რიცხვითი სისტემების ბაზა. რიცხვების გადაყვანა სხვადასხვა რიცხვთა სისტემებში ამოხსნით როგორ გავარკვიოთ რიცხვითი სისტემის საფუძველი

თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ მთელი რიცხვები, როგორიცაა 34, ან წილადი რიცხვები, როგორიცაა 637.333. წილადი რიცხვებისთვის მითითებულია ათწილადის შემდეგ თარგმნის სიზუსტე.

ამ კალკულატორთან ერთად გამოიყენება შემდეგი:

რიცხვების წარმოდგენის გზები

რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეში გადაყვანის ალგორითმი

მაგალითი #1.



თარგმანი 2-დან 8-დან 16-მდე ნომრის სისტემა.
ეს სისტემები ორზე მრავლობითია, ამიტომ თარგმანი ხორციელდება კორესპონდენციის ცხრილის გამოყენებით (იხ. ქვემოთ).

ორობითი რიცხვების სისტემიდან რიცხვის რვადიან (თექვსმეტობით) რიცხვად გადასაყვანად, აუცილებელია ორობითი რიცხვის დაყოფა სამ (ოთხი თექვსმეტობითი) ციფრის ჯგუფებად მძიმიდან მარჯვნივ და მარცხნივ, უკიდურესი ჯგუფების შევსება ნულებით. თუ საჭიროა. თითოეული ჯგუფი იცვლება შესაბამისი რვადი ან თექვსმეტობითი ციფრით.

მაგალითი #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
აქ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

თექვსმეტობით რიცხვში გადაყვანისას, თქვენ უნდა დაყოთ რიცხვი ნაწილებად, თითო ოთხნიშნა, იგივე წესების დაცვით.
მაგალითი #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
აქ 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

რიცხვების 2, 8 და 16-დან ათობითი სისტემაში გადაქცევა ხდება რიცხვის ცალკეულ რიცხვებად დაყოფით და მისი რიგითი რიცხვის შესაბამის ხარისხზე გაზრდის სისტემის ფუძეზე (საიდანაც რიცხვი ითარგმნება) გამრავლებით. ნათარგმნ ნომერში. ამ შემთხვევაში რიცხვები ინომრება მძიმის მარცხნივ (პირველ რიცხვს აქვს რიცხვი 0) გაზრდით და მარჯვენა მხარემცირდება (ანუ უარყოფითი ნიშნით). მიღებული შედეგები ემატება.

მაგალითი #4.
ორობითი რიცხვების ათწილადში გადაყვანის მაგალითი.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 რვადიანიდან ათწილად რიცხვთა სისტემაში გადაყვანის მაგალითი. 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 თექვსმეტობითი რიცხვების ათწილადში გადაყვანის მაგალითი. 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ რიცხვების თარგმნის ალგორითმს ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორე PSS-ზე

1. ათობითი რიცხვების სისტემიდან:
   • რიცხვის გაყოფა თარგმნილი რიცხვითი სისტემის საფუძვლებზე;
   • ნაშთის პოვნა რიცხვის მთელი ნაწილის გაყოფის შემდეგ;
   • ჩაწერეთ ყველა ნაშთი გაყოფიდან საპირისპირო თანმიმდევრობით;
2. ბინარული სისტემიდან
   • ათობითი რიცხვების სისტემაში გადასაყვანად, თქვენ უნდა იპოვოთ მე-2 ფუძის ნამრავლების ჯამი გამონადენის შესაბამისი ხარისხით;
   • რიცხვის რვადში გადასაყვანად, თქვენ უნდა დაყოთ რიცხვი ტრიადებად.
     მაგალითად, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • რიცხვის ბინარულიდან თექვსმეტობით რიცხვში გადასაყვანად, თქვენ უნდა დაყოთ რიცხვი 4 ციფრიან ჯგუფებად.
     მაგალითად, 1000110 = 100 0110 = 46 16

ცხრილი რვა რიცხვების სისტემაში გადასაყვანად

მაგალითი #2. გადაიყვანეთ რიცხვი 100.12 ათწილადიდან რვადიანად და პირიქით. ახსენით შეუსაბამობების მიზეზები.
გადაწყვეტილება.
ეტაპი 1. .

გაყოფის დარჩენილი ნაწილი იწერება საპირისპირო თანმიმდევრობით. მე-8 რიცხვთა სისტემაში ვიღებთ რიცხვს: 144
100 = 144 8

რიცხვის წილადი ნაწილის გადასათარგმნად წილადის ნაწილს თანმიმდევრულად ვამრავლებთ მე-8 ფუძეზე. შედეგად, ყოველ ჯერზე ვაწერთ ნამრავლის მთელ ნაწილს.
0.12*8 = 0.96 (მთელი ნაწილი 0 )
0.96*8 = 7.68 (მთელი ნაწილი 7 )
0.68*8 = 5.44 (მთელი ნაწილი 5 )
0.44*8 = 3.52 (მთელი ნაწილი 3 )
მე-8 ნომრის სისტემაში ვიღებთ ნომერს: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

ეტაპი 2. რიცხვის გადაყვანა ათწილადიდან რვადიანად.
შებრუნებული კონვერტაცია რვადან ათწილადში.

მთელი ნაწილის თარგმნისთვის აუცილებელია რიცხვის ციფრი გავამრავლოთ ციფრის შესაბამის ხარისხზე.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

წილადი ნაწილის თარგმნისთვის აუცილებელია რიცხვის ციფრი გავყოთ ციფრის შესაბამის ხარისხზე.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
0.0001 (100.12 - 100.1199) განსხვავება გამოწვეულია დამრგვალების შეცდომით რვადში გადაყვანისას. ეს შეცდომა შეიძლება შემცირდეს, თუ ავიღებთ უფრო დიდ რაოდენობას (მაგალითად, არა 4, არამედ 8).

კომპიუტერული მეცნიერების კურსში, სკოლისა თუ უნივერსიტეტის მიუხედავად, განსაკუთრებული ადგილი ეთმობა ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა რიცხვითი სისტემები. როგორც წესი, ამისთვის რამდენიმე გაკვეთილი თუ პრაქტიკული სავარჯიშოა გამოყოფილი. მთავარი მიზანია არა მხოლოდ თემის ძირითადი ცნებების შესწავლა, რიცხვითი სისტემების ტიპების შესწავლა, არამედ ორობითი, რვადი და თექვსმეტობითი არითმეტიკის გაცნობა.

Რას ნიშნავს?

დავიწყოთ მთავარი კონცეფციის განმარტებით. როგორც სახელმძღვანელოში „კომპიუტერული მეცნიერება“ აღნიშნულია, რიცხვითი სისტემა არის რიცხვების ჩანაწერი, რომელიც იყენებს სპეციალურ ანბანს ან რიცხვთა კონკრეტულ კომპლექტს.

იმის მიხედვით, იცვლება თუ არა ციფრის მნიშვნელობა რიცხვში მისი პოზიციიდან, განასხვავებენ ორს: პოზიციურ და არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემას.

პოზიციურ სისტემებში ციფრის მნიშვნელობა იცვლება რიცხვში მისი პოზიციის მიხედვით. ასე რომ, თუ ავიღებთ რიცხვს 234, მაშინ მასში რიცხვი 4 ნიშნავს ერთეულებს, მაგრამ თუ გავითვალისწინებთ რიცხვს 243, მაშინ აქ უკვე ნიშნავს ათეულებს და არა ერთეულებს.

არაპოზიციურ სისტემებში ციფრის მნიშვნელობა სტატიკურია, მიუხედავად მისი პოზიციისა რიცხვში. უმეტესობა მთავარი მაგალითი- ჯოხის სისტემა, სადაც თითოეული ერთეული მითითებულია ტირეთი. არ აქვს მნიშვნელობა სად მიაკუთვნებთ კვერთხს, ნომრის მნიშვნელობა შეიცვლება მხოლოდ ერთით.

არაპოზიციური სისტემები

არაპოზიციური რიცხვების სისტემები მოიცავს:

1. ერთიანი სისტემა, რომელიც ითვლება ერთ-ერთ პირველთაგანი. რიცხვების ნაცვლად ჯოხებს იყენებდა. რაც მეტი იყო, მით უფრო დიდი იყო რიცხვის მნიშვნელობა. ასე დაწერილი რიცხვების მაგალითს შეგიძლიათ შეხვდეთ ფილმებში, სადაც საუბარია ზღვაში დაკარგულ ადამიანებზე, პატიმრებზე, რომლებიც ყოველ დღე აღნიშნავენ ქვაზე ან ხეზე ჭრილების დახმარებით.
2. რომაული, რომელშიც რიცხვების ნაცვლად ლათინური ასოები იყო გამოყენებული. მათი გამოყენებით შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი. ამავდროულად, მისი ღირებულება განისაზღვრა რიცხვის შემადგენელი ციფრების ჯამისა და სხვაობის გამოყენებით. თუ ციფრის მარცხნივ უფრო მცირე რიცხვი იყო, მაშინ მარცხენა ციფრს აკლებდნენ მარჯვენას, ხოლო თუ მარჯვნივ მყოფი ციფრი იყო მარცხნივ ციფრზე ნაკლები ან ტოლი, მაშინ მათი მნიშვნელობები ჯამდებოდა. ზევით. მაგალითად, რიცხვი 11 დაიწერა როგორც XI, ხოლო 9 - IX.
3. ასოები, რომლებშიც რიცხვები აღინიშნა კონკრეტული ენის ანბანის გამოყენებით. ერთ-ერთი მათგანია სლავური სისტემა, რომელშიც რამდენიმე ასოს არა მხოლოდ ფონეტიკური, არამედ რიცხვითი მნიშვნელობაც ჰქონდა.
4. რომელშიც ჩასაწერად გამოიყენებოდა მხოლოდ ორი აღნიშვნა - სოლი და ისრები.
5. ეგვიპტეშიც რიცხვების აღსანიშნავად იყენებდნენ სპეციალურ სიმბოლოებს. რიცხვის დაწერისას, თითოეული სიმბოლო შეიძლება გამოყენებულ იქნას არაუმეტეს ცხრაჯერ.

პოზიციური სისტემები

კომპიუტერულ მეცნიერებაში დიდი ყურადღება ეთმობა პოზიციურ რიცხვთა სისტემებს. ეს მოიცავს შემდეგს:

• ორობითი;
• რვაფეხა;
• ათობითი;
• თექვსმეტობითი;
• sexagesimal, გამოიყენება დროის დათვლისას (მაგალითად, წუთში - 60 წამში, საათში - 60 წუთში).

თითოეულ მათგანს აქვს წერის საკუთარი ანბანი, თარგმანის წესები და არითმეტიკული ოპერაციები.

ათობითი სისტემა

ეს სისტემა ჩვენთვის ყველაზე ნაცნობია. ის იყენებს რიცხვებს 0-დან 9-მდე რიცხვების დასაწერად. მათ ასევე უწოდებენ არაბულს. რიცხვში ციფრის პოზიციიდან გამომდინარე, მას შეუძლია აღნიშნოს სხვადასხვა ციფრი - ერთეული, ათეული, ასეული, ათასობით ან მილიონი. ჩვენ მას ყველგან ვიყენებთ, ვიცით ძირითადი წესები, რომლითაც არითმეტიკული მოქმედებები სრულდება რიცხვებზე.

ორობითი სისტემა

კომპიუტერულ მეცნიერებაში ერთ-ერთი მთავარი რიცხვითი სისტემა ბინარულია. მისი სიმარტივე საშუალებას აძლევს კომპიუტერს შეასრულოს უხერხული გამოთვლები რამდენჯერმე უფრო სწრაფად, ვიდრე ათობითი სისტემაში.

რიცხვების ჩასაწერად გამოიყენება მხოლოდ ორი ციფრი - 0 და 1. ამავე დროს, რიცხვში 0 ან 1-ის პოზიციიდან გამომდინარე, მისი მნიშვნელობა შეიცვლება.

თავიდან სწორედ კომპიუტერების დახმარებით მიიღეს ყველა საჭირო ინფორმაცია. ამავდროულად, ერთი ნიშნავდა ძაბვის გამოყენებით გადაცემული სიგნალის არსებობას, ხოლო ნული ნიშნავს მის არარსებობას.

ოქტალური სისტემა

კიდევ ერთი ცნობილი კომპიუტერული ნომრის სისტემა, რომელშიც გამოიყენება რიცხვები 0-დან 7-მდე. იგი გამოიყენებოდა ძირითადად ცოდნის იმ სფეროებში, რომლებიც დაკავშირებულია ციფრულ მოწყობილობებთან. მაგრამ ცოტა ხნის წინ იგი გამოიყენებოდა ბევრად უფრო იშვიათად, რადგან იგი შეიცვალა თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემით.

ორობითი ათობითი

ორობით სისტემაში დიდი რიცხვების წარმოდგენა ადამიანისთვის საკმაოდ რთული პროცესია. გასამარტივებლად შემუშავდა ის ჩვეულებრივ გამოიყენება ელექტრონულ საათებში, კალკულატორებში. ამ სისტემაში მთელი რიცხვი არ გარდაიქმნება ათობითი სისტემიდან ორობითად, მაგრამ თითოეული ციფრი ითარგმნება ორობითი სისტემის ნულებისა და ერთეულების შესაბამის სიმრავლეში. იგივე ეხება ბინარულიდან ათწილადში გადაყვანას. ყოველი ციფრი, რომელიც წარმოდგენილია ნულებისა და ერთეულების ოთხნიშნა კომპლექტით, ითარგმნება ციფრად ათობითი რიცხვების სისტემაში. პრინციპში, არაფერია რთული.

ციფრებთან მუშაობისთვის, ამ შემთხვევაში, სასარგებლოა რიცხვითი სისტემების ცხრილი, რომელიც მიუთითებს რიცხვებსა და მათ ორობით კოდს შორის შესაბამისობას.

თექვსმეტობითი სისტემა

ბოლო დროს თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემა სულ უფრო პოპულარული გახდა პროგრამირებასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. იგი იყენებს არა მხოლოდ ციფრებს 0-დან 9-მდე, არამედ ლათინური ასოების რაოდენობას - A, B, C, D, E, F.

ამავდროულად, თითოეულ ასოს აქვს თავისი მნიშვნელობა, ამიტომ A=10, B=11, C=12 და ა.შ. თითოეული რიცხვი წარმოდგენილია ოთხი სიმბოლოს ნაკრებით: 001F.

რიცხვის კონვერტაცია: ათობითიდან ორობითში

რიცხვთა სისტემებში თარგმნა ხდება გარკვეული წესების მიხედვით. ყველაზე გავრცელებული კონვერტაცია არის ბინარულიდან ათწილადში და პირიქით.

რიცხვის ათწილადიდან ორობითად გადაქცევისთვის აუცილებელია მისი თანმიმდევრულად გაყოფა რიცხვითი სისტემის ფუძეზე, ანუ რიცხვზე ორი. ამ შემთხვევაში, თითოეული განყოფილების დარჩენილი ნაწილი უნდა დაფიქსირდეს. ეს გაგრძელდება მანამ, სანამ გაყოფის დარჩენილი ნაწილი არ იქნება ერთზე ნაკლები ან ტოლი. უმჯობესია გამოთვლების ჩატარება სვეტში. შემდეგ მიღებული გაყოფის ნაშთები იწერება სტრიქონზე საპირისპირო თანმიმდევრობით.

მაგალითად, გადავიყვანოთ რიცხვი 9 ორობითად:

ჩვენ ვყოფთ 9-ს, რადგან რიცხვი არ არის თანაბრად იყოფა, მაშინ ვიღებთ რიცხვს 8, დარჩენილი იქნება 9 - 1 = 1.

8-ის 2-ზე გაყოფის შემდეგ მივიღებთ 4-ს. ისევ ვყოფთ, ვინაიდან რიცხვი იყოფა ორზე - ნაშთში მივიღებთ 4 - 4 = 0.

იგივე ოპერაციას ვასრულებთ 2-ით. ნაშთი არის 0.

გაყოფის შედეგად ვიღებთ 1-ს.

საბოლოო რიცხვების სისტემის მიუხედავად, რიცხვების გადატანა ათწილადიდან ნებისმიერ სხვაზე მოხდება რიცხვის პოზიციური სისტემის საფუძველზე გაყოფის პრინციპის მიხედვით.

რიცხვის კონვერტაცია: ბინარულიდან ათწილადში

რიცხვების ათწილადად გადაქცევა ბინარულიდან საკმაოდ მარტივია. ამისათვის საკმარისია იცოდეთ რიცხვების ძალამდე აყვანის წესები. ამ შემთხვევაში, ორი სიმძლავრით.

თარგმნის ალგორითმი ასეთია: ორობითი რიცხვის კოდიდან თითოეული ციფრი უნდა გამრავლდეს ორზე, ხოლო პირველი ორი იქნება m-1 ხარისხზე, მეორე - m-2 და ასე შემდეგ, სადაც m არის რიცხვი. ციფრების კოდი. შემდეგ დაამატეთ მიმატების შედეგები, მიიღეთ მთელი რიცხვი.

სკოლის მოსწავლეებისთვის, ეს ალგორითმი შეიძლება აიხსნას უფრო მარტივად:

დასაწყისისთვის, ვიღებთ და ვწერთ ორზე გამრავლებულ თითოეულ ციფრს, შემდეგ ბოლოდან ჩამოვთვლით ორის ხარისხს ნულიდან დაწყებული. შემდეგ დაამატეთ მიღებული რიცხვი.

მაგალითად, თქვენთან ერთად გავაანალიზოთ ადრე მიღებული რიცხვი 1001, გადავიყვანოთ ის ათობითი სისტემაში და ამავდროულად შევამოწმოთ ჩვენი გამოთვლების სისწორე.

ეს ასე გამოიყურება:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

ამ თემის შესწავლისას მოსახერხებელია გამოიყენოთ ცხრილი ორი სიმძლავრით. ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლებისთვის საჭირო დროს.

თარგმანის სხვა ვარიანტები

ზოგიერთ შემთხვევაში, თარგმანი შეიძლება განხორციელდეს ორობით და რვადიან, ორობით და თექვსმეტობით შორის. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სპეციალური ცხრილები ან გაუშვათ კალკულატორის აპლიკაცია თქვენს კომპიუტერში ხედის ჩანართში "პროგრამისტის" ოფციის არჩევით.

არითმეტიკული მოქმედებები

მიუხედავად იმისა, თუ რა ფორმით არის წარმოდგენილი რიცხვი, შესაძლებელია ჩვენთვის ნაცნობი გამოთვლების განხორციელება. ეს შეიძლება იყოს გაყოფა და გამრავლება, გამოკლება და შეკრება თქვენს მიერ არჩეულ რიცხვთა სისტემაში. რა თქმა უნდა, თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი წესები.

ასე რომ, ბინარული სისტემისთვის შეიმუშავა საკუთარი ცხრილები თითოეული ოპერაციისთვის. იგივე ცხრილები გამოიყენება სხვა პოზიციურ სისტემებში.

არ არის აუცილებელი მათი დამახსოვრება - უბრალოდ დაბეჭდეთ და გქონდეთ ხელთ. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ კალკულატორი თქვენს კომპიუტერში.

კომპიუტერული მეცნიერების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თემაა რიცხვითი სისტემა. ამ თემის ცოდნა, რიცხვების ერთი სისტემიდან მეორეზე გადათარგმნის ალგორითმების გაგება გარანტიაა იმისა, რომ თქვენ შეძლებთ გაიგოთ უფრო რთული თემები, როგორიცაა ალგორითმიზაცია და პროგრამირება, და შეძლებთ დამოუკიდებლად დაწეროთ თქვენი პირველი პროგრამა.

სანამ პრობლემების გადაჭრას დავიწყებთ, უნდა გავიგოთ რამდენიმე მარტივი პუნქტი.

განვიხილოთ ათობითი რიცხვი 875. რიცხვის ბოლო ციფრი (5) არის 875 რიცხვის 10-ზე გაყოფის ნარჩენი. ბოლო ორი ციფრი ქმნის რიცხვს 75 - ეს არის 875 რიცხვის 100-ზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი. მსგავსი განცხადებები მართალია ნებისმიერი რიცხვითი სისტემისთვის:

რიცხვის ბოლო ციფრი არის დარჩენილი რიცხვის გაყოფა რიცხვითი სისტემის ფუძეზე.

რიცხვის ბოლო ორი ციფრი არის დარჩენილი რიცხვის გაყოფა კვადრატული რიცხვების სისტემის ფუძეზე.

Მაგალითად, . 23-ს ვყოფთ მე-3 სისტემის ფუძეზე, დანარჩენში ვიღებთ 7-ს და 2-ს (2 არის რიცხვის ბოლო ციფრი სამეულ სისტემაში). 23 გავყოთ 9-ზე (ფუძე კვადრატში), დანარჩენში მივიღებთ 18-ს და 5-ს (5 = ).

დავუბრუნდეთ ჩვეულებრივ ათობითი სისტემას. რაოდენობა = 100000. 10 k-ის ხარისხზე არის ერთი და k ნული.

მსგავსი განცხადება მართალია ნებისმიერი რიცხვითი სისტემისთვის:

რიცხვთა სისტემის ფუძე k-ის ხარისხზე ამ რიცხვთა სისტემაში იწერება როგორც ერთეული და k ნულები.

Მაგალითად, .

1. მოძებნეთ რიცხვითი სისტემის საფუძველი

მაგალითი 1

რიცხვთა სისტემაში გარკვეული ფუძით, ათობითი რიცხვი 27 იწერება როგორც 30. მიუთითეთ ეს ბაზა.

გადაწყვეტილება:

აღნიშნეთ საჭირო ფუძე x. მაშინ .ე.ი. x=9.

მაგალითი 2

გარკვეული ფუძის მქონე რიცხვთა სისტემაში ათობითი რიცხვი 13 იწერება როგორც 111. მიუთითეთ ეს ბაზა.

გადაწყვეტილება:

აღნიშნეთ საჭირო ფუძე x. მერე

ვხსნით კვადრატულ განტოლებას, ვიღებთ ფესვებს 3 და -4. ვინაიდან რიცხვთა სისტემის საფუძველი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, პასუხი არის 3.

პასუხი: 3

მაგალითი 3

აღმავალი თანმიმდევრობით მძიმით გამოყოფილი მიუთითეთ რიცხვითი სისტემების ყველა საფუძველი, რომლებშიც 29 რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება 5-ით.

გადაწყვეტილება:

თუ რომელიმე სისტემაში რიცხვი 29 მთავრდება 5-ით, მაშინ 5-ით შემცირებული რიცხვი (29-5 = 24) მთავრდება 0-ით. ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ რიცხვი მთავრდება 0-ით, როდესაც იგი იყოფა ნაშთების გარეშე სისტემის ფუძეზე. . იმათ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა ისეთი რიცხვი, რომელიც არის 24 რიცხვის გამყოფი. ეს რიცხვებია: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. გაითვალისწინეთ, რომ 2, 3, 4 ფუძის მქონე რიცხვთა სისტემებში არ არსებობს რიცხვი. 5 (და ფორმულირების პრობლემაში რიცხვი 29 მთავრდება 5-ით), ასე რომ არის სისტემები ბაზებით: 6, 8, 12,

პასუხი: 6, 8, 12, 24

მაგალითი 4

აღმავალი მიმდევრობით მძიმით გამოყოფილი მიუთითეთ რიცხვითი სისტემების ყველა საფუძველი, რომლებშიც 71 რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება 13-ით.

გადაწყვეტილება:

თუ რომელიმე სისტემაში რიცხვი მთავრდება 13-ით, მაშინ ამ სისტემის საფუძველი არის მინიმუმ 4 (თორემ არ არის ნომერი 3).

3-ით შემცირებული რიცხვი (71-3=68) მთავრდება 10-ით. ანუ, 68 მთლიანად იყოფა სისტემის საჭირო ფუძეზე და ამის კოეფიციენტი, როდესაც იყოფა სისტემის ფუძეზე, იძლევა ნარჩენს 0-ს.

მოდით ჩამოვწეროთ 68 რიცხვის ყველა მთელი გამყოფი: 2, 4, 17, 34, 68.

2 არ არის შესაფერისი, რადგან საფუძველი არ არის 4-ზე ნაკლები. შეამოწმეთ დანარჩენი გამყოფები:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (დანარჩენი 1) - შესაფერისი

68:17 = 4; 4:17 = 0 (დასვენება 4) - არ არის შესაფერისი

68:34 = 2; 2:17 = 0 (დასვენება 2) - არ არის შესაფერისი

68:68 = 1; 1:68 = 0 (დასვენება 1) - შესაფერისი

პასუხი: 4, 68

2. მოძებნეთ რიცხვები პირობების მიხედვით

მაგალითი 5

აღმავალი თანმიმდევრობით მძიმით გამოყოფილი მიუთითეთ ყველა ათობითი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 25-ს, რომლის აღნიშვნაც ფუძე ოთხი რიცხვის სისტემაში მთავრდება 11-ით?

გადაწყვეტილება:

პირველ რიგში, მოდით გავარკვიოთ, როგორ გამოიყურება რიცხვი 25 რიცხვთა სისტემაში 4 ფუძით.

იმათ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 11-ს.
ჩვენ ვიღებთ ნომრებს და. ჩვენ ვთარგმნით მათ ათობითი რიცხვების სისტემაში:

პასუხი: 5, 21

3. განტოლებათა ამოხსნა

მაგალითი 6

ამოხსენით განტოლება:

პასუხი ჩაწერეთ სამიანი სისტემით (პასუხში რიცხვითი სისტემის ფუძის ჩაწერა საჭირო არ არის).

გადაწყვეტილება:

მოდით გადავიყვანოთ ყველა რიცხვი ათობითი რიცხვების სისტემაში:

კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვები -8 და 6. (რადგან სისტემის ფუძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი). .

პასუხი: 20

4. ერთეულთა რიცხვის (ნულების) დათვლა გამოხატვის მნიშვნელობის ორობით აღნიშვნაში

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად, უნდა გვახსოვდეს, როგორ მუშაობს შეკრება და გამოკლება "სვეტაში":

დამატებისას ხდება ერთმანეთის ქვეშ ჩაწერილი ციფრების ბიტური ჯამი, დაწყებული ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრებიდან. თუ მიღებული ორი ციფრის ჯამი მეტია ან ტოლია რიცხვითი სისტემის საფუძველზე, ამ თანხის სისტემის ფუძეზე გაყოფის დარჩენილი ნაწილი იწერება შეჯამებული ფიგურების ქვეშ, ხოლო ამ თანხის ფუძეზე გაყოფის მთელი ნაწილი. სისტემის ემატება შემდეგი ციფრების ჯამს.

გამოკლებისას ხდება ერთმანეთის ქვეშ დაწერილი ციფრების ბიტ-ბიტი გამოკლება, დაწყებული ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრებიდან. თუ პირველი ციფრი მეორეზე ნაკლებია, ერთს „ვსესხებთ“ მიმდებარე (დიდი) ციფრიდან. მიმდინარე ციფრში დაკავებული ერთეული უდრის რიცხვთა სისტემის საფუძველს. ათწილადში არის 10, ორობითში არის 2, სამეულში არის 3 და ა.შ.

მაგალითი 7

რამდენ ერთეულს შეიცავს გამოხატვის მნიშვნელობის ორობითი აღნიშვნა: ?

გადაწყვეტილება:

მოდით წარმოვიდგინოთ გამონათქვამის ყველა რიცხვი, როგორც ორი ხარისხები:

ორობითი აღნიშვნით, ორი n-ის ხარისხში ჰგავს 1-ს, რასაც მოჰყვება n ნულები. შემდეგ შევაჯამოთ და მივიღებთ რიცხვს, რომელიც შეიცავს 2 ერთეულს:

ახლა მიღებულ რიცხვს გამოვაკლოთ 10000. გამოკლების წესების მიხედვით ვსესხებთ შემდეგი ციფრიდან.

ახლა მიღებულ რიცხვს დაამატეთ 1:

ჩვენ ვხედავთ, რომ შედეგს აქვს 2013+1+1=2015 ერთეული.

სავარჯიშო 1.ათობითი რიცხვების სისტემაში რომელი რიცხვი შეესაბამება რიცხვს 24 16?

გადაწყვეტილება.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

უპასუხე. 24 16 = 36 10

დავალება 2.ცნობილია, რომ X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . რა არის X რიცხვი ათობითი აღნიშვნით?

გადაწყვეტილება.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
იპოვეთ რიცხვი: X = 6 + 4 + 5 = 15

უპასუხე. X = 15 10

დავალება 3.გამოთვალეთ 10 2 + 45 8 + 10 16 ჯამის მნიშვნელობა ათობითი აღნიშვნით.

გადაწყვეტილება.

მოდით გადავთარგმნოთ თითოეული ტერმინი ათობითი რიცხვების სისტემაში:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
ჯამი არის: 2 + 37 + 16 = 55

გადაიყვანეთ ორობით რიცხვთა სისტემაში

სავარჯიშო 1.რა არის რიცხვი 37 ბინარულ რიცხვთა სისტემაში?

გადაწყვეტილება.

შეგიძლიათ გადაიყვანოთ 2-ზე გაყოფით და ნაშთების საპირისპირო თანმიმდევრობით გაერთიანებით.

კიდევ ერთი გზაა რიცხვის გაფართოება ორი ძალაუფლების ჯამში, დაწყებული ყველაზე მაღალიდან, რომლის გამოთვლილი შედეგი ნაკლებია მოცემულ რიცხვზე. კონვერტაციისას რიცხვის გამოტოვებული სიმძლავრეები უნდა შეიცვალოს ნულებით:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

უპასუხე. 37 10 = 100101 2 .

დავალება 2.რამდენი მნიშვნელოვანი ნული არის ათწილადი რიცხვის 73-ის ორობით გამოსახულებაში?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვანაწილებთ რიცხვს 73-ის ხარისხების ჯამად, დაწყებული უმაღლესით და ვამრავლებთ გამოტოვებულ ხარისხებს ნულზე, ხოლო არსებულებს ერთზე:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

უპასუხე.ათწილადი რიცხვისთვის 73 არის ოთხი მნიშვნელოვანი ნული ორობით აღნიშვნაში.

დავალება 3.გამოთვალეთ x და y ჯამი x = D2 16 , y = 37 8 . შედეგი წარმოადგინეთ ორობითი რიცხვების სისტემაში.

გადაწყვეტილება.

შეგახსენებთ, რომ თექვსმეტობითი რიცხვის თითოეული ციფრი იქმნება ოთხი ბინარული ციფრით, რვა რიცხვის თითოეული ციფრი სამით:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

მოდით დავამატოთ ნომრები:

11010010 11111 -------- 11110001

უპასუხე.ორობით სისტემაში წარმოდგენილი D2 16 და y = 37 8 რიცხვების ჯამი არის 11110001.

დავალება 4.მოცემული: ა= D7 16, ბ= 331 8 . რომელი რიცხვებიდან გორობითი აღნიშვნით დაწერილი, აკმაყოფილებს პირობას ა< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

გადაწყვეტილება.

მოდით გადავთარგმნოთ რიცხვები ბინარულ რიცხვთა სისტემაში:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

ყველა რიცხვისთვის პირველი ოთხი ციფრი ერთნაირია (1101). ამრიგად, შედარება გამარტივებულია ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ოთხი ციფრის შედარებით.

სიაში პირველი ნომერი არის ნომერი ბშესაბამისად, არ ჯდება.

მეორე რიცხვი მეტია ბ. მესამე ნომერი არის ა.

ჯდება მხოლოდ მეოთხე ნომერი: 0111< 1000 < 1001.

უპასუხე.მეოთხე ვარიანტი (11011000) აკმაყოფილებს პირობას ა< c < b .

ამოცანები მნიშვნელობების განსაზღვრისთვის სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში და მათ საფუძვლებში

სავარჯიშო 1.სიმბოლოები @, $, &, % დაშიფრულია ზედიზედ ორნიშნა ორნიშნა რიცხვებში. პირველი სიმბოლო შეესაბამება რიცხვს 00. ამ სიმბოლოების გამოყენებით დაშიფრულია შემდეგი თანმიმდევრობა: $% [ელფოსტა დაცულია]$. გაშიფრეთ ეს თანმიმდევრობა და გადააქციეთ შედეგი თექვსმეტობით.

გადაწყვეტილება.

1. შევადაროთ ორობითი რიცხვები იმ სიმბოლოებს, რომლებსაც ისინი კოდირებენ:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. მოდით გადავიტანოთ ორობითი რიცხვი თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში:
0111 1010 0001 = 7A1

უპასუხე. 7A1 16 .

დავალება 2.ბაღში არის 100 x ხეხილი, აქედან 33 x ვაშლის ხეა, 22 x მსხალი, 16 x ქლიავი, 17 x ალუბალი. რა არის რიცხვითი სისტემის საფუძველი (x).

გადაწყვეტილება.

1. გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ტერმინი ორნიშნა რიცხვია. ნებისმიერ რიცხვთა სისტემაში, ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, სადაც a და b არის რიცხვის შესაბამისი ციფრების ციფრები.
სამნიშნა რიცხვისთვის ეს ასე იქნება:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. პრობლემის პირობა ასეთია:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
ჩაანაცვლეთ რიცხვები ფორმულებში:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. ამოხსენით კვადრატული განტოლება:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D-ის კვადრატული ფესვი არის 11.
კვადრატული განტოლების ფესვები:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ან x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. უარყოფითი რიცხვი არ შეიძლება იყოს რიცხვითი სისტემის საფუძველი. ასე რომ x შეიძლება იყოს მხოლოდ 9-ის ტოლი.

უპასუხე.რიცხვების სისტემის სასურველი საფუძველია 9.

დავალება 3.რიცხვთა სისტემაში გარკვეული ფუძით, ათობითი რიცხვი 12 იწერება როგორც 110. იპოვეთ ეს ფუძე.

გადაწყვეტილება.

ჯერ დავწეროთ რიცხვი 110 პოზიციური რიცხვების სისტემებში რიცხვების ჩაწერის ფორმულით, რათა ვიპოვოთ მნიშვნელობა ათობითი რიცხვების სისტემაში, შემდეგ კი ვიპოვოთ ფუძე უხეში ძალით.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

ჩვენ უნდა მივიღოთ 12. ვცდილობთ 2: 2 2 + 2 = 6. ვცდილობთ 3: 3 2 + 3 = 12.

ანუ რიცხვთა სისტემის საფუძველი არის 3.

უპასუხე.რიცხვების სისტემის სასურველი ბაზა არის 3.

დავალება 4.რომელ რიცხვთა სისტემაში იქნება ათობითი რიცხვი 173 წარმოდგენილი 445-ად?

გადაწყვეტილება.
უცნობ ფუძეს აღვნიშნავთ X-ით. ვწერთ შემდეგ განტოლებას:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
იმის გათვალისწინებით, რომ ნულოვანი სიმძლავრის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი უდრის 1-ს, ჩვენ ხელახლა ვწერთ განტოლებას (არ მივუთითებთ ფუძეს 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
რა თქმა უნდა, ასეთი კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია დისკრიმინანტის გამოყენებით, მაგრამ არსებობს უფრო მარტივი გამოსავალი. გამოვაკლოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს 4-ით. მივიღებთ
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 ან 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
აქედან ვიღებთ 2 * X + 1 \u003d 13 (უარყოფით ფესვს ვტოვებთ). ან X = 6.
პასუხი: 173 10 = 445 6

ამოცანები რიცხვითი სისტემების რამდენიმე ფუძის პოვნისთვის

არსებობს ამოცანების ჯგუფი, რომლებშიც საჭიროა ჩამოთვალოს (აღმავალი ან კლებადი თანმიმდევრობით) რიცხვითი სისტემების ყველა ფუძე, რომლებშიც მოცემული რიცხვის წარმოდგენა მთავრდება მოცემული ციფრით. ეს ამოცანა მოგვარებულია საკმაოდ მარტივად. ჯერ უნდა გამოაკლოთ მოცემული ციფრი თავდაპირველ რიცხვს.შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება რიცხვების სისტემის პირველი საფუძველი. და ყველა სხვა ფუძე შეიძლება იყოს მხოლოდ ამ რიცხვის გამყოფი. (ეს განცხადება დასტურდება რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადატანის წესის საფუძველზე - იხ. პუნქტი 4). უბრალოდ დაიმახსოვრე ეს რიცხვთა სისტემის საფუძველი არ შეიძლება იყოს მოცემულ ციფრზე ნაკლები!

მაგალითი
აღმავალი თანმიმდევრობით მძიმით გამოყოფილი მიუთითეთ რიცხვითი სისტემების ყველა საფუძველი, რომლებშიც 24 რიცხვის ჩანაწერი მთავრდება 3-ით.

გადაწყვეტილება
24 - 3 \u003d 21 არის პირველი ბაზა (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 იყოფა 3-ზე და 7-ზე. რიცხვი 3 არ არის შესაფერისი, რადგან ბაზის 3 რიცხვების სისტემაში არ არის 3.
პასუხი: 7, 21