Grunnlag av tallsystemer. Konvertere tall til forskjellige tallsystemer med løsningen Hvordan finne ut tallsystemets grunnflate

Du kan angi enten hele tall, for eksempel 34 , eller brøktall, for eksempel 637.333 . For brøktall er nøyaktigheten av oversettelsen etter desimaltegnet angitt.

Følgende brukes også med denne kalkulatoren:

Måter å representere tall

Algoritme for å konvertere tall fra ett tallsystem til et annet

Eksempel #1.



Oversettelse fra 2 til 8 til 16 tallsystem.
Disse systemene er multipler av to, derfor utføres oversettelsen ved hjelp av korrespondansetabellen (se nedenfor).

For å konvertere et tall fra et binært tallsystem til et oktalt (heksadesimalt) tall, er det nødvendig å dele det binære tallet i grupper på tre (fire for heksadesimale) sifre fra et komma til høyre og venstre, og komplementere de ekstreme gruppene med nuller hvis nødvendig. Hver gruppe erstattes av det tilsvarende oktale eller heksadesimale sifferet.

Eksempel #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
her 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Når du konverterer til heksadesimalt, må du dele tallet i deler, fire sifre hver, etter de samme reglene.
Eksempel #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
her 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Konverteringen av tall fra 2, 8 og 16 til desimalsystemet utføres ved å dele tallet i separate og multiplisere det med basen til systemet (som tallet er oversatt fra) hevet til potensen som tilsvarer dets ordenstall. i det oversatte nummeret. I dette tilfellet nummereres tallene til venstre for kommaet (det første tallet har tallet 0) med økende, og i høyre side avtagende (dvs. med negativt fortegn). De oppnådde resultatene legges sammen.

Eksempel #4.
Eksempel på konvertering fra binært til desimaltallsystem.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Eksempel på konvertering fra oktalt til desimaltallsystem. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Et eksempel på konvertering fra heksadesimalt til desimalt tallsystem. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Nok en gang gjentar vi algoritmen for å oversette tall fra ett tallsystem til et annet PSS

1. Fra desimaltallsystemet:
   • dividere tallet med basisen til tallsystemet som oversettes;
   • finn resten etter å ha delt heltallsdelen av tallet;
   • skriv ned alle rester fra divisjon i omvendt rekkefølge;
2. Fra det binære systemet
   • For å konvertere til desimaltallsystemet, må du finne summen av produktene til base 2 ved den tilsvarende utladningsgraden;
   • For å konvertere et tall til oktal, må du dele tallet inn i treklanger.
     For eksempel, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • For å konvertere et tall fra binært til heksadesimalt tall, må du dele tallet inn i grupper med 4 sifre.
     For eksempel, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabell for konvertering til oktaltallsystem

Eksempel #2. Konverter tallet 100,12 fra desimal til oktal og omvendt. Forklar årsakene til avvikene.
Beslutning.
Trinn 1. .

Resten av divisjonen skrives i omvendt rekkefølge. Vi får tallet i det 8. tallsystemet: 144
100 = 144 8

For å oversette brøkdelen av et tall, multipliserer vi suksessivt brøkdelen med grunntallet 8. Som et resultat skriver vi ned hele tallsdelen av produktet hver gang.
0,12*8 = 0,96 (hel del 0 )
0,96*8 = 7,68 (hele delen 7 )
0,68*8 = 5,44 (hele delen 5 )
0,44*8 = 3,52 (hele delen 3 )
Vi får tallet i det 8. tallsystemet: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Trinn 2. Konvertering av et tall fra desimal til oktal.
Omvendt konvertering fra oktal til desimal.

For å oversette heltallsdelen, er det nødvendig å multiplisere sifferet til tallet med tilsvarende grad av siffer.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

For å oversette brøkdelen, er det nødvendig å dele sifferet til tallet med tilsvarende grad av siffer
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Forskjellen på 0,0001 (100,12 - 100,1199) skyldes en avrundingsfeil ved konvertering til oktal. Denne feilen kan reduseres hvis vi tar et større antall sifre (for eksempel ikke 4, men 8).

I løpet av informatikk, uavhengig av skole eller universitet, gis en spesiell plass til et slikt konsept som tallsystemer. Som regel er det tildelt flere leksjoner eller praktiske øvelser til det. Hovedmålet er ikke bare å lære de grunnleggende konseptene til emnet, å studere typene tallsystemer, men også å bli kjent med binær, oktal og heksadesimal aritmetikk.

Hva betyr det?

La oss starte med definisjonen av hovedbegrepet. Som læreboken "Computer Science" bemerker, er tallsystemet en registrering av tall som bruker et spesielt alfabet eller et spesifikt sett med tall.

Avhengig av om verdien av et siffer endres fra dets posisjon i tallet, skilles to: posisjonelle og ikke-posisjonelle tallsystemer.

I posisjonssystemer endres verdien av et siffer med posisjonen i tallet. Så hvis vi tar tallet 234, betyr tallet 4 i det enheter, men hvis vi vurderer tallet 243, vil det her allerede bety tiere, ikke enheter.

I ikke-posisjonelle systemer er verdien av et siffer statisk, uavhengig av dets plassering i tallet. Mest et godt eksempel- pinnesystem, hvor hver enhet er indikert med en strek. Uansett hvor du tildeler tryllestaven, vil verdien på tallet bare endres med én.

Ikke-posisjonelle systemer

Ikke-posisjonelle nummersystemer inkluderer:

1. Et enkelt system, som regnes som et av de første. Den brukte pinner i stedet for tall. Jo flere det var, jo større var verdien av tallet. Du kan møte et eksempel på tall skrevet på denne måten i filmer hvor vi snakker om mennesker som er tapt på havet, fanger som markerer hver dag ved hjelp av hakk på en stein eller et tre.
2. Roman, der latinske bokstaver ble brukt i stedet for tall. Ved å bruke dem kan du skrive et hvilket som helst tall. Samtidig ble verdien bestemt ved å bruke summen og differansen av sifrene som utgjør tallet. Hvis det var et mindre tall til venstre for sifferet, ble venstre siffer trukket fra det høyre, og hvis sifferet til høyre var mindre enn eller lik sifferet til venstre, ble verdiene summert opp. For eksempel ble tallet 11 skrevet som XI, og 9 - IX.
3. Bokstaver, der tall ble angitt ved hjelp av alfabetet til et bestemt språk. En av dem er det slaviske systemet, der en rekke bokstaver ikke bare hadde en fonetisk, men også en numerisk verdi.
4. der bare to betegnelser ble brukt for opptak - kiler og piler.
5. Også i Egypt ble det brukt spesielle symboler for å betegne tall. Når du skriver et tall, kunne hvert tegn ikke brukes mer enn ni ganger.

Posisjonelle systemer

I informatikk vies mye oppmerksomhet til posisjonelle tallsystemer. Disse inkluderer følgende:

• binær;
• oktal;
• desimal;
• heksadesimal;
• sexagesimal, brukt når man teller tid (for eksempel i et minutt - 60 sekunder, i en time - 60 minutter).

Hver av dem har sitt eget alfabet for skriving, oversettelsesregler og aritmetiske operasjoner.

Desimalsystem

Dette systemet er det mest kjente for oss. Den bruker tall fra 0 til 9 for å skrive tall. De kalles også arabisk. Avhengig av plasseringen av sifferet i tallet, kan det betegne forskjellige sifre - enheter, tiere, hundrevis, tusenvis eller millioner. Vi bruker det overalt, vi kjenner de grunnleggende reglene for aritmetiske operasjoner på tall.

Binært system

Et av hovedtallsystemene i informatikk er binært. Dens enkelhet gjør at datamaskinen kan utføre tungvinte beregninger flere ganger raskere enn i desimalsystemet.

For å skrive tall brukes bare to sifre - 0 og 1. Samtidig, avhengig av plasseringen til 0 eller 1 i tallet, vil verdien endres.

I utgangspunktet var det ved hjelp av datamaskiner de mottok alt nødvendig informasjon. Samtidig mente man tilstedeværelsen av et signal som ble overført ved bruk av spenning, og null betydde dets fravær.

Oktalt system

Et annet velkjent datanummersystem der det brukes tall fra 0 til 7. Det ble hovedsakelig brukt i de kunnskapsområdene som er knyttet til digitale enheter. Men nylig har det blitt brukt mye sjeldnere, siden det har blitt erstattet av det heksadesimale tallsystemet.

Binær desimal

Å representere store tall i det binære systemet for en person er en ganske komplisert prosess. For å forenkle det ble det utviklet. Det brukes vanligvis i elektroniske klokker, kalkulatorer. I dette systemet konverteres ikke hele tallet fra desimalsystemet til binært, men hvert siffer blir oversatt til det tilsvarende settet med nuller og enere i det binære systemet. Det samme gjelder for konvertering fra binær til desimal. Hvert siffer, representert som et firesifret sett med nuller og enere, oversettes til et siffer i desimaltallsystemet. I prinsippet er det ikke noe komplisert.

For å jobbe med tall i dette tilfellet er en tabell over tallsystemer nyttig, som vil indikere korrespondansen mellom tall og deres binære kode.

Heksadesimalt system

Nylig har det heksadesimale tallsystemet blitt stadig mer populært innen programmering og informatikk. Den bruker ikke bare tall fra 0 til 9, men også en rekke latinske bokstaver - A, B, C, D, E, F.

Samtidig har hver av bokstavene sin egen betydning, så A=10, B=11, C=12 og så videre. Hvert tall er representert som et sett med fire tegn: 001F.

Tallkonvertering: fra desimal til binær

Oversettelse i tallsystemer skjer etter visse regler. Den vanligste konverteringen er fra binær til desimal og omvendt.

For å konvertere et tall fra desimal til binært, er det nødvendig å dele det konsekvent med bunnen av tallsystemet, det vil si tallet to. I dette tilfellet må resten av hver divisjon fikses. Dette vil fortsette til resten av divisjonen er mindre enn eller lik én. Det er best å utføre beregninger i en kolonne. Deretter skrives de resulterende divisjonsrestene til strengen i omvendt rekkefølge.

La oss for eksempel konvertere tallet 9 til binært:

Vi deler 9, siden tallet ikke er jevnt delbart, så tar vi tallet 8, resten blir 9 - 1 = 1.

Etter å ha delt 8 med 2, får vi 4. Vi deler det igjen, siden tallet er delt på to - vi får 4 - 4 = 0 i resten.

Vi utfører samme operasjon med 2. Resten er 0.

Som et resultat av deling får vi 1.

Uavhengig av det endelige tallsystemet, vil overføringen av tall fra desimal til et hvilket som helst annet skje i henhold til prinsippet om å dele tallet med grunnlaget for posisjonssystemet.

Tallkonvertering: fra binær til desimal

Det er ganske enkelt å konvertere tall til desimal fra binær. For å gjøre dette er det nok å kjenne reglene for å heve tall til en makt. I dette tilfellet, til en potens av to.

Oversettelsesalgoritmen er som følger: hvert siffer fra den binære tallkoden må multipliseres med to, og de to første vil være i potensen m-1, den andre - m-2, og så videre, der m er tallet av sifre i koden. Legg deretter til resultatene av addisjonen, og få et heltall.

For skolebarn kan denne algoritmen forklares enklere:

Til å begynne med tar vi og skriver ned hvert siffer multiplisert med to, og setter deretter ned to potensen fra slutten, med start fra null. Legg deretter sammen det resulterende tallet.

La oss for eksempel analysere med deg tallet 1001 oppnådd tidligere, konvertere det til desimalsystemet, og samtidig sjekke riktigheten av beregningene våre.

Det vil se slik ut:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Når du studerer dette emnet, er det praktisk å bruke en tabell med to potenser. Dette vil redusere tiden som kreves for beregninger betydelig.

Andre oversettelsesalternativer

I noen tilfeller kan oversettelse utføres mellom binær og oktal, binær og heksadesimal. I dette tilfellet kan du bruke spesielle tabeller eller kjøre kalkulatorapplikasjonen på datamaskinen din ved å velge "Programmer"-alternativet i visningsfanen.

Aritmetiske operasjoner

Uavhengig av hvilken form tallet er representert i, er det mulig å utføre beregninger som er kjent for oss med det. Dette kan være divisjon og multiplikasjon, subtraksjon og addisjon i tallsystemet du har valgt. Selvfølgelig har hver av dem sine egne regler.

Så for det binære systemet utviklet sine egne tabeller for hver av operasjonene. De samme tabellene brukes i andre posisjonssystemer.

Det er ikke nødvendig å huske dem - bare skriv ut og ha for hånden. Du kan også bruke kalkulatoren på PC-en.

Et av de viktigste temaene innen informatikk er tallsystemet. Å kunne dette emnet, å forstå algoritmene for å oversette tall fra ett system til et annet er en garanti for at du vil være i stand til å forstå mer komplekse emner, for eksempel algoritmisering og programmering, og vil kunne skrive ditt første program på egen hånd.

Før vi begynner å løse problemer, må vi forstå noen få enkle punkter.

Tenk på desimaltallet 875. Det siste sifferet i tallet (5) er resten av divisjonen av tallet 875 med 10. De to siste sifrene danner tallet 75 - dette er resten av divisjonen av tallet 875 med 100 Lignende utsagn gjelder for alle tallsystemer:

Det siste sifferet i et tall er resten av å dele det tallet med grunnen av tallsystemet.

De to siste sifrene i et tall er resten av å dele tallet med grunnflaten av det kvadratiske tallsystemet.

For eksempel, . Vi deler 23 med grunnflaten til system 3, vi får 7 og 2 i resten (2 er det siste sifferet i tallet i det ternære systemet). Del 23 med 9 (grunnlaget i annen), vi får 18 og 5 i resten (5 = ).

La oss gå tilbake til det vanlige desimalsystemet. Antall = 100 000. 10 i potensen av k er én og k nuller.

Et lignende utsagn gjelder for ethvert tallsystem:

Grunnlaget til tallsystemet i potensen k i dette tallsystemet skrives som en enhet og k nuller.

For eksempel, .

1. Søk etter grunnlaget for tallsystemet

Eksempel 1

I et tallsystem med en eller annen grunntall skrives desimaltallet 27 som 30. Spesifiser denne grunntall.

Beslutning:

Angi den nødvendige grunntallet x. Deretter .dvs. x=9.

Eksempel 2

I et tallsystem med en eller annen grunntall skrives desimaltallet 13 som 111. Spesifiser denne grunntall.

Beslutning:

Angi den nødvendige grunntallet x. Deretter

Vi løser den andregradsligningen, vi får røttene 3 og -4. Siden tallsystemets grunnflate ikke kan være negativ, er svaret 3.

Svar: 3

Eksempel 3

Angi, atskilt med kommaer, i stigende rekkefølge, alle basene til tallsystemene der oppføringen av tallet 29 slutter på 5.

Beslutning:

Hvis tallet 29 i et eller annet system ender på 5, så ender tallet redusert med 5 (29-5 = 24) på ​​0. Vi har allerede sagt at tallet slutter på 0 når det er delelig uten rest med basen av systemet . De. vi må finne alle slike tall som er delere av tallet 24. Disse tallene er: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Merk at i tallsystemene med grunntall 2, 3, 4 er det ikke noe tall 5 (og i formuleringsoppgaven slutter tallet 29 på 5), så det er systemer med baser: 6, 8, 12,

Svar: 6, 8, 12, 24

Eksempel 4

Angi, atskilt med kommaer, i stigende rekkefølge, alle basene til tallsystemene der oppføringen av tallet 71 slutter på 13.

Beslutning:

Hvis tallet i et eller annet system slutter på 13, er basen til dette systemet minst 4 (ellers er det ikke noe 3).

Et tall redusert med 3 (71-3=68) ender på 10. Det vil si, 68 er fullstendig delelig med den nødvendige basen til systemet, og kvotienten av denne, når den divideres med basen til systemet, gir en rest på 0.

La oss skrive ut alle heltallsdelere for tallet 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 er ikke egnet, fordi basen er ikke mindre enn 4. Sjekk resten av divisorene:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (rest 1) - passende

68:17 = 4; 4:17 = 0 (hvile 4) - ikke egnet

68:34 = 2; 2:17 = 0 (hvile 2) - ikke egnet

68:68 = 1; 1:68 = 0 (rest 1) - passende

Svar: 4, 68

2. Søk etter tall etter betingelser

Eksempel 5

Angi, atskilt med komma, i stigende rekkefølge, alle desimaltall som ikke overstiger 25, hvis notasjon i basis fire tallsystemet ender på 11?

Beslutning:

La oss først finne ut hvordan tallet 25 ser ut i et tallsystem med grunntallet 4.

De. vi må finne alle tall, ikke større enn , hvis notasjon slutter med 11. Ved regelen for sekvensiell telling i et system med base 4,
vi får tall og . Vi oversetter dem til desimaltallsystemet:

Svar: 5, 21

3. Løsning av ligninger

Eksempel 6

Løs ligningen:

Skriv ned svaret i ternært system (grunnlaget for tallsystemet i svaret er ikke nødvendig å skrive).

Beslutning:

La oss konvertere alle tallene til desimaltallsystemet:

Andregradsligningen har røtter -8 og 6. (fordi basen til systemet ikke kan være negativ). .

Svar: 20

4. Å telle antall enere (nuller) i den binære notasjonen av verdien til uttrykket

For å løse denne typen problemer, må vi huske hvordan addisjon og subtraksjon "i en kolonne" fungerer:

Ved addering skjer den bitvise summeringen av sifrene skrevet under hverandre, med utgangspunkt i de minst signifikante sifrene. Hvis den resulterende summen av to sifre er større enn eller lik grunntallet til tallsystemet, skrives resten av å dele dette beløpet med basisen til systemet under de summerte tallene, og den heltallsdelen av å dele dette beløpet med grunntallet av systemet legges til summen av følgende sifre.

Ved subtraksjon skjer en bit-for-bit subtraksjon av sifrene skrevet under hverandre, med utgangspunkt i de minst signifikante sifrene. Hvis det første sifferet er mindre enn det andre, "låner" vi ett fra det tilstøtende (større) sifferet. Enheten som er opptatt i gjeldende siffer er lik grunnflaten til tallsystemet. I desimal er det 10, i binært er det 2, i ternært er det 3, og så videre.

Eksempel 7

Hvor mange enheter er inneholdt i den binære notasjonen av verdien av uttrykket: ?

Beslutning:

La oss representere alle tallene i uttrykket som potenser av to:

I binær notasjon ser to i potens av n ut som 1 etterfulgt av n nuller. Så summerer vi og får vi et tall som inneholder 2 enheter:

Trekk nå fra det resulterende tallet 10 000. I henhold til reglene for subtraksjon låner vi fra neste siffer.

Legg nå til 1 til det resulterende tallet:

Vi ser at resultatet har 2013+1+1=2015 enheter.

Øvelse 1. Hvilket tall i desimaltallsystemet tilsvarer tallet 24 16?

Beslutning.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Svar. 24 16 = 36 10

Oppgave 2. Det er kjent at X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Hva er tallet X i desimalnotasjon?

Beslutning.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Finn tallet: X = 6 + 4 + 5 = 15

Svar. X = 15 10

Oppgave 3. Regn ut verdien av summen 10 2 + 45 8 + 10 16 i desimalnotasjon.

Beslutning.

La oss oversette hvert ledd til desimaltallsystemet:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Summen er: 2 + 37 + 16 = 55

Konverter til binært tallsystem

Øvelse 1. Hva er tallet 37 i binært tallsystem?

Beslutning.

Du kan konvertere ved å dele på 2 og kombinere restene i omvendt rekkefølge.

En annen måte er å utvide tallet til summen av potenser av to, og starter med det høyeste, hvis beregnede resultat er mindre enn det gitte tallet. Ved konvertering bør de manglende potensene til et tall erstattes med nuller:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Svar. 37 10 = 100101 2 .

Oppgave 2. Hvor mange signifikante nuller er det i den binære representasjonen av desimaltallet 73?

Beslutning.

Vi dekomponerer tallet 73 til summen av potenser av to, starter med den høyeste og multipliserer de manglende potensene med null, og de eksisterende med én:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Svar. Det er fire signifikante nuller i den binære notasjonen for desimaltallet 73.

Oppgave 3. Regn ut summen av x og y for x = D2 16, y = 37 8. Presenter resultatet i binært tallsystem.

Beslutning.

Husk at hvert siffer i et heksadesimalt tall er dannet av fire binære sifre, hvert siffer i et oktalt tall av tre:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

La oss legge til tallene:

11010010 11111 -------- 11110001

Svar. Summen av tallene D2 16 og y = 37 8 , representert i det binære systemet, er 11110001.

Oppgave 4. Gitt: en= D7 16 , b= 331 8 . Hvilket av tallene c, skrevet i binær notasjon, oppfyller betingelsen en< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Beslutning.

La oss oversette tallene til det binære tallsystemet:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

De fire første sifrene for alle tallene er de samme (1101). Derfor er sammenligningen forenklet til en sammenligning av de minst signifikante fire sifrene.

Det første tallet i listen er tallet b passer derfor ikke.

Det andre tallet er større enn b. Det tredje tallet er en.

Bare det fjerde tallet passer: 0111< 1000 < 1001.

Svar. Det fjerde alternativet (11011000) oppfyller betingelsen en< c < b .

Oppgaver for å bestemme verdier i ulike tallsystemer og deres baser

Øvelse 1. Tegnene @, $, &, % er kodet i tosifrede påfølgende binære tall. Det første tegnet tilsvarer tallet 00. Ved å bruke disse tegnene ble følgende sekvens kodet: $% [e-postbeskyttet]$. Dekod denne sekvensen og konverter resultatet til heksadesimalt.

Beslutning.

1. La oss sammenligne de binære tallene med tegnene de koder:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. La oss oversette det binære tallet til det heksadesimale tallsystemet:
0111 1010 0001 = 7A1

Svar. 7A1 16.

Oppgave 2. Det er 100 x frukttrær i hagen, hvorav 33 x er epletrær, 22 x er pærer, 16 x er plommer, 17 x er kirsebær. Hva er grunnlaget for tallsystemet (x).

Beslutning.

1. Merk at alle ledd er tosifrede tall. I et hvilket som helst tallsystem kan de representeres som følger:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, hvor a og b er sifrene til de tilsvarende sifrene i tallet.
For et tresifret tall vil det være slik:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Tilstanden til problemet er som følger:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Bytt ut tallene i formlene:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Løs den andregradsligningen:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Kvadratroten av D er 11.
Røttene til den kvadratiske ligningen:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 eller x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Et negativt tall kan ikke være grunnlaget for tallsystemet. Så x kan bare være lik 9.

Svar.Ønsket base i tallsystemet er 9.

Oppgave 3. I et tallsystem med en eller annen grunntall skrives desimaltallet 12 som 110. Finn denne grunntall.

Beslutning.

La oss først skrive tallet 110 gjennom formelen for å skrive tall i posisjonstallsystemer for å finne verdien i desimaltallsystemet, og deretter finne grunntallet med brute force.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Vi må få 12. Vi prøver 2: 2 2 + 2 = 6. Vi prøver 3: 3 2 + 3 = 12.

Så grunnlaget for tallsystemet er 3.

Svar.Ønsket base i tallsystemet er 3.

Oppgave 4. I hvilket tallsystem vil desimaltallet 173 være representert som 445?

Beslutning.
Vi betegner den ukjente basen med X. Vi skriver følgende ligning:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Gitt at ethvert positivt tall til null potens er lik 1, omskriver vi ligningen (grunntall 10 vil ikke bli indikert).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Selvfølgelig kan en slik andregradsligning løses ved hjelp av diskriminanten, men det finnes en enklere løsning. Trekk fra høyre og venstre del med 4. Vi får
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 eller 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Herfra får vi 2 * X + 1 \u003d 13 (vi forkaster den negative roten). Eller X = 6.
Svar: 173 10 = 445 6

Oppgaver for å finne flere baser av tallsystemer

Det er en gruppe oppgaver der det kreves å liste opp (i stigende eller synkende rekkefølge) alle baser av tallsystemer der representasjonen av et gitt tall slutter med et gitt siffer. Denne oppgaven løses ganske enkelt. Først må du trekke det gitte sifferet fra det opprinnelige tallet. Det resulterende tallet vil være den første basen i tallsystemet. Og alle andre baser kan bare være divisorer av dette tallet. (Dette utsagnet er bevist med utgangspunkt i regelen for overføring av tall fra ett tallsystem til et annet - se punkt 4). Bare husk det basisen til tallsystemet kan ikke være mindre enn det gitte sifferet!

Eksempel
Angi, atskilt med kommaer, i stigende rekkefølge, alle basene til tallsystemene der oppføringen av tallet 24 ender på 3.

Beslutning
24 - 3 \u003d 21 er den første basen (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 er delelig med 3 og 7. Tallet 3 er ikke egnet, fordi Det er ingen 3 i base 3 tallsystemet.
Svar: 7, 21