Numerojärjestelmien perusta. Lukujen muuntaminen erilaisiin lukujärjestelmiin ratkaisulla Kuinka selvittää lukujärjestelmän kanta

Voit syöttää joko kokonaislukuja, kuten 34, tai murtolukuja, kuten 637,333 . Murtolukujen kohdalla ilmoitetaan desimaalipilkun jälkeisen käännöksen tarkkuus.

Tämän laskimen kanssa käytetään myös seuraavia:

Tapoja esittää numeroita

Algoritmi lukujen muuntamiseksi numerojärjestelmästä toiseen

Esimerkki #1.



Käännös numerojärjestelmästä 2-8-16.
Nämä järjestelmät ovat kahden kerrannaisia, joten käännös suoritetaan vastaavuustaulukon avulla (katso alla).

Jos haluat muuntaa luvun binäärilukujärjestelmästä oktaaliluvuksi (heksadesimaaliluvuksi), binääriluku on jaettava kolmen (heksadesimaaliluvun osalta neljä) numeron ryhmiin pilkusta oikealle ja vasemmalle täydentäen ääriryhmiä nolilla jos välttämätöntä. Jokainen ryhmä korvataan vastaavalla oktaali- tai heksadesimaalinumerolla.

Esimerkki #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
tässä 001=1; 010=2; 111 = 7; 010=2; 101 = 5; 001=1

Kun muunnat heksadesimaalimuotoon, sinun on jaettava luku neljän numeron osiin samojen sääntöjen mukaisesti.
Esimerkki #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
tässä 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Lukujen muuntaminen luvuista 2, 8 ja 16 desimaalijärjestelmään suoritetaan jakamalla luku erillisiin ja kertomalla se järjestelmän kantaluvulla (josta luku käännetään) korotettuna sen järjestyslukua vastaavaan potenssiin käännetyssä numerossa. Tässä tapauksessa numerot numeroidaan pilkun vasemmalle puolelle (ensimmäisen numeron numero on 0) kasvaen, ja oikea puoli laskeva (eli negatiivinen merkki). Saadut tulokset lasketaan yhteen.

Esimerkki #4.
Esimerkki muuntamisesta binäärilukujärjestelmästä desimaalilukujärjestelmään.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Esimerkki muuntamisesta oktaalista desimaalilukujärjestelmään. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Esimerkki muuntamisesta heksadesimaalista desimaalilukujärjestelmään. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256 + 0 + 8 + 0,3125 = 264,3125 10

Toistamme jälleen algoritmin numeroiden kääntämiseksi yhdestä numerojärjestelmästä toiseen PSS:ään

1. Desimaalilukujärjestelmästä:
   • jaa luku käännettävän numerojärjestelmän pohjalla;
   • etsi jäännös luvun kokonaislukuosan jakamisen jälkeen;
   • kirjoita muistiin kaikki jaon jäännökset käänteisessä järjestyksessä;
2. Binäärijärjestelmästä
   • Muuntaaksesi desimaalilukujärjestelmään, sinun on löydettävä kantaluvun 2 tulojen summa vastaavalla purkausasteella;
   • Jos haluat muuntaa luvun oktaaliksi, sinun on jaettava luku kolmikoodeiksi.
     Esimerkiksi 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Jos haluat muuntaa luvun binääristä heksadesimaaliksi, sinun on jaettava luku 4 numeron ryhmiin.
     Esimerkiksi 1000110 = 100 0110 = 46 16

Taulukko oktaalilukujärjestelmään muuntamisesta

Esimerkki #2. Muunna luku 100.12 desimaalista oktaaliksi ja päinvastoin. Selitä erojen syyt.
Päätös.
Vaihe 1. .

Jaon loppuosa kirjoitetaan käänteisessä järjestyksessä. Saamme numeron kahdeksannessa numerojärjestelmässä: 144
100 = 144 8

Kääntääksemme luvun murto-osan, kerromme murto-osan peräkkäin kantaluvulla 8. Tämän seurauksena joka kerta kirjoitamme tulon kokonaislukuosan.
0,12*8 = 0,96 (koko osa 0 )
0,96*8 = 7,68 (koko osa 7 )
0,68*8 = 5,44 (koko osa 5 )
0,44*8 = 3,52 (koko osa 3 )
Saamme numeron 8. numerojärjestelmässä: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Vaihe 2. Luvun muuntaminen desimaaliluvusta oktaaliksi.
Käänteinen muunnos oktaalista desimaaliksi.

Kokonaislukuosan kääntämiseksi on tarpeen kertoa luvun numero vastaavalla numeron asteikolla.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Murto-osan kääntämiseksi on tarpeen jakaa luvun numero vastaavalla numeron asteikolla
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Ero 0,0001 (100,12 - 100,1199) johtuu pyöristysvirheestä muunnettaessa oktaaliksi. Tätä virhettä voidaan vähentää, jos otamme suuremman määrän numeroita (esimerkiksi ei 4, vaan 8).

Tietojenkäsittelytieteen kursseilla koulusta tai yliopistosta riippumatta erityinen paikka annetaan sellaiselle käsitteelle kuin numerojärjestelmät. Yleensä siihen on varattu useita oppitunteja tai käytännön harjoituksia. Päätavoitteena ei ole vain oppia aiheen peruskäsitteitä, tutkia lukujärjestelmien tyyppejä, vaan myös tutustua binääri-, oktaali- ja heksadesimaaliaritmetiikkaan.

Mitä se tarkoittaa?

Aloitetaan pääkäsitteen määrittelystä. Kuten oppikirja "Computer Science" toteaa, numerojärjestelmä on numerotietue, joka käyttää erityistä aakkostoa tai tiettyä numerosarjaa.

Riippuen siitä, muuttuuko numeron arvo sen sijainnista numerossa, erotetaan kaksi: paikka- ja ei-paikkalukujärjestelmät.

Paikkajärjestelmissä numeron arvo muuttuu sen paikan mukaan numerossa. Joten jos otamme luvun 234, niin siinä oleva numero 4 tarkoittaa yksikköä, mutta jos tarkastelemme numeroa 243, niin tässä se tarkoittaa jo kymmeniä, ei yksiköitä.

Ei-sijaintijärjestelmissä numeron arvo on staattinen riippumatta sen sijainnista numerossa. Suurin osa loistava esimerkki- keppijärjestelmä, jossa jokainen yksikkö on merkitty viivalla. Riippumatta siitä, mihin asetat sauvan, numeron arvo muuttuu vain yhdellä.

Ei-sijaintijärjestelmät

Ei-paikkanumerojärjestelmiä ovat:

1. Yksi järjestelmä, jota pidetään yhtenä ensimmäisistä. Se käytti tikkuja numeroiden sijaan. Mitä enemmän niitä oli, sitä suurempi oli numeron arvo. Voit tavata esimerkin tällä tavalla kirjoitetuista numeroista elokuvissa, joissa puhutaan mereen eksyneistä ihmisistä, vangeista, jotka merkitsevät joka päivä kiveen tai puuhun lovien avulla.
2. roomalainen, jossa latinalaisia ​​kirjaimia käytettiin numeroiden sijasta. Niiden avulla voit kirjoittaa minkä tahansa numeron. Samalla sen arvo määritettiin käyttämällä luvun muodostavien numeroiden summaa ja erotusta. Jos numeron vasemmalla puolella oli pienempi luku, vasen numero vähennettiin oikeasta, ja jos oikealla oleva numero oli pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmalla oleva numero, niiden arvot laskettiin yhteen. ylös. Esimerkiksi numero 11 kirjoitettiin XI:ksi ja 9 - IX.
3. Kirjaimet, joissa numerot on merkitty tietyn kielen aakkosilla. Yksi niistä on slaavilainen järjestelmä, jossa useilla kirjaimilla ei ollut vain foneettinen, vaan myös numeerinen arvo.
4. jossa tallentamiseen käytettiin vain kahta nimitystä - kiiloja ja nuolia.
5. Egyptissäkin käytettiin erityisiä symboleja osoittamaan numeroita. Numeroa kirjoitettaessa kutakin merkkiä voitiin käyttää enintään yhdeksän kertaa.

Paikkajärjestelmät

Tietojenkäsittelytieteessä kiinnitetään paljon huomiota paikkalukujärjestelmiin. Näitä ovat seuraavat:

• binääri;
• oktaali;
• desimaali;
• heksadesimaali;
• seksagesimaali, käytetään laskettaessa aikaa (esimerkiksi minuutissa - 60 sekuntia, tunnissa - 60 minuuttia).

Jokaisella niistä on omat aakkoset kirjoittamista, käännössääntöjä ja laskutoimituksia varten.

Desimaalijärjestelmä

Tämä järjestelmä on meille tutuin. Se käyttää numeroita 0-9 numeroiden kirjoittamiseen. Niitä kutsutaan myös arabiaksi. Riippuen numeron sijainnista numerossa, se voi tarkoittaa eri numeroita - yksiköitä, kymmeniä, satoja, tuhansia tai miljoonia. Käytämme sitä kaikkialla, tiedämme perussäännöt, joilla aritmeettisia operaatioita suoritetaan numeroille.

Binäärijärjestelmä

Yksi tietojenkäsittelytieteen tärkeimmistä lukujärjestelmistä on binääriluku. Sen yksinkertaisuuden ansiosta tietokone voi suorittaa hankalia laskutoimituksia useita kertoja nopeammin kuin desimaalijärjestelmässä.

Numeroiden kirjoittamiseen käytetään vain kahta numeroa - 0 ja 1. Samanaikaisesti sen arvo muuttuu riippuen 0:n tai 1:n sijainnista numerossa.

Aluksi he saivat kaiken tietokoneiden avulla tarvittavat tiedot. Samalla yksi tarkoitti jännitteellä lähetetyn signaalin läsnäoloa ja nolla sen puuttumista.

Oktaalijärjestelmä

Toinen hyvin tunnettu tietokonenumerojärjestelmä, jossa käytetään numeroita 0 - 7. Sitä käytettiin pääasiassa niillä tietoalueilla, jotka liittyvät digitaalisiin laitteisiin. Mutta viime aikoina sitä on käytetty paljon harvemmin, koska se on korvattu heksadesimaalilukujärjestelmällä.

Binääri desimaali

Suurten lukujen edustaminen binäärijärjestelmässä henkilölle on melko monimutkainen prosessi. Sen yksinkertaistamiseksi se kehitettiin, ja sitä käytetään yleensä elektronisissa kelloissa, laskimissa. Tässä järjestelmässä koko lukua ei muunneta desimaalijärjestelmästä binääriluvuksi, vaan jokainen numero muunnetaan vastaavaksi nollien ja ykkösien joukoksi binäärijärjestelmässä. Sama koskee muuntamista binääriluvusta desimaaliksi. Jokainen numero, joka esitetään nelinumeroisena nollien ja ykkösten joukkona, muunnetaan numeroksi desimaalilukujärjestelmässä. Periaatteessa ei ole mitään monimutkaista.

Numeroiden kanssa työskentelyyn tässä tapauksessa on hyödyllinen numerojärjestelmien taulukko, joka osoittaa numeroiden ja niiden binäärikoodin välisen vastaavuuden.

Heksadesimaalijärjestelmä

Viime aikoina heksadesimaalilukujärjestelmä on tullut yhä suositummaksi ohjelmoinnissa ja tietojenkäsittelytieteessä. Se ei käytä vain numeroita 0-9, vaan myös useita latinalaisia ​​kirjaimia - A, B, C, D, E, F.

Samanaikaisesti jokaisella kirjaimella on oma merkityksensä, joten A=10, B=11, C=12 ja niin edelleen. Jokainen numero esitetään neljän merkin sarjana: 001F.

Numeron muunnos: desimaalista binääriin

Käännös numerojärjestelmissä tapahtuu tiettyjen sääntöjen mukaan. Yleisin muunnos on binääristä desimaaliin ja päinvastoin.

Luvun muuntamiseksi desimaaliluvusta binääriarvoksi on tarpeen jakaa se johdonmukaisesti lukujärjestelmän kannassa, eli luvulla kahdella. Tässä tapauksessa kunkin jaon loppuosa on vahvistettava. Tämä jatkuu, kunnes jaon loppuosa on pienempi tai yhtä suuri kuin yksi. Laskelmat on parasta suorittaa sarakkeessa. Sitten tuloksena saadut jakojäännökset kirjoitetaan merkkijonoon käänteisessä järjestyksessä.

Muunnetaan esimerkiksi luku 9 binääriksi:

Jaamme 9, koska luku ei ole tasaisesti jaollinen, niin otamme luvun 8, jäännös on 9 - 1 = 1.

Kun 8 on jaettu kahdella, saadaan 4. Jaamme sen uudelleen, koska luku jaetaan kahdella - jäännösosaksi saadaan 4 - 4 = 0.

Suoritamme saman toiminnon 2:lla. Jäännös on 0.

Jaon tuloksena saamme 1.

Riippumatta lopullisesta lukujärjestelmästä, numeroiden siirto desimaalista mihin tahansa tapahtuu periaatteen mukaisesti, että luku jaetaan paikkajärjestelmän perusteella.

Numeron muunnos: binääristä desimaalilukuun

On melko helppoa muuntaa luvut binääriluvuista desimaalilukuiksi. Tätä varten riittää, että tiedät säännöt numeroiden nostamisesta potenssiin. Tässä tapauksessa teholla kaksi.

Käännösalgoritmi on seuraava: jokainen binäärinumerokoodin numero on kerrottava kahdella, ja kaksi ensimmäistä on potenssilla m-1, toinen - m-2 ja niin edelleen, missä m on luku koodin numeroista. Lisää sitten summauksen tulokset, jolloin saadaan kokonaisluku.

Koululaisille tämä algoritmi voidaan selittää yksinkertaisemmin:

Aluksi otamme ja kirjoitamme ylös jokainen numero kerrottuna kahdella, sitten laskemme kahden potenssin lopusta alkaen nollasta. Laske sitten yhteen saatu luku.

Esimerkiksi analysoidaan kanssasi aiemmin saatu luku 1001, muunnetaan se desimaalijärjestelmäksi ja tarkistetaan samalla laskelmien oikeellisuus.

Se näyttää tältä:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Tätä aihetta tutkittaessa on kätevää käyttää taulukkoa, jonka potenssit ovat kaksi. Tämä vähentää merkittävästi laskelmiin kuluvaa aikaa.

Muita käännösvaihtoehtoja

Joissakin tapauksissa käännös voidaan suorittaa binääri- ja oktaali-, binääri- ja heksadesimaalilukujen välillä. Tässä tapauksessa voit käyttää erityisiä taulukoita tai ajaa laskinsovellusta tietokoneellasi valitsemalla näkymä-välilehdestä "Ohjelmoija".

Aritmeettiset operaatiot

Riippumatta siitä, missä muodossa numero on esitetty, on mahdollista suorittaa meille tuttuja laskelmia. Tämä voi olla jako- ja kertolasku-, vähennys- ja yhteenlaskua valitsemassasi numerojärjestelmässä. Tietysti jokaisella niistä on omat säännöt.

Joten binäärijärjestelmälle kehitettiin omat taulukot jokaiselle operaatiolle. Samoja taulukoita käytetään muissa paikkajärjestelmissä.

Niitä ei tarvitse muistaa - tulosta vain ja pidä käsillä. Voit myös käyttää laskinta tietokoneellasi.

Yksi tietojenkäsittelytieteen tärkeimmistä aiheista on numerojärjestelmä. Tämän aiheen tunteminen ja algoritmien ymmärtäminen lukujen kääntämiseksi järjestelmästä toiseen takaa sen, että pystyt ymmärtämään monimutkaisempia aiheita, kuten algoritmisoinnin ja ohjelmoinnin, ja pystyt kirjoittamaan ensimmäisen ohjelmasi itse.

Ennen kuin aloitamme ongelmien ratkaisemisen, meidän on ymmärrettävä muutama yksinkertainen seikka.

Tarkastellaan desimaalilukua 875. Numeron (5) viimeinen numero on luvun 875 jaon jäännös 10:llä. Kaksi viimeistä numeroa muodostavat luvun 75 - tämä on luvun 875 jaon jäännös 100:lla. . Samanlaiset väitteet pätevät mille tahansa lukujärjestelmälle:

Numeron viimeinen numero on jakojäännös, joka jaetaan tämän luvun numerojärjestelmän perustalla.

Luvun kaksi viimeistä numeroa ovat luvun jakamisen neliönumerojärjestelmän pohjalla jäännösosa.

Esimerkiksi, . Jaamme 23:n järjestelmän 3 kantaluvulla, saamme 7 ja 2 loppuosan (2 on luvun viimeinen numero kolmiosaisessa järjestelmässä). Jaa 23 9:llä (kanta-neliö), saamme 18 ja 5 loppuosan (5 = ).

Palataan tavalliseen desimaalijärjestelmään. Luku = 100 000. 10 k:n potenssiin on yksi ja k nollaa.

Samanlainen väite pätee mille tahansa numerojärjestelmälle:

Numerojärjestelmän kanta arvon k potenssiin tässä lukujärjestelmässä kirjoitetaan yksikkönä ja k nollana.

Esimerkiksi, .

1. Etsi numerojärjestelmän kanta

Esimerkki 1

Lukujärjestelmässä, jossa on jokin kanta, desimaaliluku 27 kirjoitetaan 30:ksi. Määritä tämä kanta.

Päätös:

Merkitse tarvittava kanta x. Sitten .ts. x=9.

Esimerkki 2

Lukujärjestelmässä, jossa on jokin kanta, desimaaliluku 13 kirjoitetaan 111:ksi. Määritä tämä kanta.

Päätös:

Merkitse tarvittava kanta x. Sitten

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön, saamme juuret 3 ja -4. Koska lukujärjestelmän kanta ei voi olla negatiivinen, vastaus on 3.

Vastaus: 3

Esimerkki 3

Ilmoita pilkuilla erotettuna nousevassa järjestyksessä kaikki niiden numerojärjestelmien kannat, joissa luvun 29 syöttö päättyy viiteen.

Päätös:

Jos jossain järjestelmässä luku 29 päättyy 5:een, niin 5:llä vähennetty luku (29-5 = 24) päättyy nollaan. Olemme jo sanoneet, että luku päättyy nollaan, kun se on jaollinen ilman jäännöstä järjestelmän kantalla. . Nuo. meidän on löydettävä kaikki sellaiset luvut, jotka ovat luvun 24 jakajia. Nämä luvut ovat: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Huomaa, että lukujärjestelmissä, joiden kanta on 2, 3, 4, ei ole lukua 5 (ja muotoilutehtävässä numero 29 päättyy numeroon 5), joten on olemassa järjestelmiä, joiden kanta on: 6, 8, 12,

Vastaus: 6, 8, 12, 24

Esimerkki 4

Ilmoita pilkuilla erotettuna nousevassa järjestyksessä kaikki niiden numerojärjestelmien kannat, joissa luvun 71 syöttö päättyy 13:een.

Päätös:

Jos jossain järjestelmässä luku päättyy 13:een, niin tämän järjestelmän kanta on vähintään 4 (muuten numeroa 3 ei ole).

Kolmella vähennetty luku (71-3=68) päättyy 10:een. 68 on täysin jaollinen järjestelmän vaaditulla kantalla, ja tämän osamäärä jaettuna järjestelmän kantalla antaa jäännöksen 0.

Kirjoitetaan kaikki luvun 68 kokonaislukujakajat: 2, 4, 17, 34, 68.

2 ei sovellu, koska kanta on vähintään 4. Tarkista loput jakajat:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (lepo 1) - sopiva

68:17 = 4; 4:17 = 0 (loput 4) - ei sovellu

68:34 = 2; 2:17 = 0 (lop. 2) - ei sovellu

68:68 = 1; 1:68 = 0 (lepo 1) - sopiva

Vastaus: 4, 68

2. Etsi numeroita ehtojen mukaan

Esimerkki 5

Ilmoita pilkulla erotettuna nousevassa järjestyksessä kaikki desimaaliluvut, jotka eivät ylitä 25:tä ja joiden merkintä nelikantaisessa numerojärjestelmässä päättyy 11:een?

Päätös:

Selvitetään ensin, miltä luku 25 näyttää lukujärjestelmässä, jonka kantaluku on 4.

Nuo. meidän on löydettävä kaikki luvut, jotka eivät ole suurempia kuin , joiden merkintä päättyy 11:een. Jaksottaisen laskennan säännöllä järjestelmässä, jonka kantaluku on 4,
saamme numerot ja . Käännämme ne desimaalilukujärjestelmään:

Vastaus: 5, 21

3. Yhtälöiden ratkaisu

Esimerkki 6

Ratkaise yhtälö:

Kirjoita vastaus muistiin kolmiosaisessa järjestelmässä (vastauksen numerojärjestelmän kantaa ei tarvitse kirjoittaa).

Päätös:

Muunnetaan kaikki luvut desimaalilukujärjestelmään:

Neliöyhtälön juuret -8 ja 6. (koska järjestelmän kanta ei voi olla negatiivinen). .

Vastaus: 20

4. Ykkösten (nollien) laskeminen lausekkeen arvon binäärimerkinnässä

Tämän tyyppisen ongelman ratkaisemiseksi meidän on muistettava, kuinka yhteen- ja vähennyslasku "sarakkeessa" toimii:

Summattaessa tapahtuu päällekkäin kirjoitettujen numeroiden bittikohtainen summa alkaen vähiten merkitsevistä numeroista. Jos tuloksena saatu kahden numeron summa on suurempi tai yhtä suuri kuin lukujärjestelmän kanta, tämän määrän jakamisesta järjestelmän kantaluvulla jäävä osa kirjoitetaan summattujen lukujen alle ja kokonaislukuosa, joka jaetaan tämän määrän kantaluvulla järjestelmän arvo lisätään seuraavien numeroiden summaan.

Vähennyksessä tapahtuu toistensa alle kirjoitettujen numeroiden bittivähennys, alkaen vähiten merkitsevistä numeroista. Jos ensimmäinen numero on pienempi kuin toinen, "lainaamme" yhden viereisestä (suuremmasta) numerosta. Nykyisessä numerossa oleva yksikkö on yhtä suuri kuin numerojärjestelmän kanta. Desimaaliluvulla se on 10, binäärissä 2, ternäärissä 3 ja niin edelleen.

Esimerkki 7

Kuinka monta yksikköä sisältää lausekkeen arvon binäärimerkintä: ?

Päätös:

Esitetään kaikki lausekkeen luvut kahden potenssiina:

Binäärimuodossa kaksi n:n potenssiin näyttää luvulta 1, jota seuraa n nollaa. Sitten summataan ja , saadaan luku, joka sisältää 2 yksikköä:

Nyt saadusta luvusta vähennetään 10000. Vähennyssääntöjen mukaan lainataan seuraavasta numerosta.

Lisää nyt saatuun numeroon 1:

Näemme, että tuloksessa on 2013+1+1=2015 yksikköä.

Harjoitus 1. Mikä desimaalilukujärjestelmän luku vastaa lukua 24 16?

Päätös.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Vastaus. 24 16 = 36 10

Tehtävä 2. Tiedetään, että X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Mikä on luku X desimaalimuodossa?

Päätös.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Etsi luku: X = 6 + 4 + 5 = 15

Vastaus. X = 15 10

Tehtävä 3. Laske summan 10 2 + 45 8 + 10 16 arvo desimaalimuodossa.

Päätös.

Käännetään jokainen termi desimaalilukujärjestelmäksi:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Summa on: 2 + 37 + 16 = 55

Muunna binäärilukujärjestelmään

Harjoitus 1. Mikä on luku 37 binäärilukujärjestelmässä?

Päätös.

Voit muuntaa jakamalla 2:lla ja yhdistämällä loput käänteisessä järjestyksessä.

Toinen tapa on laajentaa luku kahden potenssien summaksi alkaen suurimmasta, jonka laskettu tulos on pienempi kuin annettu luku. Muunnettaessa luvun puuttuvat potenssit tulee korvata nollilla:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Vastaus. 37 10 = 100101 2 .

Tehtävä 2. Kuinka monta merkitsevää nollaa on desimaaliluvun 73 binäärimuodossa?

Päätös.

Jaamme luvun 73 kahden potenssien summaksi aloittaen suurimmasta ja kertomalla puuttuvat potenssit nollalla ja olemassa olevat potenssit yhdellä:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Vastaus. Desimaaliluvun 73 binäärimerkinnässä on neljä merkitsevää nollaa.

Tehtävä 3. Laske x:n ja y:n summa, kun x = D2 16 , y = 37 8 . Esitä tulos binäärilukujärjestelmässä.

Päätös.

Muista, että heksadesimaaliluvun jokainen numero muodostuu neljästä binäärinumerosta ja oktaaliluvun jokainen numero kolmesta:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Lisätään numerot:

11010010 11111 -------- 11110001

Vastaus. Binäärijärjestelmässä esitettyjen lukujen D2 16 ja y = 37 8 summa on 11110001.

Tehtävä 4. Annettu: a= D7 16 , b= 331 8 . Mikä numeroista c, kirjoitettu binäärimuodossa, täyttää ehdon a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Päätös.

Käännetään luvut binäärilukujärjestelmään:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Kaikkien numeroiden neljä ensimmäistä numeroa ovat samat (1101). Siksi vertailu yksinkertaistetaan vähiten merkitsevän neljän numeron vertailuun.

Luettelon ensimmäinen numero on numero b ei siis sovi.

Toinen luku on suurempi kuin b. Kolmas numero on a.

Vain neljäs numero sopii: 0111< 1000 < 1001.

Vastaus. Neljäs vaihtoehto (11011000) täyttää ehdon a< c < b .

Tehtävät arvojen määrittämiseen erilaisissa lukujärjestelmissä ja niiden perusteissa

Harjoitus 1. Merkit @, $, &, % on koodattu kaksinumeroisiksi peräkkäisiksi binääriluvuiksi. Ensimmäinen merkki vastaa numeroa 00. Näitä merkkejä käyttämällä koodattiin seuraava sekvenssi: $% [sähköposti suojattu]$. Dekoodaa tämä sekvenssi ja muunna tulos heksadesimaalimuotoon.

Päätös.

1. Verrataan binäärilukuja niiden koodaamiin merkkeihin:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Käännetään binääriluku heksadesimaalilukujärjestelmäksi:
0111 1010 0001 = 7A1

Vastaus. 7A1 16 .

Tehtävä 2. Puutarhassa on 100 x hedelmäpuita, joista 33 x on omenapuita, 22 x päärynöitä, 16 x luumuja, 17 x kirsikoita. Mikä on lukujärjestelmän (x) kanta.

Päätös.

1. Huomaa, että kaikki termit ovat kaksinumeroisia lukuja. Missä tahansa numerojärjestelmässä ne voidaan esittää seuraavasti:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, missä a ja b ovat luvun vastaavien numeroiden numeroita.
Kolminumeroiselle numerolle se olisi seuraava:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Ongelman tila on seuraava:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Korvaa luvut kaavoissa:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Ratkaise toisen asteen yhtälö:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D:n neliöjuuri on 11.
Toisen yhtälön juuret:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 tai x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Negatiivinen luku ei voi olla lukujärjestelmän kanta. Joten x voi olla vain yhtä suuri kuin 9.

Vastaus. Numerojärjestelmän haluttu kanta on 9.

Tehtävä 3. Lukujärjestelmässä, jossa on jokin kanta, desimaaliluku 12 kirjoitetaan 110:ksi. Etsi tämä kanta.

Päätös.

Ensin kirjoitetaan luku 110 kaavan avulla, jolla numerot kirjoitetaan paikkalukujärjestelmiin, jotta löydetään arvo desimaalilukujärjestelmästä, ja etsitään sitten kanta raa'alla voimalla.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Meidän on saatava 12. Yritämme 2: 2 2 + 2 = 6. Yritämme 3: 3 2 + 3 = 12.

Lukujärjestelmän kanta on siis 3.

Vastaus. Numerojärjestelmän haluttu kanta on 3.

Tehtävä 4. Missä lukujärjestelmässä desimaaliluku 173 olisi 445?

Päätös.
Merkitään tuntematon kanta X:llä. Kirjoitamme seuraavan yhtälön:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Ottaen huomioon, että mikä tahansa positiivinen luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin 1, kirjoitamme yhtälön uudelleen (emme ilmoita kantaa 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Tietenkin tällainen toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia, mutta on olemassa yksinkertaisempi ratkaisu. Vähennä oikeasta ja vasemmasta osasta 4. Saamme
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 tai 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Täältä saamme 2 * X + 1 \u003d 13 (hylkäämme negatiivisen juuren). Tai X = 6.
Vastaus: 173 10 = 445 6

Tehtäviä lukujärjestelmien useiden kantatietojen löytämiseksi

On olemassa tehtäväryhmä, jossa on lueteltava (nousevassa tai laskevassa järjestyksessä) kaikki lukujärjestelmien perusteet, joissa tietyn luvun esitys päättyy tiettyyn numeroon. Tämä tehtävä ratkaistaan ​​melko yksinkertaisesti. Ensin sinun on vähennettävä annettu numero alkuperäisestä numerosta. Tuloksena oleva luku on numerojärjestelmän ensimmäinen kanta. Ja kaikki muut kannat voivat olla vain tämän luvun jakajia. (Tämä väite on todistettu lukujen muunnossäännön perusteella lukujärjestelmästä toiseen - katso kohta 4). Muista vain se numerojärjestelmän kanta ei voi olla pienempi kuin annettu numero!

Esimerkki
Ilmoita pilkuilla erotettuna nousevassa järjestyksessä kaikki niiden numerojärjestelmien kannat, joissa luvun 24 syöttö päättyy 3:een.

Päätös
24 - 3 \u003d 21 on ensimmäinen kanta (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 on jaollinen 3:lla ja 7:llä. Luku 3 ei sovellu, koska Perus3-lukujärjestelmässä ei ole 3:a.
Vastaus: 7, 21