Dekomponering av et trinomium til faktorer med én rot. Hvordan faktorisere et kvadratisk trinomium: formel. Factoring metoder

Klasse: 9

Leksjonstype: en leksjon i å konsolidere og systematisere kunnskap.

Type leksjon: Verifikasjon, vurdering og korrigering av kunnskap og handlingsmetoder.

Mål:

Utstyr: didaktisk stoff for muntlig arbeid, selvstendig arbeid, prøveoppgaver for å teste kunnskap, kort med lekser, algebra lærebok Yu.N. Makarychev.

Timeplan.

I løpet av timene

I. Stadium for oppdatering av kunnskap. Motivasjon av utdanningsproblemet.

Organisering av tid.

I dag i leksjonen vil vi generalisere og systematisere kunnskap om emnet: "Faktorisering av et kvadratisk trinomium". Når du utfører forskjellige øvelser, bør du merke deg selv punktene du må vie Spesiell oppmerksomhet ved løsning av likninger og praktiske problemer. Dette er veldig viktig når du forbereder deg til eksamen.
Skriv ned emnet for leksjonen: «Faktorisering av et kvadratisk trinomium. Løsningseksempler.

II. Hovedinnholdet i leksjonen Dannelse og konsolidering av elevenes ideer om formelen for å faktorisere et kvadrattrinomial i faktorer.

muntlig arbeid.

– For å lykkes med å faktorisere et kvadrattrinomium, må du huske både formlene for å finne diskriminanten og formlene for å finne røttene til en kvadratisk likning, formelen for å faktorisere et kvadrattrinomium og sette dem i praksis.

1. Se på "Fortsett eller fullfør erklæringen"-kortene.

2. Se på tavlen.

1. Hvilket av de foreslåtte polynomene er ikke kvadratisk?

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Definer et kvadratisk trinomium. Definer roten til et kvadratisk trinomium.

2. Hvilken av formlene er ikke en formel for å beregne røttene til en andregradsligning?

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – b+ ;
3) X 1,2 = .

3. Finn koeffisientene a, b, c til kvadrattrinomialet - 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Hvilken av formlene er en formel for å beregne røttene til en kvadratisk ligning

x2 + px + q= 0 ved Vietas teorem?

1) x 1 + x 2 =p,
x en · x 2 = q.

2) x 1 + x 2 = –p ,
x en · x 2 = q.

3)x 1 + x 2 = –p ,
x en · x 2 = – q .

5. Utvid kvadrattrinomialet X 2 – 11x + 18 for multiplikatorer.

Svar: ( X – 2)(X – 9)

6. Utvid kvadrattrinomialet på 2 – 9y + 20 for multiplikatorer

Svar: ( X – 4)(X – 5)

III. Dannelse av ferdigheter og evner. Konsolidering av det studerte materialet.

1. Faktoriser kvadrattrinomialet:
a) 3 x 2 – 8x + 2;
b) 6 x 2 – 5x + 1;
klokken 3 x 2 + 5x – 2;
d) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Factoring hjelper oss når vi reduserer brøker.

3. Uten å bruke rotformelen, finn røttene til et kvadratisk trinomium:
en) x 2 + 3x + 2 = 0;
b) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Lag et kvadratisk trinomium hvis røtter er tall:
en) x 1 = 4; x 2 = 2;
b) x 1 = 3; x 2 = -6;

Selvstendig arbeid.

Fullfør oppgaven uavhengig i henhold til alternativene, etterfulgt av verifisering. De to første oppgavene skal besvares "Ja" eller "nei". En elev fra hvert alternativ blir kalt (de jobber på jakkslagene på brettet). Etter at det er utført selvstendig arbeid i tavlen, foretas en felleskontroll av løsningen. Studentene vurderer arbeidet sitt.

1. alternativ:

1.D<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. Tallet 2 er roten av ligningen x 2 + 3x - 10 = 0.

3. Faktoriser kvadrattrinomialet til faktorer 6 x 2 – 5x + 1;

Andre alternativ:

1.D>0. Ligningen har 2 røtter.

2. Tallet 3 er roten til andregradsligningen x 2 - x - 12 = 0.

3. Dekomponer kvadrattrinomialet i faktorer 2 X 2 – 5x + 3

IV. Kontrollere assimilering av kunnskap. Speilbilde.

– Leksjonen viste at du kjenner det grunnleggende teoretiske materialet til dette emnet. Vi har oppsummert kunnskapen

Det firkantede trinomialet kalles et polynom av formen ax2+bx +c, hvor x- variabel, en,b,c er noen tall, og a ≠ 0.

Koeffisient en kalt senior koeffisient, c – gratis medlem kvadratisk trinomium.

Eksempler på kvadratiske trinomialer:

2 x 2 + 5x + 4(her en = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7x + 5(her en = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(her en = 9, b = 9, c = -9)

Koeffisient b eller koeffisient c eller begge koeffisientene kan være lik null samtidig. For eksempel:

5 x 2 + 3x(hera = 5b = 3c = 0, så verdien av c er ikke i ligningen).

6x 2 - 8 (hera=6, b=0, c=-8)

2x2(hera=2, b=0, c=0)

Verdien av en variabel der polynomet forsvinner kalles polynomrot.

For å finne røttene til et kvadratisk trinomiumax2+ bx + c, vi må likestille det til null -
dvs. løse andregradsligningenax2+ bx + c= 0 (se avsnittet "Kvadrisk ligning").

Faktorisering av et kvadratisk trinomium

Eksempel:

Vi faktoriserer trinomial 2 x 2 + 7x - 4.

Vi ser koeffisienten en = 2.

La oss nå finne røttene til trinomialet. For å gjøre dette, setter vi likhetstegn mellom den til null og løser ligningen

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Hvordan en slik likning løses - se avsnittet "Formler for røttene til en andregradsligning. Diskriminerende". Her navngir vi umiddelbart resultatet av beregningene. Trinomialet vårt har to røtter:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

La oss erstatte verdiene til røttene i formelen vår, og ta ut fra parentes verdien av koeffisienten en, og vi får:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

Resultatet som oppnås kan skrives annerledes ved å multiplisere koeffisienten 2 med binomialet x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Problemet er løst: trinomialet dekomponeres i faktorer.

En slik dekomponering kan oppnås for ethvert kvadratisk trinomium med røtter.

MERK FØLGENDE!

Hvis diskriminanten til et kvadrattrinomial er null, har dette trinomialet én rot, men når trinomialet dekomponeres, tas denne roten som verdien av to røtter - det vil si som samme verdi x 1 ogx 2 .

For eksempel har et trinomium en rot lik 3. Deretter x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.

I denne leksjonen vil vi lære hvordan du kan dekomponere kvadrattrinomialer til lineære faktorer. For dette er det nødvendig å huske Vietas teorem og dens inverse. Denne ferdigheten vil hjelpe oss raskt og enkelt å dekomponere kvadrattrinomialer til lineære faktorer, og også forenkle reduksjonen av brøker som består av uttrykk.

Så tilbake til den andregradsligningen, hvor .

Det vi har på venstre side kalles kvadrattrinomialet.

Teoremet er sant: Hvis er røttene til et kvadratisk trinomium, så er identiteten sann

Hvor er den ledende koeffisienten, er røttene til ligningen.

Så vi har en andregradsligning - et kvadrattrinomial, hvor røttene til kvadratisk likning også kalles røttene til kvadrattrinomialet. Derfor, hvis vi har røttene til et kvadratisk trinomium, blir dette trinomialet dekomponert i lineære faktorer.

Bevis:

Beviset for dette faktum utføres ved å bruke Vieta-teoremet, som vi vurderte i tidligere leksjoner.

La oss huske hva Vietas teorem forteller oss:

Hvis er røttene til et kvadratisk trinomium som , da .

Denne teoremet innebærer følgende påstand om at .

Vi ser at i henhold til Vieta-teoremet, det vil si å erstatte disse verdiene i formelen ovenfor, får vi følgende uttrykk

Q.E.D.

Husk at vi beviste teoremet om at hvis er røttene til et kvadratisk trinomium, så er dekomponeringen gyldig.

La oss nå huske et eksempel på en kvadratisk ligning, som vi valgte røttene til ved å bruke Vietas teorem. Fra dette faktum kan vi oppnå følgende likhet takket være det beviste teoremet:

La oss nå sjekke riktigheten av dette faktum ved ganske enkelt å utvide parentesene:

Vi ser at vi faktoriserte riktig, og ethvert trinomium, hvis det har røtter, kan i henhold til denne teoremet faktoriseres til lineære faktorer i henhold til formelen

La oss imidlertid sjekke om en slik faktorisering er mulig for en ligning:

La oss ta ligningen for eksempel. La oss først sjekke tegnet til diskriminanten

Og vi husker at for å oppfylle teoremet vi har lært, må D være større enn 0, derfor er det i dette tilfellet umulig å faktorisere i henhold til det studerte teoremet.

Derfor formulerer vi et nytt teorem: hvis et kvadratisk trinomium ikke har noen røtter, kan det ikke dekomponeres i lineære faktorer.

Så vi har vurdert Vieta-teoremet, muligheten for å dekomponere et kvadratisk trinomium i lineære faktorer, og nå skal vi løse flere problemer.

Oppgave 1

I denne gruppen vil vi faktisk løse problemet omvendt til det som ble stilt. Vi hadde en ligning, og vi fant dens røtter, og dekomponerte i faktorer. Her vil vi gjøre det motsatte. La oss si at vi har røttene til en andregradsligning

Det omvendte problemet er dette: skriv en andregradsligning slik at det var røttene.

Det er 2 måter å løse dette problemet på.

Siden er røttene til ligningen, da er en andregradsligning hvis røtter er gitt tall. La oss nå åpne parentesene og sjekke:

Dette var den første måten vi laget en andregradsligning med gitte røtter som ikke har noen andre røtter, siden enhver annengradsligning har maksimalt to røtter.

Denne metoden innebærer bruk av det inverse Vieta-teoremet.

Hvis er røttene til ligningen, tilfredsstiller de betingelsen om at .

For den reduserte andregradsligningen , , dvs. i dette tilfellet , og .

Dermed har vi laget en andregradsligning som har de gitte røttene.

Oppgave #2

Du må redusere brøkdelen.

Vi har et trinomium i telleren og et trinomium i nevneren, og trinomialene kan være faktorisert eller ikke. Hvis både telleren og nevneren er faktorisert, kan det blant dem være like faktorer som kan reduseres.

Først av alt er det nødvendig å faktorisere telleren.

Først må du sjekke om denne ligningen kan faktoriseres, finn diskriminanten . Siden , så fortegnet avhenger av produktet ( må være mindre enn 0), i dette eksemplet , det vil si at den gitte ligningen har røtter.

For å løse bruker vi Vieta-teoremet:

I dette tilfellet, siden vi har å gjøre med røtter, vil det være ganske vanskelig å bare plukke opp røttene. Men vi ser at koeffisientene er balansert, dvs. hvis vi antar at , og erstatter denne verdien i ligningen, får vi følgende system: dvs. 5-5=0. Dermed har vi valgt en av røttene til denne kvadratiske ligningen.

Vi vil se etter den andre roten ved å erstatte det som allerede er kjent inn i likningssystemet, for eksempel , dvs. .

Dermed har vi funnet begge røttene til den kvadratiske ligningen og kan erstatte verdiene deres i den opprinnelige ligningen for å faktorisere den:

Husk det opprinnelige problemet, vi trengte å redusere brøkdelen.

La oss prøve å løse problemet ved å erstatte i stedet for telleren.

Det er nødvendig å ikke glemme at i dette tilfellet kan nevneren ikke være lik 0, dvs.

Hvis disse betingelsene er oppfylt, har vi redusert den opprinnelige brøken til formen .

Oppgave #3 (oppgave med en parameter)

Ved hvilke verdier av parameteren er summen av røttene til kvadratisk ligning

Hvis røttene til denne ligningen eksisterer, da , spørsmålet er når .

Faktorisering av kvadrattrinomialer er en av skoleoppgavene som alle møter før eller siden. Hvordan gjøre det? Hva er formelen for å faktorisere et kvadratisk trinomium? La oss gå gjennom det trinn for trinn med eksempler.

Generell formel

Faktoriseringen av kvadrattrinomialer utføres ved å løse en andregradsligning. Dette er en enkel oppgave som kan løses ved flere metoder – ved å finne diskriminanten, ved å bruke Vieta-setningen, er det også en grafisk måte å løse den på. De to første metodene studeres på videregående.

Den generelle formelen ser slik ut:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritme for oppgaveutførelse

For å faktorisere kvadrattrinomialer må du kjenne til Wits teorem, ha et program for løsning for hånden, kunne finne en løsning grafisk eller lete etter røttene til en likning av andre grad gjennom diskriminantformelen. Hvis et kvadratisk trinomium er gitt og det må faktoriseres, er handlingsalgoritmen som følger:

1) Lik det opprinnelige uttrykket til null for å få ligningen.

2) Gi lignende vilkår (hvis nødvendig).

3) Finn røttene ved hjelp av en kjent metode. Den grafiske metoden brukes best hvis det er kjent på forhånd at røttene er heltall og små tall. Det må huskes at antall røtter er lik den maksimale graden av ligningen, det vil si at kvadratisk ligning har to røtter.

4) Erstatningsverdi X til uttrykk (1).

5) Skriv ned faktoriseringen av kvadrattrinomialer.

Eksempler

Øvelse lar deg endelig forstå hvordan denne oppgaven utføres. Eksempler illustrerer faktoriseringen av et kvadratisk trinomium:

du må utvide uttrykket:

La oss bruke algoritmen vår:

1) x 2 -17x+32=0

2) lignende vilkår reduseres

3) i henhold til Vieta-formelen er det vanskelig å finne røttene til dette eksemplet, derfor er det bedre å bruke uttrykket for diskriminanten:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Bytt ut røttene vi fant i hovedformelen for utvidelse:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Da vil svaret være:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

La oss sjekke om løsningene funnet av diskriminanten samsvarer med Vieta-formlene:

14,845 . 2,155=32

For disse røttene brukes Vieta-setningen, de ble funnet riktig, noe som betyr at faktoriseringen vi fikk også er riktig.

På samme måte utvider vi 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

I det forrige tilfellet var løsningene ikke-heltall, men reelle tall, som er enkle å finne med en kalkulator foran deg. Tenk nå på et mer komplekst eksempel der røttene er komplekse: faktoriser x 2 + 4x + 9. I følge Vieta-formelen kan ikke røttene bli funnet, og diskriminanten er negativ. Røttene vil være på det komplekse planet.

D=-20

Basert på dette får vi røttene vi er interessert i -4 + 2i * 5 1/2 og -4-2i * 5 1/2 fordi (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Vi oppnår ønsket ekspansjon ved å erstatte røttene i den generelle formelen.

Et annet eksempel: du må faktorisere uttrykket 23x 2 -14x + 7.

Vi har ligningen 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Så røttene er 14+21,166i og 14-21,166i. Svaret vil være:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

La oss gi et eksempel som kan løses uten hjelp fra diskriminanten.

La det være nødvendig å dekomponere den kvadratiske ligningen x 2 -32x + 255. Det kan selvsagt også løses av diskriminanten, men det går raskere i dette tilfellet å finne røttene.

x 1 = 15

x2=17

Midler x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Et kvadratisk trinomium er et polynom av formen ax^2 + bx + c, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, dessuten a ≠ 0.

For å faktorisere et trinomium, må du kjenne røttene til dette trinomialet. (heretter et eksempel på trinomialet 5x^2 + 3x- 2)

Merk: verdien av kvadrattrinomialet 5x^2 + 3x - 2 avhenger av verdien av x. For eksempel: Hvis x = 0, så er 5x^2 + 3x - 2 = -2

Hvis x = 2, så er 5x^2 + 3x - 2 = 24

Hvis x = -1, så er 5x^2 + 3x - 2 = 0

Når x \u003d -1, forsvinner kvadrattrinomialet 5x ^ 2 + 3x - 2, i dette tilfellet kalles tallet -1 roten av et kvadratisk trinomium.

Hvordan finne roten til ligningen

La oss forklare hvordan vi fikk roten til denne ligningen. Først må du tydelig kjenne teoremet og formelen som vi skal jobbe med:

"Hvis x1 og x2 er røttene til kvadrattrinomialet ax^2 + bx + c, så ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Denne formelen for å finne røttene til et polynom er den mest primitive formelen, som du aldri vil bli forvirret med.

Uttrykk 5x^2 + 3x - 2.

1. Lik null: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Vi finner røttene til den kvadratiske ligningen, for dette erstatter vi verdiene i formelen (a er koeffisienten for X ^ 2, b er koeffisienten for X, et fritt ledd, det vil si en figur uten X):

Vi finner den første roten med et plusstegn foran kvadratroten:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Den andre roten med et minustegn før kvadratroten:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Så vi fant røttene til kvadrattrinomialet. For å være sikker på at de er riktige, kan du sjekke: først erstatter vi den første roten i ligningen, deretter den andre:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Hvis ligningen forsvinner etter å ha erstattet alle røttene, er ligningen løst riktig.

3. La oss nå bruke formelen fra teoremet: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), husk at X1 og X2 er røttene til andregradsligningen. Så: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. For å være sikker på at dekomponeringen er riktig, kan du ganske enkelt multiplisere parentesene:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. Som bekrefter riktigheten av vedtaket.

Det andre alternativet for å finne røttene til et kvadratisk trinomium

Et annet alternativ for å finne røttene til et kvadratisk trinomium er den inverse teoremet til Viettes teorem. Her er røttene til den kvadratiske ligningen funnet av formlene: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Men det er viktig å forstå at denne teoremet bare kan brukes hvis koeffisienten er \u003d 1, det vil si tallet foran x ^ 2 \u003d 1.

For eksempel: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Løsning: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Nå er det viktig å tenke på hvilke tall i produktet som gir en enhet? Naturligvis dette 1 * 1 og -1 * (-1) . Fra disse tallene velger vi de som tilsvarer uttrykket x1 + x2 = 2, selvfølgelig - dette er 1 + 1. Så vi fant røttene til ligningen: x1 = 1, x2 = 1. Dette er enkelt å sjekke om du erstatter x ^ 2 i uttrykket - 2x + 1 = 0.