Санау жүйелерінің негізі. Шешімі арқылы сандарды әртүрлі санау жүйелеріне түрлендіру Санау жүйесінің негізін қалай табуға болады

34 сияқты бүтін сандарды немесе 637.333 сияқты бөлшек сандарды енгізуге болады. Бөлшек сандар үшін ондық бөлшектен кейінгі аударманың дәлдігі көрсетіледі.

Бұл калькулятормен келесілер де қолданылады:

Сандарды бейнелеу тәсілдері

Сандарды бір санау жүйесінен екіншісіне түрлендіру алгоритмі

№1 мысал.



2-ден 8-ден 16-ға дейінгі санау жүйесін аудару.
Бұл жүйелер екі еселік болып табылады, сондықтан аударма сәйкестік кестесінің көмегімен жүзеге асырылады (төменде қараңыз).

Санды екілік санау жүйесінен сегіздік (он алтылық) санға түрлендіру үшін екілік санды үтірден оңға және солға қарай үш (он алтылық үшін төрт) разрядты топтарға бөліп, шеткі топтарды нөлдермен толықтыру керек. қажет болса. Әрбір топ сәйкес сегіздік немесе он алтылық санмен ауыстырылады.

№2 мысал. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
мұнда 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Он алтылық санау жүйесіне түрлендіру кезінде бірдей ережелерді сақтай отырып, санды әрқайсысы төрт цифрдан тұратын бөліктерге бөлу керек.
№3 мысал. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
мұнда 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

2, 8 және 16 сандарын ондық жүйеге түрлендіру санды бөлек сандарға бөлу және оны жүйенің негізіне (сан аударылған) оның реттік санына сәйкес дәрежеге дейін көбейту арқылы жүзеге асырылады. аударылған нөмірде. Бұл жағдайда сандар үтірдің сол жағында (бірінші санда 0 саны бар) көбейту арқылы нөмірленеді, ал оң жақтөмендейді (яғни теріс белгісімен). Алынған нәтижелер қосылады.

№4 мысал.
Екілік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру мысалы.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру мысалы. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Он алтылық санау жүйесінен ондық санау жүйесіне ауыстыру мысалы. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Тағы да біз сандарды бір санау жүйесінен басқа PSS жүйесіне аудару алгоритмін қайталаймыз

1. Ондық санау жүйесінен:
   • санды аударылатын санау жүйесінің негізіне бөлу;
   • санның бүтін бөлігін бөлгеннен кейінгі қалдықты табу;
   • бөлудің барлық қалдықтарын кері ретпен жазу;
2. Екілік жүйеден
   • Ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін 2-базаның сәйкес разряд дәрежесі бойынша көбейтінділерінің қосындысын табу керек;
   • Санды сегіздікке айналдыру үшін санды үштікке бөлу керек.
     Мысалы, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Санды екілік жүйеден он алтылық жүйеге ауыстыру үшін санды 4 цифрдан тұратын топтарға бөлу керек.
     Мысалы, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Сегіздік санау жүйесіне көшіру кестесі

№2 мысал. 100,12 санын ондық жүйеден сегіздікке және керісінше ауыстырыңыз. Айырмашылықтардың себептерін түсіндіріңіз.
Шешім.
1-кезең. .

Бөлудің қалған бөлігі кері тәртіпте жазылады. 8-ші санау жүйесіндегі санды аламыз: 144
100 = 144 8

Санның бөлшек бөлігін аудару үшін бөлшек бөлігін 8 негізіне дәйекті түрде көбейтеміз. Нәтижесінде көбейтіндінің бүтін бөлігін жазған сайын жазамыз.
0,12*8 = 0,96 (бүкіл бөлік 0 )
0,96*8 = 7,68 (бүкіл бөлік 7 )
0,68*8 = 5,44 (бүкіл бөлік 5 )
0,44*8 = 3,52 (бүкіл бөлік 3 )
8-ші санау жүйесіндегі санды аламыз: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2-кезең. Санды ондық жүйеден сегіздікке түрлендіру.
Сегіздіктен ондық санау жүйесіне кері түрлендіру.

Бүтін бөлікті аудару үшін санның цифрын разрядтың сәйкес дәрежесіне көбейту керек.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Бөлшек бөлігін аудару үшін санның цифрын разрядтың сәйкес дәрежесіне бөлу керек.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0,0001 (100,12 - 100,1199) айырмашылығы сегіздікке түрлендіру кезіндегі дөңгелектеу қатесіне байланысты. Сандардың көп санын алсақ, бұл қатені азайтуға болады (мысалы, 4 емес, 8).

Информатика курсында мектеп немесе жоғары оқу орнына қарамастан санау жүйесі сияқты ұғымға ерекше орын беріледі. Әдетте, оған бірнеше сабақ немесе практикалық жаттығулар бөлінеді. Негізгі мақсат – тақырыптың негізгі ұғымдарын меңгеру, санау жүйесінің түрлерін меңгеру ғана емес, сонымен қатар екілік, сегіздік және он алтылық арифметикамен танысу.

Бұл нені білдіреді?

Негізгі ұғымның анықтамасынан бастайық. «Информатика» оқулығында атап өтілгендей, санау жүйесі – бұл арнайы әліпбиді немесе белгілі бір сандар жиынын қолданатын сандар жазбасы.

Цифрдың мәнінің сандағы орнынан өзгеруіне байланысты екіге бөлінеді: позициялық және позициялық емес санау жүйелері.

Позициялық жүйелерде цифрдың мәні оның сандағы орнына қарай өзгереді. Сонымен, егер біз 234 санын алсақ, онда ондағы 4 саны бірліктерді білдіреді, бірақ 243 санын қарастырсақ, онда ол қазірдің өзінде бірліктерді емес, ондықтарды білдіреді.

Позициялық емес жүйелерде цифрдың мәні оның сандағы орнына қарамастан статикалық болады. Көпшілігі басты мысал- таяқша жүйесі, мұнда әрбір бірлік сызықша арқылы көрсетіледі. Таяқшаны қайда тағайындасаңыз да, санның мәні тек біреуге ғана өзгереді.

Позициялық емес жүйелер

Позициялық емес санау жүйелеріне мыналар жатады:

1. Алғашқылардың бірі болып саналатын біртұтас жүйе. Ол сандардың орнына таяқтарды пайдаланды. Неғұрлым көп болса, санның мәні соғұрлым жоғары болды. Теңізде адасып кеткен адамдар, күн сайын тастың немесе ағаштың ойықтарымен белгілейтін тұтқындар туралы айтатын фильмдерде осылай жазылған сандарды кездестіруге болады.
2. Сандардың орнына латын әріптері қолданылған римдік. Оларды пайдалана отырып, кез келген санды жазуға болады. Сонымен бірге оның мәні санды құрайтын цифрлардың қосындысы мен айырмасы арқылы анықталды. Егер цифрдың сол жағында кішірек сан болса, онда оң жақтағы цифрдан сол цифр алынып тасталды, ал оң жақтағы цифр сол жақтағы цифрдан кіші немесе оған тең болса, онда олардың мәндері қосылды. жоғары. Мысалы, 11 саны ХІ, ал 9 саны IX болып жазылды.
3. Белгілі бір тілдің алфавиті арқылы сандар белгіленген әріптер. Олардың бірі - славяндық жүйе, онда бірқатар әріптер тек фонетикалық емес, сонымен қатар сандық мәнге ие болды.
4. онда жазу үшін тек екі белгі қолданылған - сыналар мен көрсеткілер.
5. Мысырда да сандарды белгілеу үшін арнайы белгілер қолданылған. Санды жазу кезінде әрбір таңбаны тоғыз реттен артық қолдануға болмайды.

Позициялық жүйелер

Информатикада позициялық санау жүйелеріне көп көңіл бөлінеді. Оларға мыналар жатады:

• екілік;
• сегіздік;
• ондық;
• он алтылық;
• sexagesimal, уақытты санау кезінде қолданылады (мысалы, минутта - 60 секундта, сағатта - 60 минутта).

Олардың әрқайсысында жазу, аудару ережелері және арифметикалық амалдар үшін өз алфавиті бар.

Ондық жүйе

Бұл жүйе бізге ең таныс. Ол сандарды жазу үшін 0-ден 9-ға дейінгі сандарды пайдаланады. Оларды араб деп те атайды. Сандағы цифрдың орнына байланысты ол әртүрлі цифрларды – бірліктерді, ондықтарды, жүздіктерді, мыңдықтарды немесе миллиондарды белгілей алады. Біз оны барлық жерде қолданамыз, сандарға арифметикалық амалдар орындалатын негізгі ережелерді білеміз.

Екілік жүйе

Информатикадағы негізгі санау жүйелерінің бірі екілік. Оның қарапайымдылығы ондық жүйеге қарағанда компьютерге қиын есептеулерді бірнеше есе жылдам орындауға мүмкіндік береді.

Сандарды жазу үшін тек екі цифр қолданылады - 0 және 1. Сонымен қатар сандағы 0 немесе 1 орнына байланысты оның мәні өзгереді.

Бастапқыда олар барлығын компьютерлердің көмегімен алды қажетті ақпарат. Сонымен қатар, біреуі кернеуді пайдалану арқылы берілетін сигналдың болуын білдіреді, ал нөл оның жоқтығын білдіреді.

Сегіздік жүйе

0-ден 7-ге дейінгі сандар қолданылатын тағы бір белгілі компьютерлік санау жүйесі.Ол негізінен сандық құрылғылармен байланысты білім салаларында қолданылды. Бірақ соңғы уақытта ол он алтылық санау жүйесімен ауыстырылғандықтан, әлдеқайда аз қолданыла бастады.

Екілік ондық

Адам үшін екілік жүйеде үлкен сандарды көрсету өте күрделі процесс. Оны жеңілдету үшін әзірленді.Ол әдетте электронды сағаттарда, калькуляторларда қолданылады. Бұл жүйеде бүтін сан ондық жүйеден екілік санау жүйесіне ауыстырылмайды, бірақ әрбір цифр екілік жүйедегі нөлдер мен бірліктердің сәйкес жиынына аударылады. Бұл екілік жүйеден ондық жүйеге түрлендіруге де қатысты. Нөлдер мен бірліктердің төрт таңбалы жиыны ретінде ұсынылған әрбір цифр ондық санау жүйесінде цифрға аударылады. Негізінде күрделі ештеңе жоқ.

Сандармен жұмыс істеу үшін бұл жағдайда сандар мен олардың екілік коды арасындағы сәйкестікті көрсететін санау жүйелерінің кестесі пайдалы.

Он алтылық жүйе

Соңғы уақытта он алтылық санау жүйесі программалауда және информатикада танымал бола бастады. Ол тек 0-ден 9-ға дейінгі сандарды ғана емес, сонымен қатар бірқатар латын әріптерін – A, B, C, D, E, F пайдаланады.

Сонымен бірге әр әріптің өзіндік мағынасы бар, сондықтан А=10, В=11, С=12 және т.б. Әрбір сан төрт таңбадан тұратын жиын ретінде ұсынылған: 001F.

Санды түрлендіру: ондық жүйеден екілік санау жүйесіне

Санау жүйелеріндегі аударма белгілі бір ережелер бойынша жүреді. Ең көп таралған түрлендіру екілік жүйеден ондық жүйеге және керісінше.

Санды ондық санау жүйесінен екілік санау жүйесіне ауыстыру үшін оны санау жүйесінің негізіне, яғни екі санына жүйелі түрде бөлу қажет. Бұл жағдайда әрбір бөлімнің қалған бөлігі бекітілуі керек. Бұл бөлімнің қалған бөлігі бірден кем немесе тең болғанша жалғасады. Есептеулерді бағанда жүргізген дұрыс. Содан кейін алынған бөлу қалдықтары жолға кері ретпен жазылады.

Мысалы, 9 санын екілік санға түрлендірейік:

Біз 9-ды бөлеміз, өйткені сан біркелкі бөлінбейтіндіктен, 8 санын аламыз, қалғаны 9 - 1 = 1 болады.

8-ді 2-ге бөлгеннен кейін, біз 4 аламыз. Сан екіге бөлінгендіктен, біз оны қайтадан бөлеміз - қалғанда 4 - 4 = 0 аламыз.

Біз 2-мен бірдей операцияны орындаймыз. Қалдық - 0.

Бөлу нәтижесінде біз 1 аламыз.

Соңғы санау жүйесіне қарамастан, сандарды ондық жүйеден кез келген басқаға ауыстыру санды позициялық жүйенің негізіне бөлу принципі бойынша жүзеге асады.

Санды түрлендіру: екілік жүйеден ондық жүйеге

Сандарды екілік жүйеден ондық жүйеге ауыстыру өте оңай. Ол үшін сандарды қуатқа көтеру ережелерін білу жеткілікті. Бұл жағдайда екінің дәрежесіне дейін.

Аудару алгоритмі келесідей: екілік сан кодының әрбір цифрын екіге көбейту керек, ал алғашқы екеуі m-1 дәрежесіне, екіншісі - m-2 және т.б., мұндағы m - сан кодтағы сандар. Содан кейін бүтін санды алу арқылы қосу нәтижелерін қосыңыз.

Мектеп оқушылары үшін бұл алгоритмді қарапайымырақ түсіндіруге болады:

Алдымен біз екіге көбейтілген әрбір цифрды аламыз және жазамыз, содан кейін нөлден бастап екінің дәрежесін соңынан қоямыз. Содан кейін алынған санды қосыңыз.

Мысалы, сізбен бұрын алынған 1001 санын ондық жүйеге ауыстырып талдап көрейік, сонымен бірге есептеулеріміздің дұрыстығын тексерейік.

Ол келесідей болады:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Бұл тақырыпты оқып-үйрену кезінде екі дәрежесі бар кестені пайдалану ыңғайлы. Бұл есептеулер үшін қажетті уақыт мөлшерін айтарлықтай қысқартады.

Басқа аударма опциялары

Кейбір жағдайларда аударма екілік және сегіздік, екілік және он алтылық арасында жүзеге асырылуы мүмкін. Бұл жағдайда қарау қойындысындағы «Бағдарламашы» опциясын таңдау арқылы арнайы кестелерді пайдалануға немесе компьютерде калькулятор қолданбасын іске қосуға болады.

Арифметикалық амалдар

Санның қай пішінде берілгеніне қарамастан, онымен бізге таныс есептеулерді жүргізуге болады. Бұл сіз таңдаған санау жүйесінде бөлу және көбейту, азайту және қосу болуы мүмкін. Әрине, олардың әрқайсысының өз ережелері бар.

Сонымен, екілік жүйе үшін әрбір операция үшін өз кестелері әзірленді. Дәл осындай кестелер басқа позициялық жүйелерде де қолданылады.

Оларды жаттап алудың қажеті жоқ - басып шығарыңыз және қолыңызда болсын. Калькуляторды компьютерде де пайдалануға болады.

Информатиканың маңызды тақырыптарының бірі – санау жүйесі. Бұл тақырыпты білу, сандарды бір жүйеден екінші жүйеге аудару алгоритмдерін түсіну алгоритмдеу және бағдарламалау сияқты күрделі тақырыптарды түсініп, бірінші бағдарламаңызды өз бетіңізше жаза алатындығыңызға кепілдік береді.

Есептерді шешуді бастамас бұрын, біз бірнеше қарапайым тармақтарды түсінуіміз керек.

875 ондық санын қарастырайық. (5) санының соңғы цифры 875 санын 10-ға бөлудің қалдығы. Соңғы екі цифр 75 санын құрайды - бұл 875 санын 100-ге бөлудің қалдығы Ұқсас мәлімдемелер кез келген санау жүйесі үшін дұрыс:

Санның соңғы цифры - бұл санды санау жүйесінің негізіне бөлудің қалдығы.

Санның соңғы екі цифры - бұл санды квадраттық санау жүйесінің негізіне бөлудің қалдығы.

Мысалға, . 23-ті 3-жүйенің негізіне бөлеміз, қалғанында 7 және 2 шығады (2-үштік жүйедегі санның соңғы цифры). 23-ті 9-ға бөліңіз (негізгі квадрат), қалғанында 18 және 5 аламыз (5 = ).

Кәдімгі ондық жүйеге оралайық. Сан = 100000. k дәрежесіне 10 бір және k нөл.

Осыған ұқсас мәлімдеме кез келген санау жүйесі үшін дұрыс:

Бұл санау жүйесінде k дәрежесіне дейінгі санау жүйесінің негізі бірлік және k нөл ретінде жазылады.

Мысалға, .

1. Санау жүйесінің негізін іздеңіз

1-мысал

Кейбір негізі бар санау жүйесінде 27 ондық саны 30 болып жазылады. Осы негізді көрсетіңіз.

Шешімі:

Қажетті х негізін белгілеңіз. Содан кейін .я. x=9.

2-мысал

Кейбір негізі бар санау жүйесінде 13 ондық саны 111 болып жазылады. Осы негізді көрсетіңіз.

Шешімі:

Қажетті х негізін белгілеңіз. Содан кейін

Квадрат теңдеуді шешеміз, 3 және -4 түбірлерін аламыз. Санау жүйесінің негізі теріс болуы мүмкін емес болғандықтан, жауабы 3.

Жауабы: 3

3-мысал

29 санының жазылуы 5-ке аяқталатын санау жүйелерінің барлық негіздерін үтірмен бөліп, өсу ретімен көрсетіңіз.

Шешімі:

Егер қандай да бір жүйеде 29 саны 5-ке аяқталса, онда 5-ке азайтылған сан (29-5 = 24) 0-мен аяқталады. Жүйе негізіне қалдықсыз бөлінетін сан 0-мен аяқталатынын жоғарыда айттық. . Анау. 24 санының бөлгіштері болатын барлық осындай сандарды табу керек. Бұл сандар: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 2, 3, 4 негізі бар санау жүйелерінде сан жоқ екенін ескеріңіз. 5 (және тұжырымдау есебінде 29 саны 5-ке аяқталады), сондықтан негіздері бар жүйелер бар: 6, 8, 12,

Жауабы: 6, 8, 12, 24

4-мысал

71 санының жазылуы 13-ке аяқталатын санау жүйелерінің барлық негіздерін үтірмен бөліп, өсу ретімен көрсетіңіз.

Шешімі:

Егер қандай да бір жүйеде сан 13-ке аяқталса, онда бұл жүйенің негізі 4-тен кем емес (әйтпесе 3 саны болмайды).

3-ке азайтылған сан (71-3=68) 10-мен аяқталады. Яғни, 68 жүйенің қажетті негізіне толығымен бөлінеді, ал оның бөлімі жүйенің негізіне бөлінгенде, 0 қалдығын береді.

68 санының барлық бүтін бөлгіштерін жазайық: 2, 4, 17, 34, 68.

2 қолайлы емес, өйткені негізі 4-тен кем емес. Қалған бөлгіштерді тексеріңіз:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (1 демалыс) - қолайлы

68:17 = 4; 4:17 = 0 (4 қалғаны) - жарамсыз

68:34 = 2; 2:17 = 0 (қалғаны 2) - жарамсыз

68:68 = 1; 1:68 = 0 (қалғаны 1) - қолайлы

Жауабы: 4, 68

2. Сандарды шарттар бойынша іздеу

5-мысал

Негізгі төрт санау жүйесінде 11-мен аяқталатын 25-тен аспайтын барлық ондық сандарды үтірмен бөліп, өсу ретімен көрсетіңіз?

Шешімі:

Алдымен 25 санының негізі 4 болатын санау жүйесінде қандай болатынын анықтайық.

Анау. -дан үлкен емес барлық сандарды табу керек, олардың жазылуы 11-мен аяқталады. Негізі 4 болатын жүйеде реттік санау ережесі бойынша,
және сандарын аламыз. Оларды ондық санау жүйесіне аударамыз:

Жауабы: 5, 21

3. Теңдеулерді шешу

6-мысал

Теңдеуді шеш:

Жауапты үштік жүйеде жазыңыз (жауаптағы санау жүйесінің негізін жазу қажет емес).

Шешімі:

Барлық сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырайық:

Квадрат теңдеудің түбірі -8 және 6. (өйткені жүйенің негізі теріс болуы мүмкін емес). .

Жауабы: 20

4. Өрнектің мәнінің екілік жүйесіндегі бірліктердің (нөлдердің) санын санау

Есептің бұл түрін шешу үшін «бағандағы» қосу мен азайтудың қалай жұмыс істейтінін есте сақтау керек:

Қосу кезінде бірінің астына жазылған цифрлардың разрядтық қосындысы ең аз мәнді цифрлардан бастап орын алады. Егер алынған екі цифрдың қосындысы санау жүйесінің базасынан үлкен немесе оған тең болса, бұл соманы жүйенің негізіне бөлудің қалдығы қосынды сандар астына жазылады, ал бұл соманы негізге бөлудің бүтін бөлігі жүйенің саны келесі цифрлардың қосындысына қосылады.

Алу кезінде бірінің астына жазылған цифрларды ең аз мәнді цифрлардан бастап биттік азайту орындалады. Егер бірінші сан екіншісінен аз болса, біз көрші (үлкен) цифрдан біреуін «қарызға аламыз». Ағымдағы цифрда орналасқан бірлік санау жүйесінің негізіне тең. Ондық жүйеде - 10, екілік жүйеде - 2, үштікте - 3 және т.б.

7-мысал

Өрнек мәнінің екілік белгісі неше бірліктен тұрады: ?

Шешімі:

Өрнектің барлық сандарын екінің дәрежесі ретінде көрсетейік:

Екілік белгілерде n-дің екі дәрежесі 1-ден кейін n нөлге ұқсайды. Содан кейін және қосындысы 2 бірліктен тұратын санды аламыз:

Енді алынған саннан 10000-ды азайтыңыз.Алу ережесі бойынша келесі цифрдан қарыз аламыз.

Енді алынған санға 1 қосыңыз:

Нәтижеде 2013+1+1=2015 бірлік бар екенін көреміз.

1-жаттығу. 24 16 санына ондық санау жүйесінде қандай сан сәйкес келеді?

Шешім.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Жауап. 24 16 = 36 10

2-тапсырма.Х = 12 4 + 4 5 + 101 2 екені белгілі. Ондық жүйедегі Х саны неге тең?

Шешім.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Санды табыңыз: X = 6 + 4 + 5 = 15

Жауап. X = 15 10

3-тапсырма. 10 2 + 45 8 + 10 16 қосындысының мәнін ондық санау жүйесінде есептеңіз.

Шешім.

Әрбір терминді ондық санау жүйесіне аударайық:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Қосындысы: 2 + 37 + 16 = 55

Екілік санау жүйесіне түрлендіру

1-жаттығу.Екілік санау жүйесінде 37 саны қандай?

Шешім.

2-ге бөлу және қалдықтарды кері ретпен біріктіру арқылы түрлендіруге болады.

Тағы бір әдіс - бұл санды екінің дәрежелерінің қосындысына кеңейту, ең үлкенінен бастап, есептелген нәтижесі берілген саннан аз. Түрлендіру кезінде санның жетіспейтін дәрежесі нөлге ауыстырылуы керек:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Жауап. 37 10 = 100101 2 .

2-тапсырма. 73 ондық санының екілік кескінінде неше маңызды нөл бар?

Шешім.

Біз 73 санын екінің дәрежелерінің қосындысына бөлеміз, ең жоғарыдан бастап және жетіспейтін дәрежелерді нөлге, ал барын бірге көбейтеміз:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Жауап. 73 ондық санының екілік жүйесінде төрт маңызды нөл бар.

3-тапсырма. x = D2 16, y = 37 8 үшін х пен у қосындысын есептеңіз. Нәтижені екілік санау жүйесінде көрсетіңіз.

Шешім.

Еске салайық, он алтылық санның әрбір цифры төрт екілік цифрдан, сегіздік санның әрбір цифры үштен тұрады:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Сандарды қосайық:

11010010 11111 -------- 11110001

Жауап.Екілік жүйеде берілген D2 16 және y = 37 8 сандарының қосындысы 11110001-ге тең.

4-тапсырма.Берілген: а= D7 16, б= 331 8 . Сандардың қайсысы в, екілік жүйеде жазылған, шартқа сай а< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Шешім.

Сандарды екілік санау жүйесіне аударайық:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Барлық сандар үшін алғашқы төрт цифр бірдей (1101). Сондықтан салыстыру ең аз маңызды төрт санды салыстыруға оңайлатылады.

Тізімдегі бірінші сан – сан б, сондықтан сәйкес келмейді.

Екінші сан одан үлкен б. Үшінші сан а.

Тек төртінші сан сәйкес келеді: 0111< 1000 < 1001.

Жауап.Төртінші нұсқа (11011000) шартқа сәйкес келеді а< c < b .

Әртүрлі санау жүйелеріндегі мәндерді және олардың негіздерін анықтауға арналған тапсырмалар

1-жаттығу.@, $, &, % таңбалары екі таңбалы дәйекті екілік сандармен кодталған. Бірінші таңба 00 санына сәйкес келеді. Осы таңбаларды пайдалану арқылы келесі реттілік кодталды: $% [электрондық пошта қорғалған]$. Бұл тізбекті декодтау және нәтижені он алтылық санау жүйесіне түрлендіру.

Шешім.

1. Екілік сандарды олар кодтайтын таңбалармен салыстырайық:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Екілік санды он алтылық санау жүйесіне аударайық:
0111 1010 0001 = 7A1

Жауап. 7A1 16 .

2-тапсырма.Бақшада 100 дана жеміс ағаштары бар, оның 33 дана алма, 22 дана алмұрт, 16 дана қара өрік, 17 дана шие. (х) санау жүйесінің негізі қандай.

Шешім.

1. Барлық мүшелер екі таңбалы сандар екенін ескеріңіз. Кез келген санау жүйесінде оларды келесідей көрсетуге болады:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, мұндағы a және b - санның сәйкес цифрларының цифрлары.
Үш таңбалы сан үшін ол келесідей болады:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Мәселенің шарты келесідей:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Формулалардағы сандарды ауыстырыңыз:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Квадрат теңдеуді шеш:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D-тің квадрат түбірі 11-ге тең.
Квадрат теңдеудің түбірлері:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 немесе x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Теріс сан санау жүйесінің негізі бола алмайды. Сондықтан x тек 9-ға тең болуы мүмкін.

Жауап.Санау жүйесінің қажетті негізі 9.

3-тапсырма.Кейбір негізі бар санау жүйесінде 12 ондық саны 110 болып жазылады. Осы негізді табыңыз.

Шешім.

Алдымен ондық санау жүйесіндегі мәнді табу үшін позициялық санау жүйелерінде сандарды жазу формуласы арқылы 110 санын жазып алайық, содан кейін негізсіз күшпен табамыз.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Біз 12 алуымыз керек. 2 тырысамыз: 2 2 + 2 = 6. Біз 3 тырысамыз: 3 2 + 3 = 12.

Сонымен санау жүйесінің негізі 3-ке тең.

Жауап.Санау жүйесінің қажетті негізі 3-ке тең.

4-тапсырма. 173 ондық саны 445 болып қай санау жүйесінде көрсетіледі?

Шешім.
Белгісіз негізді Х деп белгілейміз. Мына теңдеуді жазамыз:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Нөлдік дәрежеге кез келген оң сан 1-ге тең болатынын ескере отырып, теңдеуді қайта жазамыз (10 негізін көрсетпейміз).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Әрине, мұндай квадрат теңдеуді дискриминанттың көмегімен шешуге болады, бірақ қарапайым шешім бар. Оң және сол бөліктерден 4-ке азайтамыз
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 немесе 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Осыдан біз 2 * X + 1 \u003d 13 аламыз (теріс түбірді алып тастаймыз). Немесе X = 6.
Жауабы: 173 10 = 445 6

Санау жүйелерінің бірнеше негіздерін табуға арналған тапсырмалар

Берілген санды көрсету берілген цифрмен аяқталатын санау жүйелерінің барлық негіздерін тізіп (өсу немесе кему ретімен) талап ететін тапсырмалар тобы бар. Бұл тапсырма өте қарапайым шешіледі. Алдымен бастапқы саннан берілген цифрды алып тастау керек.Алынған сан санау жүйесінің бірінші негізі болады. Ал қалған барлық негіздер тек осы санның бөлгіштері бола алады. (Бұл тұжырым сандарды бір санау жүйесінен екінші санау жүйесіне ауыстыру ережесі негізінде дәлелденген – 4 тармақты қараңыз). Тек соны есте сақта санау жүйесінің негізі берілген цифрдан кіші болуы мүмкін емес!

Мысал
24 санының жазылуы 3-ке аяқталатын санау жүйелерінің барлық негіздерін үтірмен бөліп, өсу ретімен көрсетіңіз.

Шешім
24 - 3 \u003d 21 - бірінші негіз (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 саны 3-ке және 7-ге бөлінеді. 3 саны жарамсыз, өйткені Негізгі 3 санау жүйесінде 3 жоқ.
Жауабы: 7, 21