalan hissəsi tərs qaydada yazılır. 8-ci say sistemindəki rəqəmi alırıq: 144
100 = 144 8

Ədədin kəsr hissəsini tərcümə etmək üçün kəsr hissəsini ardıcıl olaraq 8-ə vururuq. Nəticədə hər dəfə hasilin tam hissəsini yazırıq.
0,12*8 = 0,96 (bütün hissə 0 )
0,96*8 = 7,68 (bütün hissə 7 )
0,68*8 = 5,44 (bütün hissə 5 )
0,44*8 = 3,52 (bütün hissə 3 )
8-ci say sistemində rəqəmi alırıq: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Mərhələ 2. Ədədin onluqdan səkkizliyə çevrilməsi.
Səkkizlikdən ondalığa tərs çevrilmə.

Tam hissəni tərcümə etmək üçün rəqəmin rəqəmini müvafiq rəqəm dərəcəsinə vurmaq lazımdır.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Kəsr hissəsini tərcümə etmək üçün rəqəmin rəqəmini müvafiq rəqəm dərəcəsinə bölmək lazımdır.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0.0001 (100.12 - 100.1199) fərqi səkkizliyə çevirərkən yuvarlaqlaşdırma xətası ilə bağlıdır. Daha çox rəqəm götürsək (məsələn, 4 yox, 8) bu xətanı azaltmaq olar.

İnformatika kursunda məktəbdən və universitetdən asılı olmayaraq say sistemləri kimi anlayışa xüsusi yer verilir. Bir qayda olaraq, bunun üçün bir neçə dərs və ya praktik məşq ayrılır. Əsas məqsəd təkcə mövzunun əsas anlayışlarını öyrənmək, say sistemlərinin növlərini öyrənmək deyil, həm də ikilik, səkkizlik və onaltılıq hesabla tanış olmaqdır.

Bunun mənası nədi?

Əsas anlayışın tərifindən başlayaq. “İnformatika” dərsliyində qeyd edildiyi kimi, say sistemi xüsusi əlifbadan və ya müəyyən ədədlər toplusundan istifadə edən ədədlərin qeydidir.

Rəqəmin qiymətinin ədəddəki mövqeyindən dəyişib-dəyişməməsindən asılı olaraq ikisi fərqlənir: mövqeli və qeyri-mövqeli say sistemləri.

Mövqe sistemlərində rəqəmin qiyməti onun nömrədəki mövqeyi ilə dəyişir. Deməli, 234 rəqəmini götürsək, onda içindəki 4 rəqəmi vahidlər deməkdir, amma 243 rəqəmini nəzərə alsaq, burada artıq vahidlər deyil, onluqlar demək olacaq.

Qeyri-mövqeli sistemlərdə rəqəmin qiyməti rəqəmdəki mövqeyindən asılı olmayaraq statikdir. Ən çox əsas nümunəsidir- hər bir vahidin tire ilə göstərildiyi çubuq sistemi. Çubuğu hara təyin etməyinizdən asılı olmayaraq, nömrənin dəyəri yalnız bir dəyişəcək.

Mövqeyi olmayan sistemlər

Mövqeyi olmayan say sistemlərinə aşağıdakılar daxildir:

1. İlklərdən biri hesab edilən vahid sistem. Rəqəmlər əvəzinə çubuqlardan istifadə edirdi. Nə qədər çox olsa, nömrənin dəyəri bir o qədər böyük idi. Söhbət dənizdə itən insanlardan, hər gün daş və ya ağacın üzərindəki çentiklərin köməyi ilə işarələnən məhbuslardan bəhs etdiyimiz filmlərdə bu şəkildə yazılmış rəqəmlərə rast gəlmək olar.
2. Rəqəmlərin yerinə latın hərflərinin istifadə edildiyi Roman. Onlardan istifadə edərək istənilən nömrəni yaza bilərsiniz. Eyni zamanda, onun dəyəri ədədi təşkil edən rəqəmlərin cəmi və fərqindən istifadə etməklə müəyyən edilmişdir. Rəqəmin solunda daha kiçik bir rəqəm varsa, onda sol rəqəm sağdan çıxılır və sağdakı rəqəm soldakı rəqəmdən kiçik və ya ona bərabərdirsə, onların dəyərləri cəmlənir. yuxarı. Məsələn, 11 rəqəmi XI, 9 isə IX kimi yazılmışdır.
3. Müəyyən bir dilin əlifbasından istifadə edərək nömrələrin işarələndiyi hərflər. Onlardan biri, bir sıra hərflərin təkcə fonetik deyil, həm də ədədi dəyəri olan slavyan sistemidir.
4. qeyd üçün yalnız iki təyinat istifadə edilmişdir - pazlar və oxlar.
5. Misirdə də rəqəmləri bildirmək üçün xüsusi işarələrdən istifadə olunurdu. Rəqəm yazarkən hər simvoldan doqquz dəfədən çox istifadə edilə bilməz.

Mövqe sistemləri

Kompüter elmində mövqe say sistemlərinə çox diqqət yetirilir. Bunlara aşağıdakılar daxildir:

• ikili;
• səkkizlik;
• ondalık;
• onaltılıq;
• sexagesimal, vaxtı hesablayarkən istifadə olunur (məsələn, dəqiqədə - 60 saniyə, bir saatda - 60 dəqiqə).

Onların hər birinin yazı, tərcümə qaydaları və hesab əməliyyatları üçün öz əlifbası var.

Onluq sistem

Bu sistem bizə ən tanışdır. Rəqəmləri yazmaq üçün 0-dan 9-a qədər rəqəmlərdən istifadə edir. Onlara ərəb də deyilir. Rəqəmin rəqəmdəki yerindən asılı olaraq, müxtəlif rəqəmləri - vahidləri, onlarla, yüzlərlə, minlərlə və ya milyonları ifadə edə bilər. Biz ondan hər yerdə istifadə edirik, ədədlər üzərində hesab əməliyyatlarının yerinə yetirildiyi əsas qaydaları bilirik.

Binar sistem

Kompüter elmində əsas say sistemlərindən biri ikili sistemdir. Onun sadəliyi kompüterə çətin hesablamaları onluq sistemlə müqayisədə bir neçə dəfə tez yerinə yetirməyə imkan verir.

Rəqəmləri yazmaq üçün yalnız iki rəqəmdən istifadə olunur - 0 və 1. Eyni zamanda, nömrədə 0 və ya 1-in mövqeyindən asılı olaraq, onun dəyəri dəyişəcək.

Əvvəlcə kompüterlərin köməyi ilə hamısını aldılar zəruri məlumatlar. Eyni zamanda, biri gərginlikdən istifadə edərək ötürülən bir siqnalın mövcudluğunu, sıfır isə onun yoxluğunu nəzərdə tuturdu.

Səkkizlik sistem

0-dan 7-yə qədər rəqəmlərin istifadə olunduğu başqa bir məşhur kompüter say sistemi.O, əsasən rəqəmsal qurğularla əlaqəli olan bilik sahələrində istifadə edilmişdir. Lakin son vaxtlar ondan daha az istifadə olunur, çünki o, onaltılıq say sistemi ilə əvəz edilmişdir.

Binar Ondalıq

Bir şəxs üçün ikili sistemdə böyük rəqəmləri təmsil etmək olduqca mürəkkəb bir prosesdir. Onu sadələşdirmək üçün hazırlanmışdır.Adətən elektron saatlarda, kalkulyatorlarda istifadə olunur. Bu sistemdə bütün ədəd onluq sistemdən ikiliyə çevrilmir, lakin hər bir rəqəm ikilik sistemdə müvafiq sıfırlar və birlər dəstinə çevrilir. Eyni şey ikilik sistemdən ondalığa çevrilməyə də aiddir. Sıfırların və birlərin dörd rəqəmli dəsti kimi təmsil olunan hər bir rəqəm onluq say sistemində rəqəmə çevrilir. Prinsipcə, mürəkkəb bir şey yoxdur.

Rəqəmlərlə işləmək üçün bu vəziyyətdə nömrələr və onların ikili kodu arasındakı yazışmaları göstərən say sistemləri cədvəli faydalıdır.

Onaltılıq sistem

Son zamanlar onaltılıq say sistemi proqramlaşdırma və kompüter elmində getdikcə populyarlaşır. Bu, təkcə 0-dan 9-a qədər olan rəqəmlərdən deyil, həm də bir sıra Latın hərflərindən - A, B, C, D, E, F-dən istifadə edir.

Eyni zamanda hərflərin hər birinin öz mənası var, ona görə də A=10, B=11, C=12 və s. Hər bir nömrə dörd simvol dəsti kimi təmsil olunur: 001F.

Nömrələrin çevrilməsi: onluqdan ikiliyə

Say sistemlərində tərcümə müəyyən qaydalara əsasən baş verir. Ən çox görülən çevrilmə ikilikdən onluğa və əksinədir.

Ədədi onluqdan ikiliyə çevirmək üçün onu ardıcıl olaraq say sisteminin əsasına, yəni iki rəqəminə bölmək lazımdır. Bu halda, hər bir bölmənin qalan hissəsi sabitlənməlidir. Bölmənin qalan hissəsi birdən az və ya bərabər olana qədər bu davam edəcək. Hesablamaları bir sütunda aparmaq yaxşıdır. Sonra yaranan bölmə qalıqları tərs qaydada sətirə yazılır.

Məsələn, 9 rəqəmini ikiliyə çevirək:

9-u bölürük, ədəd bərabər bölünmədiyi üçün 8 rəqəmini alırıq, qalan 9 - 1 = 1 olacaq.

8-i 2-yə böldükdən sonra 4-ü alırıq. Yenidən bölürük, çünki ədəd ikiyə bölünür - qalanda 4 - 4 = 0 alırıq.

Eyni əməliyyatı 2 ilə həyata keçiririk. Qalan 0-dır.

Bölmə nəticəsində biz 1 alırıq.

Son say sistemindən asılı olmayaraq, ədədlərin onluqdan hər hansı digərinə köçürülməsi ədədin mövqe sisteminin əsasına bölünməsi prinsipinə uyğun olaraq baş verəcəkdir.

Nömrələrin çevrilməsi: ikilikdən onluqa

Ədədləri ikilik sistemdən ondalığa çevirmək olduqca asandır. Bunun üçün rəqəmləri bir gücə yüksəltmək qaydalarını bilmək kifayətdir. Bu vəziyyətdə, iki gücə.

Tərcümə alqoritmi belədir: ikili nömrə kodunun hər bir rəqəmi ikiyə vurulmalıdır və ilk ikisi m-1, ikincisi - m-2 və s., burada m rəqəmdir koddakı rəqəmlərin. Sonra tam ədəd əldə edərək əlavənin nəticələrini əlavə edin.

Məktəblilər üçün bu alqoritmi daha sadə izah etmək olar:

Başlamaq üçün hər bir rəqəmi ikiyə vurub yazırıq, sonra sıfırdan başlayaraq ikinin gücünü sonundan aşağıya qoyuruq. Sonra alınan rəqəmi əlavə edin.

Məsələn, əvvəllər əldə edilmiş 1001 rəqəmini onluq sistemə çevirərək sizinlə təhlil edək və eyni zamanda hesablamalarımızın düzgünlüyünü yoxlayaq.

Bu belə görünəcək:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Bu mövzunu öyrənərkən iki gücü olan bir cədvəldən istifadə etmək rahatdır. Bu, hesablamalar üçün tələb olunan vaxtı əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaqdır.

Digər tərcümə variantları

Bəzi hallarda tərcümə ikili və səkkizlik, ikili və onaltılıq sistemlər arasında həyata keçirilə bilər. Bu halda, görünüş sekmesinde "Proqramçı" seçimini seçməklə xüsusi cədvəllərdən istifadə edə və ya kompüterinizdə kalkulyator proqramını işə sala bilərsiniz.

Arifmetik əməliyyatlar

Nömrənin hansı formada göstərilməsindən asılı olmayaraq, onunla bizə tanış olan hesablamaları aparmaq mümkündür. Bu, seçdiyiniz say sistemində bölmə və vurma, çıxma və toplama ola bilər. Təbii ki, onların hər birinin öz qaydaları var.

Beləliklə, ikili sistem üçün əməliyyatların hər biri üçün öz cədvəlləri hazırlanmışdır. Eyni cədvəllər digər mövqe sistemlərində istifadə olunur.

Onları əzbərləmək lazım deyil - sadəcə çap edin və əlinizdə olsun. Siz həmçinin kompüterinizdə kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Kompüter elmində ən vacib mövzulardan biri say sistemidir. Bu mövzunu bilmək, ədədləri bir sistemdən digər sistemə çevirmək üçün alqoritmləri başa düşmək alqoritmləşdirmə və proqramlaşdırma kimi daha mürəkkəb mövzuları başa düşməyinizə və ilk proqramınızı təkbaşına yaza biləcəyinizə zəmanətdir.

Problemləri həll etməyə başlamazdan əvvəl bir neçə sadə məqamı başa düşməliyik.

875 onluq rəqəmini nəzərdən keçirək. (5) rəqəminin sonuncu rəqəmi 875 rəqəminin 10-a bölünməsindən qalıqdır. Son iki rəqəm 75 rəqəmini təşkil edir - bu, 875 rəqəminin 100-ə bölməsinin qalığıdır. Oxşar ifadələr istənilən say sistemi üçün doğrudur:

Ədədin son rəqəmi həmin ədədi say sisteminin əsasına böldükdən sonra qalan rəqəmdir.

Ədədin son iki rəqəmi ədədin kvadrat say sisteminin əsasına bölünməsindən qalan hissədir.

Misal üçün, . 23-ü 3-cü sistemin əsasına bölürük, qalanda 7 və 2 alırıq (2 üçlü sistemdə ədədin son rəqəmidir). 23-ü 9-a bölün (əsas kvadrat), qalanda 18 və 5 alırıq (5 = ).

Adi onluq sistemə qayıdaq. Sayı = 100000. k-nin gücünə 10 bir və k sıfırdır.

Bənzər bir ifadə istənilən say sistemi üçün doğrudur:

Bu say sistemində k-nin gücünə say sisteminin əsası vahid və k sıfır kimi yazılır.

Misal üçün, .

1. Say sisteminin əsasını axtarın

Misal 1

Bəzi əsaslı say sistemində 27 onluq ədədi 30 kimi yazılır. Bu bazanı göstərin.

Həll:

Tələb olunan x əsasını qeyd edin. Sonra .e. x=9.

Misal 2

Bəzi əsaslı say sistemində 13 onluq ədədi 111 kimi yazılır. Bu bazanı göstərin.

Həll:

Tələb olunan x əsasını qeyd edin. Sonra

Kvadrat tənliyi həll edirik, 3 və -4 köklərini alırıq. Say sisteminin əsası mənfi ola bilmədiyi üçün cavab 3-dür.

Cavab: 3

Misal 3

29 rəqəminin girişinin 5 ilə bitdiyi say sistemlərinin bütün əsaslarını artan qaydada vergüllə ayıraraq göstərin.

Həll:

Əgər bəzi sistemlərdə 29 rəqəmi 5-lə bitirsə, 5-ə endirilən ədəd (29-5 = 24) 0-da bitir. Artıq dedik ki, sistemin əsasına qalıqsız bölünən zaman 0-la bitir. . Bunlar. 24 ədədinin bölənləri olan bütün belə ədədləri tapmalıyıq. Bu ədədlər bunlardır: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Qeyd edək ki, 2, 3, 4 bazası olan say sistemlərində ədəd yoxdur. 5 (və formalaşdırma məsələsində 29 rəqəmi 5 ilə bitir), buna görə də əsasları olan sistemlər var: 6, 8, 12,

Cavab: 6, 8, 12, 24

Misal 4

71 rəqəminin girişinin 13 ilə bitdiyi say sistemlərinin bütün əsaslarını artan qaydada vergüllə ayıraraq göstərin.

Həll:

Əgər bəzi sistemlərdə rəqəm 13-lə bitirsə, bu sistemin əsası ən azı 4-dür (əks halda 3 rəqəmi yoxdur).

3-ə endirilmiş ədəd (71-3=68) 10 ilə bitir. Yəni, 68 sistemin tələb olunan bazasına tam bölünür və bunun bölməsi sistemin əsasına bölündükdə 0 qalığını verir.

68 ədədinin bütün tam bölənlərini yazaq: 2, 4, 17, 34, 68.

2 uyğun deyil, çünki əsas 4-dən az deyil. Qalan bölücüləri yoxlayın:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (istirahət 1) - uyğundur

68:17 = 4; 4:17 = 0 (istirahət 4) - uyğun deyil

68:34 = 2; 2:17 = 0 (istirahət 2) - uyğun deyil

68:68 = 1; 1:68 = 0 (qalan 1) - uyğundur

Cavab: 4, 68

2. Şərtlərə görə nömrələri axtarın

Misal 5

Əsas dörd say sistemində qeydi 11 ilə bitən bütün onluq ədədləri 25-dən çox olmayan, vergüllə ayrılaraq artan qaydada göstərin?

Həll:

Əvvəlcə 25 rəqəminin 4 bazası olan say sistemində necə göründüyünü öyrənək.

Bunlar. -dən böyük olmayan bütün nömrələri tapmalıyıq ki, onların yazısı 11 ilə bitir. Əsası 4 olan sistemdə ardıcıl sayma qaydası ilə,
və nömrələri alırıq. Onları onluq say sisteminə tərcümə edirik:

Cavab: 5, 21

3. Tənliklərin həlli

Misal 6

Tənliyi həll edin:

Cavabı üçlü sistemlə yazın (cavabda say sisteminin əsasını yazmaq lazım deyil).

Həll:

Bütün ədədləri onluq say sisteminə çevirək:

Kvadrat tənliyin kökləri -8 və 6. (çünki sistemin əsası mənfi ola bilməz). .

Cavab: 20

4. İfadənin qiymətinin ikilik qeydində birlərin (sıfırların) sayının hesablanması

Bu tip problemi həll etmək üçün "sütundakı" toplama və çıxarmanın necə işlədiyini xatırlamalıyıq:

Əlavə edərkən, ən az əhəmiyyətli rəqəmlərdən başlayaraq, biri digərinin altına yazılan rəqəmlərin bit üzrə cəmi baş verir. Nəticədə iki rəqəmin cəmi say sisteminin bazasından böyük və ya ona bərabər olarsa, bu məbləğin sistemin əsasına bölünməsinin qalığı cəmlənmiş rəqəmlərin altına, bu məbləğin bazaya bölünməsinin tam hissəsi yazılır. sistemin rəqəmi aşağıdakı rəqəmlərin cəminə əlavə olunur.

Çıxarma zamanı ən az əhəmiyyətli rəqəmlərdən başlayaraq biri digərinin altına yazılan rəqəmlərin bit-bit çıxması baş verir. Birinci rəqəm ikincidən azdırsa, qonşu (daha böyük) rəqəmdən birini “borc alırıq”. Cari rəqəmdə tutan vahid say sisteminin əsasına bərabərdir. Onluq sistemdə 10, ikilik sistemdə 2, üçlükdə 3 və s.

Misal 7

İfadənin qiymətinin ikilik qeydində neçə vahid var: ?

Həll:

İfadənin bütün nömrələrini ikinin dərəcələri kimi təqdim edək:

Binar notasiyada n-nin gücünə iki, 1-dən sonra n sıfıra bənzəyir. Sonra və cəmlənərək, 2 vahiddən ibarət bir ədəd alırıq:

İndi çıxan ədəddən 10000 çıxın.Çıxılma qaydalarına əsasən növbəti rəqəmdən borc alırıq.

İndi alınan rəqəmə 1 əlavə edin:

Nəticənin 2013+1+1=2015 vahid olduğunu görürük.

Məşq 1. Onluq say sistemində 24 16 rəqəminə hansı ədəd uyğun gəlir?

Həll.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Cavab verin. 24 16 = 36 10

Tapşırıq 2. Məlumdur ki, X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Onluq qeydlərdə X rəqəmi nədir?

Həll.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Ədədi tapın: X = 6 + 4 + 5 = 15

Cavab verin. X = 15 10

Tapşırıq 3. 10 2 + 45 8 + 10 16 cəminin qiymətini onluq qeyddə hesablayın.

Həll.

Hər bir termini onluq say sisteminə çevirək:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Cəmi: 2 + 37 + 16 = 55

İkilik say sisteminə çevirmək

Məşq 1.İkilik say sistemində 37 rəqəmi nədir?

Həll.

2-yə bölmək və qalanları tərs ardıcıllıqla birləşdirməklə çevirə bilərsiniz.

Başqa bir yol, hesablanmış nəticəsi verilmiş ədəddən az olan ən yüksəkdən başlayaraq ədədi ikinin səlahiyyətlərinin cəminə genişləndirməkdir. Konvertasiya edərkən nömrənin çatışmayan səlahiyyətləri sıfırlarla əvəz edilməlidir:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Cavab verin. 37 10 = 100101 2 .

Tapşırıq 2. 73 onluq ədədinin ikilik təsvirində neçə əhəmiyyətli sıfır var?

Həll.

73 rəqəmini ən yüksəkdən başlayaraq çatışmayan qüvvələri sıfıra, mövcud olanları isə birinə vuraraq ikinin səlahiyyətlərinin cəminə bölürük:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Cavab verin. Onluq sayı 73 üçün ikilik qeyddə dörd əhəmiyyətli sıfır var.

Tapşırıq 3. x = D2 16 , y = 37 8 üçün x və y cəmini hesablayın. Nəticəni ikilik say sistemində təqdim edin.

Həll.

Xatırladaq ki, onaltılıq ədədin hər rəqəmi dörd ikilik rəqəmdən, səkkizlik ədədin hər rəqəmi üçdən ibarətdir:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Nömrələri əlavə edək:

11010010 11111 -------- 11110001

Cavab verin.İkilik sistemdə təmsil olunan D2 16 və y = 37 8 ədədlərinin cəmi 11110001-dir.

Tapşırıq 4. Verildi: a= D7 16, b= 331 8 . Rəqəmlərdən hansı c, binar notation ilə yazılmış, şərti ödəyir a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Həll.

Rəqəmləri ikilik say sisteminə çevirək:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Bütün nömrələr üçün ilk dörd rəqəm eynidir (1101). Buna görə də, müqayisə ən az əhəmiyyətli dörd rəqəmin müqayisəsi üçün sadələşdirilir.

Siyahıdakı ilk nömrə nömrədir b, buna görə də uyğun gəlmir.

İkinci rəqəm daha böyükdür b. Üçüncü nömrədir a.

Yalnız dördüncü nömrə uyğun gəlir: 0111< 1000 < 1001.

Cavab verin. Dördüncü variant (11011000) şərtə cavab verir a< c < b .

Müxtəlif say sistemlərində qiymətlərin müəyyən edilməsi üçün tapşırıqlar və onların əsasları

Məşq 1.@, $, &, % simvolları ikirəqəmli ardıcıl ikilik ədədlərlə kodlanır. Birinci simvol 00 rəqəminə uyğundur. Bu simvollardan istifadə edərək aşağıdakı ardıcıllıq kodlaşdırıldı: $% [email protected]$. Bu ardıcıllığı deşifrə edin və nəticəni onaltılığa çevirin.

Həll.

1. İkili ədədləri onların kodlaşdırdıqları simvollarla müqayisə edək:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. İkili ədədi onaltılıq say sisteminə çevirək:
0111 1010 0001 = 7A1

Cavab verin. 7A1 16.

Tapşırıq 2. Bağda 100 x meyvə ağacı var, onlardan 33 x alma, 22 x armud, 16 x gavalı, 17 x gilasdır. Say sisteminin (x) əsası nədir.

Həll.

1. Qeyd edək ki, bütün şərtlər ikirəqəmli ədəddir. İstənilən say sistemində onları aşağıdakı kimi göstərmək olar:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, burada a və b ədədin müvafiq rəqəmlərinin rəqəmləridir.
Üç rəqəmli nömrə üçün bu belə olacaq:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Problemin şərti aşağıdakı kimidir:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Düsturlardakı rəqəmləri əvəz edin:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Kvadrat tənliyi həll edin:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D-nin kvadrat kökü 11-dir.
Kvadrat tənliyin kökləri:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 və ya x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Mənfi ədəd say sisteminin əsası ola bilməz. Beləliklə, x yalnız 9-a bərabər ola bilər.

Cavab verin. Say sisteminin istənilən bazası 9-dur.

Tapşırıq 3. Bəzi əsaslı say sistemində 12 onluq ədədi 110 kimi yazılır. Bu bazanı tapın.

Həll.

Əvvəlcə, onluq say sistemində qiyməti tapmaq üçün mövqe say sistemlərində ədədlərin yazılması düsturu vasitəsilə 110 rəqəmini yazaq, sonra isə kobud qüvvə ilə əsasını tapaq.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

12 almalıyıq. 2 cəhd edirik: 2 2 + 2 = 6. 3 cəhd edirik: 3 2 + 3 = 12.

Beləliklə, say sisteminin əsası 3-dür.

Cavab verin. Say sisteminin istənilən bazası 3-dür.

Tapşırıq 4. 173 onluq ədədi hansı say sistemində 445 kimi göstərilməlidir?

Həll.
Naməlum bazanı X ilə işarə edirik. Aşağıdakı tənliyi yazırıq:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Sıfır gücünə hər hansı müsbət ədədin 1-ə bərabər olduğunu nəzərə alaraq tənliyi yenidən yazırıq (10 əsasını göstərməyəcəyik).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Əlbəttə ki, belə bir kvadrat tənliyi diskriminantdan istifadə etməklə həll etmək olar, lakin daha sadə bir həll var. Sağ və sol hissələrdən 4-ə qədər çıxırıq
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 və ya 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Buradan 2 * X + 1 \u003d 13 alırıq (mənfi kökü atırıq). Və ya X = 6.
Cavab: 173 10 = 445 6

Say sistemlərinin bir neçə əsasını tapmaq üçün tapşırıqlar

Verilmiş ədədin təsvirinin verilmiş rəqəmlə bitdiyi say sistemlərinin bütün əsaslarını sadalamaq (artan və ya azalan qaydada) tələb olunan tapşırıqlar qrupu var. Bu vəzifə olduqca sadə şəkildə həll olunur. Əvvəlcə verilmiş rəqəmi orijinal nömrədən çıxarmaq lazımdır. Alınan ədəd say sisteminin birinci bazası olacaqdır. Və bütün digər əsaslar yalnız bu ədədin bölənləri ola bilər. (Bu müddəa ədədlərin bir say sistemindən digərinə çevrilməsi qaydası əsasında sübut edilmişdir - 4-cü bəndə bax). Sadəcə bunu xatırla say sisteminin əsası verilmiş rəqəmdən kiçik ola bilməz!

Misal
24 rəqəminin girişinin 3 ilə bitdiyi say sistemlərinin bütün əsaslarını artan qaydada vergüllə ayıraraq göstərin.

Həll
24 - 3 \u003d 21 ilk bazadır (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 3-ə və 7-yə bölünür. 3 rəqəmi uyğun deyil, çünki Əsas 3 say sistemində 3 yoxdur.
Cavab: 7, 21