ტრინომის დაშლა ფაქტორებად ერთი ფესვით. როგორ გავამრავლოთ კვადრატული ტრინომი: ფორმულა. ფაქტორინგის მეთოდები

Კლასი: 9

გაკვეთილის ტიპი:გაკვეთილი ცოდნის კონსოლიდაციისა და სისტემატიზაციის შესახებ.

გაკვეთილის ტიპი:ცოდნისა და მოქმედების მეთოდების შემოწმება, შეფასება და კორექტირება.

მიზნები:

აღჭურვილობა:დიდაქტიკური მასალა ზეპირი მუშაობისთვის, დამოუკიდებელი სამუშაო, ტესტის დავალებები ცოდნის შესამოწმებლად, ბარათები საშინაო დავალებით, ალგებრის სახელმძღვანელო იუ.ნ. მაკარიჩევი.

Გაკვეთილის გეგმა.

გაკვეთილების დროს

I. ცოდნის განახლების ეტაპი. საგანმანათლებლო პრობლემის მოტივაცია.

ორგანიზების დრო.

დღეს გაკვეთილზე განვაზოგადებთ და მოვახდენთ ცოდნის სისტემატიზაციას თემაზე: „კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია“. სხვადასხვა სავარჯიშოების შესრულებისას, თქვენ თვითონ უნდა გაითვალისწინოთ ის პუნქტები, რომლებსაც უნდა დაუთმოთ Განსაკუთრებული ყურადღებაგანტოლებისა და პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნისას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გამოცდისთვის მომზადებისას.
ჩამოწერეთ გაკვეთილის თემა: „კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. მაგალითების ამოხსნა.

II. გაკვეთილის ძირითადი შინაარსიკვადრატული ტრინომის ფაქტორებად გაყვანის ფორმულის შესახებ მოსწავლეთა იდეების ჩამოყალიბება და კონსოლიდაცია.

ზეპირი სამუშაო.

– კვადრატული ტრინომის წარმატებულად ფაქტორიზაციისთვის, უნდა დაიმახსოვროთ როგორც დისკრიმინანტის პოვნის ფორმულები, ასევე კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულები, კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა და მათი პრაქტიკაში გამოყენება.

1. შეხედეთ ბარათებს „გააგრძელე ან დაასრულე განცხადება“.

2. შეხედეთ დაფას.

1. შემოთავაზებული მრავალწევრებიდან რომელი არ არის კვადრატი?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

განსაზღვრეთ კვადრატული ტრინომი. განსაზღვრეთ კვადრატული ტრინომის ფესვი.

2. ფორმულებიდან რომელი არ არის კვადრატული განტოლების ფესვების გამოსათვლელი ფორმულა?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – ბ+ ;
3) X 1,2 = .

3. იპოვეთ კვადრატული ტრინომის a, b, c კოეფიციენტები - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. ფორმულებიდან რომელია კვადრატული განტოლების ფესვების გამოსათვლელი ფორმულა

x2 + px + q= 0 ვიეტას თეორემით?

1) x 1 + x 2 =p,
xერთი · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –პ ,
xერთი · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –პ ,
xერთი · x 2 = – q .

5. გააფართოვეთ კვადრატული ტრინომიალი X 2 – 11x + 18 მულტიპლიკატორებისთვის.

პასუხი: ( X – 2)(X – 9)

6. გააფართოვეთ კვადრატული ტრინომი ზე 2 – 9y + 20 მულტიპლიკატორებისთვის

პასუხი: ( X – 4)(X – 5)

III. უნარებისა და შესაძლებლობების ფორმირება. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

1. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია:
ა) 3 x 2 – 8x + 2;
ბ) 6 x 2 – 5x + 1;
3-ში x 2 + 5x – 2;
დ) -5 x 2 + 6x – 1.

2. წილადების შემცირებისას ფაქტორინგი გვეხმარება.

3. ფესვის ფორმულის გამოყენების გარეშე იპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები:
ა) x 2 + 3x + 2 = 0;
ბ) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. შექმენით კვადრატული ტრინომი, რომლის ფესვები რიცხვებია:
ა) x 1 = 4; x 2 = 2;
ბ) x 1 = 3; x 2 = -6;

დამოუკიდებელი მუშაობა.

დამოუკიდებლად დაასრულეთ დავალება ვარიანტების მიხედვით, რასაც მოჰყვება გადამოწმება. პირველ ორ ამოცანას უნდა უპასუხოთ "დიახ" ან "არა". თითოეული ვარიანტიდან თითო მოსწავლეს ეძახიან (ისინი მუშაობენ დაფის ბორბლებზე). დაფაზე დამოუკიდებელი მუშაობის შემდეგ, ტარდება ხსნარის ერთობლივი შემოწმება. მოსწავლეები აფასებენ თავიანთ ნამუშევრებს.

1 ვარიანტი:

1.დ<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. რიცხვი 2 არის x 2 + 3x - 10 = 0 განტოლების ფესვი.

3. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია 6 ფაქტორებად x 2 – 5x + 1;

მე-2 ვარიანტი:

1.D>0. განტოლებას აქვს 2 ფესვი.

2. რიცხვი 3 არის კვადრატული განტოლების ფესვი x 2 - x - 12 = 0.

3. დაშალე კვადრატული ტრინომი 2 ფაქტორებად X 2 – 5x + 3

IV. ცოდნის ათვისების შემოწმება. ანარეკლი.

– გაკვეთილმა აჩვენა, რომ თქვენ იცით ამ თემის ძირითადი თეორიული მასალა. ჩვენ შევაჯამეთ ცოდნა

კვადრატული ტრინომიალიფორმის მრავალწევრი ეწოდება ax2+bx +გ, სად x- ცვლადი, ა,ბ,გარის რამდენიმე რიცხვი და a ≠ 0.

კოეფიციენტი ადაურეკა უფროსი კოეფიციენტი, გ – თავისუფალი წევრიკვადრატული ტრინომიალი.

კვადრატული ტრინომების მაგალითები:

2 x 2 + 5x + 4(აქ ა = 2, ბ = 5, გ = 4)

x 2 - 7x + 5(აქ ა = 1, ბ = -7, გ = 5)

9x 2 + 9x - 9(აქ ა = 9, ბ = 9, გ = -9)

კოეფიციენტი ბან კოეფიციენტი გან ორივე კოეფიციენტი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი ერთდროულად. Მაგალითად:

5 x 2 + 3x(აქa = 5b = 3c = 0, ამიტომ c-ის მნიშვნელობა არ არის განტოლებაში).

6 x 2 - 8 (აქa=6, b=0, c=-8)

2x2(აქa=2, b=0, c=0)

ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ქრება მრავალწევრი, ეწოდება მრავალწევრი ფესვი.

იპოვონ კვადრატული ტრინომის ფესვებიax2+ bx + გ, უნდა გავატოლოთ ის ნულთან -
ანუ ამოხსენით კვადრატული განტოლებაax2+ bx + c= 0 (იხ. განყოფილება „კვადრატული განტოლება“).

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია

მაგალითი:

ჩვენ ვაქცევთ ტრინომი 2-ის ფაქტორიზირებას x 2 + 7x - 4.

ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს ა = 2.

ახლა ვიპოვოთ ტრინომის ფესვები. ამისათვის ჩვენ ვატოლებთ მას ნულს და ვხსნით განტოლებას

2x 2 + 7x - 4 = 0.

როგორ იხსნება ასეთი განტოლება - იხილეთ განყოფილება „კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები. დისკრიმინანტი“. აქ ჩვენ დაუყოვნებლივ ვასახელებთ გამოთვლების შედეგს. ჩვენს ტრინომს ორი ფესვი აქვს:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

მოდით ჩავანაცვლოთ ფესვების მნიშვნელობები ჩვენს ფორმულაში, ფრჩხილებიდან ამოვიღოთ კოეფიციენტის მნიშვნელობა ადა მივიღებთ:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

მიღებული შედეგი შეიძლება განსხვავებულად ჩაიწეროს 2 კოეფიციენტის ბინომზე გამრავლებით x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

პრობლემა მოგვარებულია: ტრინომი იშლება ფაქტორებად.

ასეთი დაშლა შეიძლება მივიღოთ ფესვებით ნებისმიერი კვადრატული ტრინომისთვის.

ყურადღება!

თუ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ ამ ტრინომს აქვს ერთი ფესვი, მაგრამ ტრინომის დაშლისას ეს ფესვი მიიღება როგორც ორი ფესვის მნიშვნელობა - ანუ, როგორც იგივე მნიშვნელობა. x 1 დაx 2 .

მაგალითად, ტრინომს აქვს ერთი ფესვი 3-ის ტოლი. შემდეგ x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად. ამისთვის საჭიროა ვიეტას თეორემა და მისი შებრუნებული გავიხსენოთ. ეს უნარი დაგვეხმარება სწრაფად და მოხერხებულად დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად და ასევე გავამარტივოთ გამოსახულებებისაგან შემდგარი წილადების შემცირება.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ კვადრატულ განტოლებას, სადაც.

რასაც მარცხენა მხარეს გვაქვს კვადრატული ტრინომი ეწოდება.

თეორემა მართალია:თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ იდენტურობა მართალია

სად არის წამყვანი კოეფიციენტი, არის განტოლების ფესვები.

ასე რომ, გვაქვს კვადრატული განტოლება - კვადრატული ტრინომი, სადაც კვადრატული განტოლების ფესვებს ასევე უწოდებენ კვადრატული ტრინომის ფესვებს. მაშასადამე, თუ გვაქვს კვადრატული ტრინომის ფესვები, მაშინ ეს ტრინომი იშლება წრფივ ფაქტორებად.

მტკიცებულება:

ამ ფაქტის დადასტურება ხორციელდება ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რომელიც განვიხილეთ წინა გაკვეთილებში.

გავიხსენოთ რას გვეუბნება ვიეტას თეორემა:

თუ არის კვადრატული ტრინომის ფესვები, რომლისთვისაც , მაშინ .

ეს თეორემა გულისხმობს შემდეგ მტკიცებას, რომ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ვიეტას თეორემის მიხედვით, ანუ ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ზემოთ მოცემულ ფორმულაში, მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს.

ქ.ე.დ.

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა, რომ თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ დაშლა მართებულია.

ახლა გავიხსენოთ კვადრატული განტოლების მაგალითი, რომლის ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით შევარჩიეთ. ამ ფაქტიდან ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ტოლობა დადასტურებული თეორემის წყალობით:

ახლა მოდით შევამოწმოთ ამ ფაქტის სისწორე უბრალოდ ფრჩხილების გაფართოებით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ჩვენ სწორად გავაფართოვეთ და ნებისმიერი ტრინომი, თუ მას აქვს ფესვები, შეიძლება ამ თეორემის მიხედვით გადანაწილდეს წრფივ ფაქტორებად ფორმულის მიხედვით

თუმცა, მოდით შევამოწმოთ, შესაძლებელია თუ არა რომელიმე განტოლებისთვის ასეთი ფაქტორიზაცია:

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. ჯერ შევამოწმოთ დისკრიმინანტის ნიშანი

და გვახსოვს, რომ ნასწავლი თეორემის შესასრულებლად D უნდა იყოს 0-ზე მეტი, შესაბამისად, ამ შემთხვევაში შესწავლილი თეორემის მიხედვით ფაქტორინგი შეუძლებელია.

ამიტომ, ჩვენ ვაყალიბებთ ახალ თეორემას: თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ ის არ შეიძლება დაიშალოს წრფივ ფაქტორებად.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ვიეტას თეორემა, კვადრატული ტრინომის წრფივ ფაქტორებად დაშლის შესაძლებლობა და ახლა მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას.

დავალება #1

ამ ჯგუფში ჩვენ რეალურად მოვაგვარებთ პრობლემას დასმულის საპირისპიროდ. ჩვენ გვქონდა განტოლება და ვიპოვეთ მისი ფესვები, ფაქტორებად დაშლა. აქ ჩვენ პირიქით მოვიქცევით. ვთქვათ, გვაქვს კვადრატული განტოლების ფესვები

შებრუნებული პრობლემა ასეთია: დაწერეთ კვადრატული განტოლება ისე, რომ იყო მისი ფესვები.

ამ პრობლემის მოგვარების 2 გზა არსებობს.

ვინაიდან არის განტოლების ფესვები, მაშინ არის კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებზე მოცემულია რიცხვები. ახლა გავხსნათ ფრჩხილები და შევამოწმოთ:

ეს იყო პირველი გზა ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება მოცემული ფესვებით, რომელსაც სხვა ფესვები არ აქვს, რადგან ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ორი ფესვი.

ეს მეთოდი მოიცავს შებრუნებული ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

თუ განტოლების ფესვებია, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ იმ პირობას, რომ .

შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის , ანუ ამ შემთხვევაში და .

ამრიგად, ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს მოცემული ფესვები.

დავალება #2

თქვენ უნდა შეამციროთ ფრაქცია.

ჩვენ გვაქვს ტრინომი მრიცხველში და ტრინომი მნიშვნელში და ტრინომები შეიძლება იყოს ან არა ფაქტორიზირებული. თუ ორივე მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზებულია, მაშინ მათ შორის შეიძლება იყოს თანაბარი ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია მრიცხველის ფაქტორიზირება.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, შეიძლება თუ არა ამ განტოლების ფაქტორირება, იპოვნეთ დისკრიმინანტი. ვინაიდან , მაშინ ნიშანი დამოკიდებულია პროდუქტზე (უნდა იყოს 0-ზე ნაკლები), ამ მაგალითში, ანუ მოცემულ განტოლებას აქვს ფესვები.

გადასაჭრელად ვიყენებთ ვიეტას თეორემას:

ამ შემთხვევაში, ვინაიდან ფესვებთან გვაქვს საქმე, ფესვების უბრალოდ მოკრეფა საკმაოდ რთული იქნება. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტები დაბალანსებულია, ანუ თუ ჩავთვლით, რომ და ჩავანაცვლებთ ამ მნიშვნელობას განტოლებაში, მაშინ მიიღება შემდეგი სისტემა: ანუ 5-5=0. ამრიგად, ჩვენ ავირჩიეთ ამ კვადრატული განტოლების ერთ-ერთი ფესვი.

ჩვენ ვეძებთ მეორე ფესვს განტოლებათა სისტემაში უკვე ცნობილის ჩანაცვლებით, მაგალითად, ე.ი. .

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი და შეგვიძლია შევცვალოთ მათი მნიშვნელობები თავდაპირველ განტოლებაში, რათა მოხდეს მისი ფაქტორი:

გავიხსენოთ თავდაპირველი პრობლემა, დაგვჭირდა წილადის შემცირება.

შევეცადოთ ამოცანის გადაჭრა მრიცხველის ნაცვლად ჩანაცვლებით.

არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ შემთხვევაში მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ე.ი.

თუ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ჩვენ შევამცირეთ საწყისი წილადი ფორმამდე.

დავალება #3 (ამოცანა პარამეტრით)

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი

თუ ამ განტოლების ფესვები არსებობს, მაშინ , საკითხავია როდის .

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია ერთ-ერთი სასკოლო დავალებაა, რომელიც ადრე თუ გვიან ყველას აწყდება. Როგორ გავაკეთო ეს? რა არის კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა? მოდით გადავიდეთ ეტაპობრივად მაგალითებით.

ზოგადი ფორმულა

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლების ამოხსნით. ეს არის მარტივი ამოცანა, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე მეთოდით - დისკრიმინანტის მოძიებით, ვიეტას თეორემის გამოყენებით, არსებობს მისი ამოხსნის გრაფიკული გზაც. პირველ ორ მეთოდს სწავლობენ საშუალო სკოლაში.

ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

დავალების შესრულების ალგორითმი

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაციისთვის საჭიროა იცოდე ვიტის თეორემა, გქონდეს ხელთ ამოხსნის პროგრამა, შეძლოს ამონახსნის გრაფიკულად პოვნა ან დისკრიმინაციული ფორმულით მეორე ხარისხის განტოლების ფესვების მოძებნა. თუ მოცემულია კვადრატული ტრინომი და ის უნდა იყოს ფაქტორირებული, მოქმედებების ალგორითმი ასეთია:

1) განტოლების მისაღებად ორიგინალური გამოხატულება გაათანაბრეს ნულთან.

2) მიუთითეთ მსგავსი პირობები (საჭიროების შემთხვევაში).

3) იპოვეთ ფესვები ნებისმიერი ცნობილი მეთოდით. გრაფიკული მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, თუ წინასწარ არის ცნობილი, რომ ფესვები არის მთელი და მცირე რიცხვები. უნდა გვახსოვდეს, რომ ფესვების რაოდენობა უდრის განტოლების მაქსიმალურ ხარისხს, ანუ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

4) შემცვლელი ღირებულება Xგამოხატვაში (1).

5) ჩაწერეთ კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია.

მაგალითები

პრაქტიკა საშუალებას გაძლევთ საბოლოოდ გაიგოთ, თუ როგორ სრულდება ეს დავალება. მაგალითები ასახავს კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

თქვენ უნდა გააფართოვოთ გამოხატულება:

მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ალგორითმი:

1) x 2 -17x+32=0

2) მსგავსი ვადები მცირდება

3) Vieta ფორმულის მიხედვით, ძნელია ამ მაგალითის ფესვების პოვნა, ამიტომ უმჯობესია გამოვიყენოთ გამონათქვამი დისკრიმინანტისთვის:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) შეცვალეთ ფესვები, რომლებიც აღმოვაჩინეთ გაფართოების მთავარ ფორმულაში:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) მაშინ პასუხი იქნება:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

მოდით შევამოწმოთ შეესაბამება თუ არა დისკრიმინანტის მიერ ნაპოვნი გადაწყვეტილებები Vieta ფორმულებს:

14,845 . 2,155=32

ამ ფესვებისთვის გამოიყენება ვიეტას თეორემა, ისინი სწორად იქნა ნაპოვნი, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ მიერ მიღებული ფაქტორიზაცია ასევე სწორია.

ანალოგიურად, ჩვენ ვაფართოებთ 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

წინა შემთხვევაში ამონახსნები იყო არა მთელი რიცხვი, მაგრამ რეალური რიცხვები, რომელთა პოვნა ადვილია თქვენს წინაშე არსებული კალკულატორით. ახლა განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, რომელშიც ფესვები რთულია: ფაქტორიზაცია x 2 + 4x + 9. ვიეტას ფორმულის მიხედვით ფესვები ვერ მოიძებნება და დისკრიმინანტი უარყოფითია. ფესვები კომპლექსურ სიბრტყეზე იქნება.

D=-20

ამის საფუძველზე ვიღებთ ჩვენთვის დაინტერესებულ ფესვებს -4 + 2i * 5 1/2 და -4-2i * 5 1/2 რადგან (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

ჩვენ ვიღებთ სასურველ გაფართოებას ფესვების ზოგადი ფორმულით ჩანაცვლებით.

კიდევ ერთი მაგალითი: თქვენ უნდა დაახარისხოთ გამონათქვამი 23x 2 -14x + 7.

ჩვენ გვაქვს განტოლება 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

ასე რომ, ფესვები არის 14+21,166i და 14-21,166ი. პასუხი იქნება:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166ი )*(X- 14+21.166ი ).

მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს დისკრიმინანტის დახმარების გარეშე.

მოდით, საჭირო გახდეს კვადრატული განტოლების დაშლა x 2 -32x + 255. ცხადია, მისი გადაჭრა დისკრიმინანტითაც შეიძლება, მაგრამ ამ შემთხვევაში ფესვების პოვნა უფრო სწრაფია.

x 1 =15

x2=17

ნიშნავს x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

კვადრატული ტრინომი არის ax^2 + bx + c ფორმის მრავალწევრი, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, უფრო მეტიც, a ≠ 0.

ტრინომის ფაქტორიზაციისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ ამ ტრინომის ფესვები. (შემდგომში მაგალითი ტრინომიალზე 5x^2 + 3x-2)

შენიშვნა: კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობა 5x^2 + 3x - 2 დამოკიდებულია x-ის მნიშვნელობაზე. მაგალითად: თუ x = 0, მაშინ 5x^2 + 3x - 2 = -2

თუ x = 2, მაშინ 5x^2 + 3x - 2 = 24

თუ x = -1, მაშინ 5x^2 + 3x - 2 = 0

როდესაც x \u003d -1, კვადრატული ტრინომი 5x ^ 2 + 3x - 2 ქრება, ამ შემთხვევაში რიცხვი -1 ე.წ. კვადრატული ტრინომის ფესვი.

როგორ მივიღოთ განტოლების ფესვი

მოდით ავხსნათ, როგორ მივიღეთ ამ განტოლების ფესვი. ჯერ ნათლად უნდა იცოდეთ თეორემა და ფორმულა, რომლითაც ვიმუშავებთ:

თუ x1 და x2 არის კვადრატული ტრინომის ax^2 + bx + c ფესვები, მაშინ ax^2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2).

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

მრავალწევრის ფესვების პოვნის ეს ფორმულა ყველაზე პრიმიტიული ფორმულაა, რომლის ამოხსნაც არასოდეს დაიბნევით.

გამოხატულება 5x^2 + 3x - 2.

1. უდრის ნულს: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვებს, ამისათვის ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (a არის კოეფიციენტი X ^ 2-სთვის, b არის კოეფიციენტი X-სთვის, თავისუფალი ტერმინი, ანუ a. ფიგურა X-ის გარეშე):

ჩვენ ვპოულობთ პირველ ფესვს პლუს ნიშნით კვადრატული ფესვის წინ:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

მეორე ფესვი მინუს ნიშნით კვადრატული ფესვის წინ:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები. იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ისინი სწორია, შეგიძლიათ შეამოწმოთ: ჯერ განტოლებაში ვცვლით პირველ ფესვს, შემდეგ მეორეს:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

თუ ყველა ფესვის ჩანაცვლების შემდეგ განტოლება ქრება, მაშინ განტოლება სწორად ამოხსნილია.

3. ახლა გამოვიყენოთ ფორმულა თეორემიდან: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), გახსოვდეთ, რომ X1 და X2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები. ასე რომ: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. იმისათვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ დაშლა სწორია, შეგიძლიათ უბრალოდ გაამრავლოთ ფრჩხილები:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2. რაც ადასტურებს სისწორეს გადაწყვეტილების.

მეორე ვარიანტი კვადრატული ტრინომის ფესვების მოსაძებნად

კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნის კიდევ ერთი ვარიანტია ვიეტის თეორემის შებრუნებული თეორემა. აქ კვადრატული განტოლების ფესვები გვხვდება ფორმულებით: x1 + x2 = -(ბ), x1 * x2 = გ. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ეს თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კოეფიციენტი a \u003d 1, ანუ რიცხვი x ^ 2 \u003d 1-ის წინ.

მაგალითად: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

ამოხსნა: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

ახლა მნიშვნელოვანია ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა რიცხვები იძლევა პროდუქტში ერთეულს? ბუნებრივია ეს 1 * 1 და -1 * (-1) . ამ რიცხვებიდან ვირჩევთ მათ, რომლებიც შეესაბამება გამოხატულებას x1 + x2 = 2, რა თქმა უნდა - ეს არის 1 + 1. ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ განტოლების ფესვები: x1 = 1, x2 = 1. ამის შემოწმება ადვილია თუ არა. თქვენ შეცვალეთ x ^ 2 გამონათქვამში - 2x + 1 = 0.